Search

Let $a,b,c$ be real numbers. Consider the quadratic equation in $\cos x$:

$$a\cos^{2}x+b\cos x+c=0.$$

Using the numbers $a,b,c,$ form a quadratic equation in $\cos 2x$, whose roots are the same as those of the original equation. Compare the equations in $\cos x$ and $\cos 2x$ for $a=4,b=2,c=-1$.

In a given right triangle $ABC$, the hypotenuse $BC$, of length $a$, is divided into $n$ equal parts ($n$ an odd integer). Let $\alpha$ be the acute angle subtending, from $A$, that segment which contains the midpoint of the hypotenuse. Let $h$ be the length of the altitude to the hypotenuse of the triangle. Prove: $$\tan\alpha=\frac{4nh}{(n^{2}-1)a}.$$

Solve the equation $\cos^n x - \sin^n x = 1$, where $n$ is a natural number.

Construct triangle $ABC$ if $AC = b$, $AB = c$ and $\measuredangle AMB = \omega$, where $M$ is the midpoint of segment $BC$ and $\omega < 90°$. Prove that a solution exists if and only if $$b \tan \frac{\omega}{2} \leq c < b.$$ In what case does the equality hold?

Solve the equation $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$.

Prove that $\cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{2}$.

Determine all values $x$ in the interval $0 \leq x \leq 2\pi$ which satisfy the inequality $$2 \cos x \leq \left| \sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{1 - \sin 2x} \right| \leq \sqrt{2}.$$

Let $a, b, c$ be the lengths of the sides of a triangle, and $\alpha, \beta, \gamma$, respectively, the angles opposite these sides. Prove that if $$a + b = \tan \frac{\gamma}{2} (a \tan \alpha + b \tan \beta),$$ the triangle is isosceles.

Prove that for every natural number $n$, and for every real number $x \neq k\pi / 2^t$ ($t = 0,1,\dots,n; k$ any integer) $$\frac{1}{\sin 2x} + \frac{1}{\sin 4x} + \cdots + \frac{1}{\sin 2^n x} = \cot x - \cot 2^n x.$$

Let $a_1, a_2, \cdots, a_n$ be real constants, $x$ a real variable, and

$$f(x) = \cos(a_1 + x) + \frac{1}{2}\cos(a_2 + x) + \frac{1}{4}\cos(a_3 + x) + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n + x).$$

Given that $f(x_1) = f(x_2) = 0$, prove that $x_2 - x_1 = m\pi$ for some integer $m$.

In the triangle $ABC$, prove that there is a point $D$ on side $AB$ such that $CD$ is the geometric mean of $AD$ and $DB$ if and only if $$\sin A \sin B \leq \sin^2 \frac{C}{2}.$$

Four real constants $a$, $b$, $A$, $B$ are given, and $$f(\theta) = 1 - a\cos\theta - b\sin\theta - A\cos 2\theta - B\sin 2\theta.$$ Prove that if $f(\theta) \geq 0$ for all real $\theta$, then $$a^2 + b^2 \leq 2 \text{ and } A^2 + B^2 \leq 1.$$

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \ge 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Riješite jednadžbu $$2 \cos\left(\frac{\pi}{2}(1 + x)\right) = \frac{1}{x^2} + x^2.$$

(a) Služeći se poznatim formulama $a = 2R \sin \alpha$ i $s - a = r \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}$ u trokutu $ABC$ s polumjerima $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice i poluopsegom $s$ i izražavajući $\sin \alpha$ i $\ctg \frac{\alpha}{2}$ pomoću $\cos \alpha$ pokažite da je broj $\cos \alpha$ rješenje jednadžbe $$4R^2x^3 - 4R(R + r)x^2 + (s^2 + r^2 - 4R^2)x + (2R + r)^2 - s^2 = 0.$$

(b) Izrazite brojeve $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ i $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ pomoću duljina $R, r$ i $s$.

(c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ od pravaca $BC, CA, AB$ jednaka $R + r$, ako se orijentirana udaljenost točke $O$ od npr. pravca $BC$ uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke $O$ i $A$ s iste ili s različitih strana tog pravca.

(d) Ako se konveksan tetivni $n$-terokut na bilo koji način podijeli na $n-2$ trokuta pomoću $n-3$ dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi $50$ bodova (ostali po $25$), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)

Dokažite da za svaki $x \in \mathbf{R}$ vrijedi nejednakost $$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq 2.$$ Kada vrijedi jednakost?

Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^{2}x| + \cdots + |\cos 2^{n}x| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}}.$$

Dokažite da za svaki trokut sa stranicama $a$, $b$, $c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ vrijedi jednakost $$\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)\cos\alpha + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right)\cos\beta + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\cos\gamma = 3.$$

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| \neq |BC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$, $\alpha = \measuredangle BAC$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\varphi = \measuredangle ACM$, $\psi = \measuredangle BCM$. Dokažite da je $$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin \varphi \sin \psi}{\sin(\varphi - \psi)}.$$

U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, $\alpha = \measuredangle CAB$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\gamma = \measuredangle BCA$.

a) Ako je $\alpha = 3\beta$, dokažite da je $(a^2 - b^2)(a - b) = bc^2$.

b) Da li vrijedi obrat? Obrazložite!

Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost $$\frac{\cos \alpha}{a^3} + \frac{\cos \beta}{b^3} + \frac{\cos \gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc},$$ pri čemu su $a$, $b$, $c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ odgovarajući kutovi.

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c = \dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $a > b$. Dokaži da za kutove $\alpha$ i $\beta$, nasuprotne stranicama $a$ i $b$, vrijedi $\alpha - \beta = 90°$.

Neka je točka $S$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ s kutovima $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$. Neka pravac $CS$ siječe pravac $AB$ u točki $D$ koja se nalazi između točaka $A$ i $B$. Dokaži da vrijedi $$\frac{|SD|}{|SC|} = \left| \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} \right|.$$

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$, u kojem je $M$ polovište katete $\overline{BC}$. Dokaži da je $\sin(\measuredangle MAB) \leqslant \dfrac{1}{3}$. Kada se postiže jednakost?

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n \geqslant 2$ takav da je funkcija $$f(x) = \cos(x\sqrt{1}) + \cos(x\sqrt{2}) + \cdots + \cos(x\sqrt{n})$$ periodična.

Dokaži da je među bilo koja četiri broja iz intervala $\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ moguće odabrati dva broja, nazovimo ih $x$ i $y$, tako da vrijedi

$$8 \cos x \cos y \cos (x - y) + 1 > 4 \left(\cos^2 x + \cos^2 y\right).$$

U trokutu $ABC$ vrijedi $|BC| + |AC| = 2|AB|$ i $\measuredangle BAC - \measuredangle CBA = 90^\circ$.

Odredi kosinus kuta $\measuredangle ACB$.

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $|AD| = |CD|$ i $\measuredangle ADC = 90°$. Ako je $|AB| = a$, $|BC| = b$, $|BD| = d$, $\measuredangle ABC = \beta$, dokaži da vrijedi $$2d^2 = a^2 + b^2 + 2ab \sin \beta.$$

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$$

za neke realne brojeve $x$, $y$ i $z$.

Dokaži da za svaki realni broj $x$ vrijedi $$\cos^3 \frac{x}{3} + \cos^3 \frac{x + 2\pi}{3} + \cos^3 \frac{x + 4\pi}{3} = \frac{3}{4} \cos x.$$

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AC| = 5$. Označimo $\alpha = \measuredangle BAC$. Izračunaj

$$\sin^6 \frac{\alpha}{2} + \cos^6 \frac{\alpha}{2}.$$

Neka je $\alpha = \frac{2\pi}{2021}$. Izračunaj $$\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \ldots \cdot \cos 1010\alpha.$$

Odredi sve realne brojeve $a$ takve da nejednakost $$\cos(2x) + 2a\cos x + 7 \geq 0$$ vrijedi za sve realne brojeve $x$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost koju izraz $\sin^2 x \cos 2x$ postiže za $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Ako je $2\sin x - 3\cos y = a$ i $2\cos x + 3\sin y = b$, koliko je $\sin(x - y)$?

Ako je $\cos x + \sin x = 0.3$, odredi $\cos^3 x + \sin^3 x$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica trokuta nasuprot kutova veličina $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Ako vrijedi $9a^2 + 9b^2 = 19c^2$, odredi $\dfrac{\mathrm{ctg}\,\gamma}{\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\beta}$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje postoji realan broj $y$ takav da je $$\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)} = 4 \sin(x + y) \cos(x - y).$$

Ako je $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x + 1}{\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x + 2} = \frac{4}{9}$, odredi $\sin x \cos x$.

Dan je trokut $ABC$ površine $5$. Ako za duljine stranica tog trokuta vrijedi jednakost $|AB|^2 + |AC|^2 = 17 + |BC|^2$, odredi tangens kuta $\measuredangle CAB$.

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Ako je $\sin x + \cos x = 1.4$, odredi $\mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x$.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$. Dokaži da vrijedi $$\sin(3x) + \sin(3y) \leq \frac{26}{27}.$$

Izračunaj umnožak $(1 + \tan 1°)(1 + \tan 2°)\ldots (1 + \tan 45°)$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takvih da je $x,y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ za koje vrijedi

$$\frac{2 \sin^2 x + 2}{\sin x + 1} = 3 + \cos (x + y).$$

Riješi jednadžbu

$$\cos(2x) + \cos(2y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y = 4.$$

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Dokaži da za sve realne brojeve $\alpha, \beta \in \left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ vrijedi $$\frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos \beta} \geqslant 2\sqrt{\tan \alpha + \tan \beta}.$$ Kada vrijedi jednakost?

Ovisno o realnom parametru $p$ odredi broj rješenja jednadžbe $\cos 2x = p(\sin x + \cos x)$ na intervalu $[0, 2\pi]$.