Duljina srednjice trapeza je $4$ a kutovi uz jednu osnovicu su $40°$ i $50°$. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka $1$.

Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ i bilo koji nenegativan pozitivan broj $p$ vrijedi nejednakost $$a^{p+2} + b^{p+2} + c^{p+2} \geq a^p b c + b^p c a + c^p a b.$$

Nadite sve trojke $(x, y, z)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$2x^2 y^2 + 2y^2 z^2 + 2z^2 x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 576.$$ Naputak: Izraz s lijeve strane jednadžbe rastavite na faktore.

"Kolo sreće" podijeljeno je na $30$ odjeljaka u koje su upisani brojevi $50$, $100$, $150$, ..., $1500$ (u nekom redoslijedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj upisanih brojeva veći ili jednak $2350$.

Dokažite da trokut čije su duljine stranica prosti brojevi ne može imati cjelobrojnu površinu.

Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq x + y + z,$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k,$$ za svaki prirodan broj $k$.

U jednakokračnom trokutu duljina osnovice je $a$, duljina kraka $b$, duljina visine na osnovicu $v$, pri čemu vrijedi: $\dfrac{a}{2} + v \geq b\sqrt{2}$. Odredite kutove trokuta. Kolika je površina trokuta ako je $b = 8\sqrt{2}$?

Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?

Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi $$x^2 - y^2 = 2(xz + yz + x + y),$$ $$y^2 - z^2 = 2(yx + zx + y + z),$$ $$z^2 - x^2 = 2(zy + xy + z + x).$$

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$|BC|^2 + |AC|^2 = 5|AB|^2.$$

Dokažite da za svaka tri realna broja $x, y, z$ vrijedi nejednakost $$|x| + |y| + |z| - |x + y| - |y + z| - |z + x| + |x + y + z| \geq 0.$$

Niz znamenaka $1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, \ldots$ konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke.

a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2, 0, 0, 4$, tim redom?

b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1, 2, 3, 4$, tim redom?

Odredite sve brojeve čiji je zapis u dekadskom sustavu oblika $\overline{13xy45z}$, gdje su $x$, $y$ i $z$ nepoznate znamenke, koji su djeljivi sa $792$.

Spojnice središta trokuta upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz $$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n},$$ ako su $k$, $m$, $n$ prirodni brojevi takvi da je $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} < 1$.

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \dfrac{a\sqrt{bc}}{b+c}$.

Odredi sve troznamenkaste brojeve $\overline{xyz}$ ($x$, $y$, $z$ su dekadske znamenke) koji su jednaki izrazu $x + y + z + xy + yz + zx + xyz$.

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}.$$ Dokaži da je $a + \frac{1}{b} = -abc$.

Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

Nadite realna rješenja sustava jednadžbi: $$x + y + z = 2$$ $$(x + y)(y + z) + (y + z)(z + x) + (z + x)(x + y) = 1$$ $$x^{2}(y + z) + y^{2}(z + x) + z^{2}(x + y) = -6$$

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.

a) Dokažite da se ploča dimenzija $4 \times 4$ može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.

b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija $5 \times 5$.

Odredite najveći prirodni broj $n$ takav da $n^2 + 2007n$ bude kvadrat nekog prirodnog broja.

Neka su $a, b, c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva

$$(a + b + c)^2 - 9ab, \quad (a + b + c)^2 - 9bc, \quad (a + b + c)^2 - 9ca$$

nenegativan.

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva oblika $\overline{37abc}$ takvih da je svaki od brojeva $\overline{37abc}$, $\overline{37bca}$ i $\overline{37cab}$ djeljiv s $37$?

Neka je $OAB$ četvrtina kruga sa središtem $O$ polumjera $1$. Nad dužinama $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$, kao promjerima, konstruirane su polukružnice s unutarnje strane dane četvrtine kruga. Izračunaj polumjer kružnice koja dodiruje te dvije polukružnice i luk $\widehat{AB}$.

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.$$

Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva

$$n + 1, n + 2, \ldots, n + 12$$

nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?

Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom broju kojem su sve znamenke jednake.

Zadan je konveksan četverokut $ABCD$ koji nije paralelogram. Neka pravac koji prolazi kroz polovišta dijagonala četverokuta siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da trokuti $ABN$ i $CDM$ imaju jednake površine.

Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi, takvi da je $xyz = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3 + z^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3 + x^3}{z^2 + zx + x^2} \geq 2.$$

Dan je pravilni deveterokut sa stranicom duljine $a$. Kolika je razlika duljina njegove najdulje i najkraće dijagonale?

Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom s lijeva na desno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

U šesterokutu $ABCDEF$ vrijedi $$AB \perp BC, \quad AC \perp CD, \quad AD \perp DE, \quad AE \perp EF.$$

Ako su duljine stranica tog šesterokuta prirodni brojevi, dokaži da ne mogu svi biti neparni.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$\frac{1 - a^2 + c^2}{c(a + 2b)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a(b + 2c)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b(c + 2a)} \geqslant 6.$$

Na $n$ kartica napisane su rečenice:

$$\emph{"Barem $k$ rečenica lijevo od ove kartice je lažno."}$$

za $k = 0,1,2,\ldots,n-1$. Kartice su složene u nekom redoslijedu slijeva nadesno. Koliko najviše rečenica može biti istinito?

U trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle ACB = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle CBA$, a $M$ je polovište dužine $BC$. Kružnica sa središtem u točki $A$ siječe pravac $BC$ u točkama $M$ i $D$.

Dokaži da je $|MD| = |AB|$.

Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.

Na početku je svakoj točki pridružen broj nula.

U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$.

Kažemo da je prirodni broj $n$ dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$.

a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv.

b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.

Odredi $x_{1006}$ ako je

$$\frac{x_1}{x_1 + 1} = \frac{x_2}{x_2 + 3} = \frac{x_3}{x_3 + 5} = \dots = \frac{x_{1006}}{x_{1006} + 2011},$$

$$x_1 + x_2 + \dots + x_{1006} = 503^2.$$

Izvan pravilnog mnogokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se točka $B$ takva da je trokut $A_1A_2B$ jednakostraničan. Odredi sve $n$ za koje su točke $B$, $A_2$ i $A_3$ uzastopni vrhovi nekog pravilnog mnogokuta.

Četiri prirodna broja $a, b, c, d$ zadovoljavaju jednakosti

$$a + b = c, \quad a + d = 2c.$$

Pokaži da postoji pravokutni trokut površine $abcd$ kojemu su duljine svih stranica prirodni brojevi.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$. Kružnica koja prolazi točkom $E$, vrhom $C$ i polovištem $F$ stranice $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $G$. Dokaži da su pravci $AD$ i $FG$ međusobno okomiti.

Supružnici Ana i Tomislav došli su na zabavu na kojoj su sudjelovala još četiri para. Prilikom dolaska dogodio se izvjestan broj rukovanja. Pritom se nitko nije rukovao sa svojim bračnim drugom niti sa samim sobom. Kada je kasnije Tomislav upitao sve prisutne s koliko su se osoba rukovali, dobio je devet različitih odgovora. S koliko se osoba rukovala Ana?

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi $$\frac{1}{3}(a + b + c)^2 \leqslant a^2 + b^2 + c^2 + 2(a - b + 1).$$

Svaka znamenka prirodnog broja $n$ (osim prve) strogo je veća od znamenke koja se nalazi neposredno lijevo od nje. Odredi zbroj svih znamenaka broja $9n$.

Neka je trokut $ABC$ s tupim kutom kod vrha $B$, neka su $D$ i $E$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom, $F$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle BFE$ pravi, te $G$ točka na dužini $\overline{DE}$ takva da je kut $\measuredangle BGE$ pravi.

Dokaži da točke $A$, $F$ i $G$ leže na istom pravcu ako i samo ako je $2|BF| = |CF|$.

Azra je zamislila četiri realna broja i na ploču zapisala zbrojeve svih mogućih parova zamišljenih brojeva, a zatim obrisala jedan od tih zbrojeva. Na ploči su ostali brojevi $-2$, $1$, $2$, $3$ i $6$. Koje je brojeve Azra zamislila?

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi

$$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2} \\ y^{2} - z &= x^{2} \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$