Za realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{30}$ vrijedi

$$20^3 x_1 + 21^3 x_2 + \cdots + 49^3 x_{30} = 13,$$

$$21^3 x_1 + 22^3 x_2 + \cdots + 50^3 x_{30} = 1,$$

$$22^3 x_1 + 23^3 x_2 + \cdots + 51^3 x_{30} = 19.$$

Koliko iznosi $21x_1 + 22x_2 + \cdots + 50x_{30}$?

Točka $M$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $N$ na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ odabrane su tako da vrijedi $\measuredangle BAM = \measuredangle MAC = \measuredangle NCB$. Dokaži da je

$$|AM|^2 = |AC| \cdot |AN| + |MC|^2.$$

Svakom od $12$ bridova kocke Martin pridružuje po jedan od brojeva $1$ ili $-1$. Zatim svakoj od šest strana te kocke pridružuje umnožak $4$ broja na bridovima te strane. Na kraju Martin zbraja svih $18$ brojeva pridruženih bridovima i stranama kocke.

Koliki je najmanji zbroj koji Martin može postići?

Tri traktora oru njivu. Ako prva dva traktora rade zajedno, treba im 15 dana da preoru cijelu njivu. Prvi i treći traktor preoru njivu radeći zajedno 8 dana, a sva tri traktora zajedno preoru njivu za 6 dana. Koliko dana svakom od traktora treba da samostalno preore cijelu njivu?

Odredi sve cijele brojeve $x, y, z$ za koje vrijede jednakosti $$x - yz = 1 \quad \text{i} \quad xz + y = 2.$$

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ paralelograma $ABCD$. Ako je $E$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AM$, dokaži da vrijedi $|CD| = |CE|$.

Realni brojevi $a$, $b$ i $c$ različiti su od nule i zadovoljavaju jednakosti $$a^2 + a = b^2,$$ $$b^2 + b = c^2,$$ $$c^2 + c = a^2.$$ Dokaži da vrijedi $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.

U nekom je razredu trideset i troje učenika. Svaki učenik je na ploču napisao dva broja: koliko još učenika osim njega u razredu ima isto ime kao on, te koliko još učenika osim njega u razredu ima isto prezime kao on.

Ako se svaki od brojeva $0, 1, 2, \ldots, 10$ pojavljuje na ploči barem jednom, dokaži da u razredu postoji barem jedan par učenika istog imena i prezimena.

Dokaži da jednadžba $$(n - 20)^3 + 2n^3 = (n + 20)^3$$ nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi $$\frac{xy}{4y - 3x} = 20,$$ $$\frac{xz}{2x - 3z} = 15,$$ $$\frac{zy}{4y - 5z} = 12.$$

Marijan je na ploču napisao niz od $n$ prostih brojeva tako da je svaki sljedeći broj za $6$ veći od prethodnog.

Dokaži da postoji najveći prirodan broj $n$ za koji je to moguće. Koji je to najveći $n$ i koje je sve nizove Marijan mogao napisati na ploču za taj najveći $n$?

Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja dira stranice $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DE$ siječe pravac $DF$ u točki $M$, a pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DF$ siječe pravac $DE$ u točki $N$. Dokaži da pravac $MN$ sadrži srednjicu trokuta $ABC$.

U krugu sjede $2023$ osobe. Među njima je $N$ osoba koje uvijek govore istinu, dok svi ostali uvijek lažu. Svi su dali izjavu: „Obje osobe koje sjede do mene lažu." Odredi sve vrijednosti broja $N$ za koje je to moguće.

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB| = 2\,\mathrm{m}$ i $|BC| = 1\,\mathrm{m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Ako za realne brojeve $a, b, c$ vrijedi $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3$, dokaži da je $$(a + b)^2 ab + (b + c)^2 bc + (c + a)^2 ca + 4abc(a + b + c) = 0.$$

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.

Marija i Eva vozile su se istim putom iz grada $A$ u grad $C$. Mariji je trebalo 96 minuta, a Evi 4 minute više. Točno na pola puta između gradova $A$ i $C$ nalazi se grad $B$. Marija je cijelim putom od $A$ do $C$ vozila istom brzinom, dok je Eva od grada $A$ do grada $B$ vozila $13\,\mathrm{km/h}$ sporije od Marije, a od grada $B$ do grada $C$ $13\,\mathrm{km/h}$ brže od Marije. Koliko su udaljeni gradovi $A$ i $C$?

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $A$ u šiljastokutnome trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na $AB$ i $AC$, a točke $G$ i $H$ redom su nožišta okomica iz $E$ i $F$ na $AD$. Ako je $|AH| = |HG| = |GD| = 2$, odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$, $m < n$, takve da je razlika umnoška prvih $n$ prirodnih brojeva i umnoška prvih $m$ prirodnih brojeva broj oblika $600^k$ pri čemu je $k$ prirodan broj.

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\frac{a^2 + b^2 + ab - 4a - 2b + 7}{a^2 + b^2 - 4a + 6},$$

pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi.

Na ploču dimenzija $4 \times 4$ treba rasporediti određeni broj žetona tako da se na nekim poljima nalazi po jedan žeton, a neka su polja prazna. Za raspored žetona kažemo da je siguran ako se svaki žeton nalazi na polju kojemu su sva susjedna polja prazna (dva polja smatraju se susjednima ako imaju zajedničku stranicu). Za koji najmanji prirodan broj $k$ postoji siguran raspored $k$ žetona takav da se na ploču ne može dodati nijedan žeton, a da raspored i dalje bude siguran?

Ante i Matea treniraju plivanje. Na jednom od zajedničkih treninga istovremeno su krenuli sa suprotnih strana bazena. Do trenutka kad su se prvi puta istovremeno našli na istom rubu bazena, zajedno su preplivali devet duljina bazena. Od tada do sljedećeg trenutka kad su se ponovno našli istovremeno na istom rubu bazena zajedno su preplivali dodatnih $855$ metara. Ako oboje plivaju stalnim brzinama, kolika je duljina bazena u kojem treniraju?

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $a^2 = bc + 1$ i $b^2 = ac + 1$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AC| > |BC|$. Neka je $M$ nožište okomice iz vrha $B$ na simetralu kuta $\measuredangle BCA$. Dokaži da je površina trokuta $AMC$ dvostruko manja od površine trokuta $ABC$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\frac{2x^2}{1 + x^2} = y, \quad \frac{2y^2}{1 + y^2} = z, \quad \frac{2z^2}{1 + z^2} = x.$$

Može li se ploča dimenzija $2027 \times 2027$ prekriti koristeći dvije vrste pločica:

• pločice dimenzija $1 \times 2$ koje prekrivaju po dva susjedna polja u istom retku i

• pločice dimenzija $3 \times 1$ koje prekrivaju po tri uzastopna polja u istom stupcu?

Pločice se ne smiju preklapati niti prelaziti preko ruba dane ploče.

Kolike su duljine kateta pravokutnog trokuta kojemu je $c$ duljina hipotenuze, a $\rho$ polumjer upisane kružnice.

Neka su $z_1, z_2, z_3, z_4$ kompleksni brojevi redom u $I, II, III, IV$ kvadrantu kompleksne ravnine i $\alpha_i = |z_i - z_{i+1}| - |z_i + z_{i+1}|$, $z_5 = z_1$, $i = 1, 2, 3, 4$. Dokaži da je bar jedan od brojeva $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ nenegativan.

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

U ravnini su dane $1992$ točke od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Dokaži da postoji $498$ četverokuta kojima su te točke vrhovi takvi da se nikoja dva na sijeku.

Riješite u skupu $\mathbf{R}$ nejednadžbu $$\left| \frac{4^x - 2^{x+1} - 2}{2^x - 4} \right| < 1.$$

Odredite sve trojke prirodnih brojeva $x, y, z$ za koje vrijedi $$\frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2} = 1.$$

Dane su točke $A$ i $B$ u ravnini. Dokažite da je geometrijsko mjesto točaka $M$ takvih da je $|AM|^2 - |BM|^2 = k$ (gdje je $k$ dani broj), pravac okomit na pravac $AB$.

Oko kružnice su na bilo koji način opisani trokut i kvadrat. Dokažite da je duljina dijela opsega kvadrata unutar trokuta veća od dijela izvan njega.

Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$|z^2 + 1| = 2|z| \quad \text{i} \quad |z - 3i| = \sqrt{10}.$$

Neka je $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$. Označimo sa $D$ diskriminantu, sa $P$ umnožak, a sa $S$ zbroj njezinih nultočaka. Pokažite da postoji samo jedna funkcija $f$ za koju su $a, D, P, S$ četiri uzastopna cijela broja (u rastućem poretku).

Odredite šiljaste kutove pravokutnog trokuta kojemu se polumjeri opisane i upisane kružnice odnose kao $5:2$.

Riješite jednadžbu $$\frac{3}{2} \log_{\frac{1}{4}}(x + 2)^2 - 3 = \log_{\frac{1}{4}}(4 - x)^3 - \log_4(x + 6)^3.$$

Neka su $a, b, c$ kompleksni brojevi takvi da je $|a| = |b| = |c| = 1$.

(a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left| \frac{bc + ca + ab}{a + b + c} \right| = 1.$$

(b) Pokažite da je $$\frac{(b + c)(c + a)(a + b)}{abc}$$ realan broj.

Za koje cijele brojeve $x$ izraz $x^2 + 1$ dijeli $x^3 - 8x^2 + 2x$?

Zadan je trokut $ABC$ s visinama $h_a, h_b, h_c$. Sjecišta simetrala kutova s nasuprotnim stranicama označimo s $D, E, F$, a udaljenosti točaka $D, E, F$ od pravaca $AB, BC, CA$ redom sa $d_a, d_b, d_c$. Dokažite nejednakost $$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} \geq \frac{3}{2}.$$

Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$. Udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+2})$, $(i = 1, 2, \ldots, 9)$ nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+3})$, $(i = 1, 2, \ldots, 8)$ nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d(A_2, A_7)$?

Ako funkcija $f$ zadovoljava uvjete

(a) $f(1) = 1$,

(b) $f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbf{R}$,

(c) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^2}, \quad \forall x \in \mathbf{R}, \quad x \neq 0$,

koliko je $f(\sqrt{1996})$?

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?

Neka je $A_1A_2A_3A_4$ konveksan četverokut, $S$ sjecište njegovih dijagonala. Označimo sa $s_k$ površinu trokuta $A_kSA_{k+1}$, ($A_5 = A_1$), $k = 1, 2, 3, 4$. Dokažite da je $$s_2^2 = s_1 s_3 \quad \text{i} \quad 2 s_4 = s_1 + s_3$$ ako i samo ako je $A_1A_2A_3A_4$ paralelogram.

Neka je $\overline{OA}$ polumjer i $\overline{OB}$ tetiva kružnice $k$ polumjera $R$, $C$ sjecište pravca $OB$ i tangente na $k$ u točki $A$, $T$ točka na dužini $\overline{OB}$ takva da je $|OT| = |BC|$ i $T'$ projekcija od $T$ na $\overline{OA}$. Izrazite $y = |T'T|$ kao funkciju od $x = |OT'|$.

Neka je $ABCDEF$ pravilni šesterokut sa središtem $O$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{DE}$, a $L$ točka presjeka pravaca $AM$ i $BN$. Dokažite:

(a) $P(ABL) = P(DMLN)$;

(b) $\measuredangle ALD = \measuredangle OLN = 60^\circ$;

(c) $\measuredangle OLD = 90^\circ$.

Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a.$$