Search

U svakom vrhu pravilnog $n$-terokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se određeni broj novčića: u vrhu $A_k$ nalazi se točno $k$ novčića, za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$. U svakom koraku radimo sljedeću transformaciju: odabiremo dva novčića (ne nužno iz istog vrha) i prebacujemo svakog od njih u susjedni vrh, tako da jednog pomičemo u smjeru kretanja kazaljke na satu, a drugog u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu.

Odredi za koje brojeve $n$ je moguće postići da nakon konačnog broja koraka za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$ u vrhu $A_k$ bude točno $n + 1 - k$ novčića.

Na svakom polju ploče $n \times n$ ($n \geqslant 2$) nalazi se žarulja koja može biti upaljena ili ugašena.

U svakom koraku biramo jedan kvadrat $2 \times 2$ na toj ploči i unutar njega sve upaljene žarulje ugasimo, a ugašene upalimo. Za raspored upaljenih žarulja kažemo da je dobar ako se može postići da, počevši od njega, nakon konačno mnogo koraka, sve žarulje budu ugašene.

a) Dokaži da raspored prikazan na slici nije dobar. (Prikazan je položaj svih upaljenih žarulja na ploči $10 \times 10$.)

b) Koliko bi, u tom primjeru, minimalno dodatnih žarulja na početku trebalo upaliti da raspored bude dobar?

c) Odredi broj svih mogućih dobrih početnih rasporeda za $n \times n$ ploču.

Na kružnicu stavljamo crvene i plave kuglice. Na početku se na kružnici nalaze samo dvije crvene kuglice. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

i) dodati jednu crvenu kuglicu i promijeniti boju svake od dviju njoj susjednih kuglica (crvenu u plavu i obratno);

ii) maknuti jednu crvenu kuglicu i promijeniti boju svake od dviju njoj susjednih kuglica.

Možemo li nizom takvih poteza postići da na kružnici bude

a) $2013$ crvenih i $2013$ plavih kuglica;

b) samo dvije plave kuglice?

Na ploči su zapisana dva prirodna broja. Dva igrača igraju igru naizmjence odigravajući poteze kojima mijenjaju brojeve na ploči.

Ako su na ploči u nekom trenutku brojevi $A$ i $B$ ($A \geq B$), igrač koji je na potezu odabire prirodni broj $k$ takav da je $A - kB \geq 0$, briše broj $A$ te umjesto njega zapisuje broj $A - kB$. Pobjeduje igrač koji na ploču napiše broj $0$.

Za koje sve vrijednosti omjera početna dva broja na ploči prvi igrač može pobijediti neovisno o igri drugog igrača?

Ante je zapisao niz $a_1, a_2, \ldots, a_{2020}$ u kojem se svaki od brojeva $1, 2, \ldots, 2020$ pojavljuje točno jednom. Barbara želi saznati taj niz, a Ante joj daje informacije kroz niz razmjena.

U jednoj razmjeni Barbara na papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te neke od njih spoji crtom i to tako da je svaki broj spojen s najviše jednim drugim i preda taj papir Anti. Ante zatim na drugi papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te za svaki par brojeva $i$ i $j$ koje je Barbara spojila crtom, on spoji crtom brojeve $a_i$ i $a_j$, te na kraju preda taj papir Barbari.

Koliko je najmanje razmjena potrebno da Barbara može sa sigurnošću odrediti Antin niz?

Za prirodne brojeve $n$ i $k$, promatramo popločavanja ploče dimenzija $2n \times k$ dominima dimenzija $2 \times 1$. U jednom potezu je dopušteno izabrati $2 \times 2$ kvadrat na ploči koji je potpuno prekriven s dva domina, te okrenuti ga za $90°$ oko središta. Kažemo da su dva popločavanja ekvivalentna ako je od jednog moguće dobiti drugog primjenom konačno mnogo dopuštenih poteza. Za koje parove $(n, k)$ su sva popločavanja ekvivalentna?

Neka je $n$ prirodan broj. Na početku je $n$ kamenčića raspoređeno u $n$ hrpa (u svakoj hrpi je po jedan kamenčić). U pojedinom potezu biramo dvije hrpe, uzimamo jednak broj kamenčića s tih dviju hrpa te od tih kamenčića stvaramo novu hrpu. U ovisnosti o $n$, odredi najmanji mogući broj nepraznih hrpa nakon nekog konačnog niza poteza.

Antun i Bernarda igraju igru u kojoj naizmijence biraju uređene parove brojeva. Bernarda počinje igru i bira uređeni par $(n,1)$ za neki $n \in \mathbb{N}$. Ako je prethodni igrač odabrao uređeni par $(a,b)$, igrač na potezu bira jedan od parova $(a-b,b)$ i $(a-2b,2b)$. Igru gubi igrač koji odabere par u kojem je jedan od brojeva negativan.

Za koliko prirodnih brojeva $n < 2^{100}$ Antun može osigurati pobjedu neovisno o tome kako Bernarda igra nakon svog prvog poteza?

Three players $A$, $B$ and $C$ play the following game: On each of three cards an integer is written. These three numbers $p$, $q$, $r$ satisfy $0 < p < q < r$. The three cards are shuffled and one is dealt to each player. Each then receives the number of counters indicated by the card he holds. Then the cards are shuffled again; the counters remain with the players.

This process (shuffling, dealing, giving out counters) takes place for at least two rounds. After the last round, $A$ has 20 counters in all, $B$ has 10 and $C$ has 9. At the last round $B$ received $r$ counters. Who received $q$ counters on the first round?

Given an initial integer $n_0 > 1$, two players, $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$, choose integers $n_1, n_2, n_3, \ldots$ alternately according to the following rules:

Knowing $n_{2k}$, $\mathcal{A}$ chooses any integer $n_{2k+1}$ such that

$$n_{2k} \leq n_{2k+1} \leq n_{2k}^2.$$

Knowing $n_{2k+1}$, $\mathcal{B}$ chooses any integer $n_{2k+2}$ such that

$$\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$$

is a prime raised to a positive integer power.

Player $\mathcal{A}$ wins the game by choosing the number 1990; player $\mathcal{B}$ wins by choosing the number 1. For which $n_0$ does:

(a) $\mathcal{A}$ have a winning strategy?

(b) $\mathcal{B}$ have a winning strategy?

(c) Neither player have a winning strategy?

On an infinite chessboard, a game is played as follows. At the start, $n^2$ pieces are arranged on the chessboard in an $n$ by $n$ block of adjoining squares, one piece in each square. A move in the game is a jump in a horizontal or vertical direction over an adjacent occupied square to an unoccupied square immediately beyond. The piece which has been jumped over is removed.

Find those values of $n$ for which the game can end with only one piece remaining on the board.

In each of six boxes $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ there is initially one coin. There are two types of operation allowed:

Type 1: Choose a nonempty box $B_{j}$ with $1 \leq j \leq 5$. Remove one coin from $B_{j}$ and add two coins to $B_{j+1}$.

Type 2: Choose a nonempty box $B_{k}$ with $1 \leq k \leq 4$. Remove one coin from $B_{k}$ and exchange the contents of (possibly empty) boxes $B_{k+1}$ and $B_{k+2}$.

Determine whether there is a finite sequence of such operations that results in boxes $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}$ being empty and box $B_{6}$ containing exactly $2010^{2010^{2010}}$ coins. (Note that $a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}$.)

The liar's guessing game is a game played between two players $A$ and $B$. The rules of the game depend on two positive integers $k$ and $n$ which are known to both players.

At the start of the game $A$ chooses integers $x$ and $N$ with $1 \leq x \leq N$. Player $A$ keeps $x$ secret, and truthfully tells $N$ to player $B$. Player $B$ now tries to obtain information about $x$ by asking player $A$ questions as follows: each question consists of $B$ specifying an arbitrary set $S$ of positive integers (possibly one specified in some previous question), and asking $A$ whether $x$ belongs to $S$. Player $B$ may ask as many such questions as he wishes. After each question, player $A$ must immediately answer it with yes or no, but is allowed to lie as many times as she wants; the only restriction is that, among any $k + 1$ consecutive answers, at least one answer must be truthful.

After $B$ has asked as many questions as he wants, he must specify a set $X$ of at most $n$ positive integers. If $x$ belongs to $X$, then $B$ wins; otherwise, he loses. Prove that:

1. If $n \geq 2^k$, then $B$ can guarantee a win.
2. For all sufficiently large $k$, there exists an integer $n \geq 1.99^k$ such that $B$ cannot guarantee a win.

A hunter and an invisible rabbit play a game in the Euclidean plane. The rabbit's starting point, $A_0$, and the hunter's starting point, $B_0$, are the same. After $n - 1$ rounds of the game, the rabbit is at point $A_{n-1}$ and the hunter is at point $B_{n-1}$. In the $n^{\text{th}}$ round of the game, three things occur in order.

(i) The rabbit moves invisibly to a point $A_{n}$ such that the distance between $A_{n-1}$ and $A_{n}$ is exactly 1.

(ii) A tracking device reports a point $P_{n}$ to the hunter. The only guarantee provided by the tracking device to the hunter is that the distance between $P_{n}$ and $A_{n}$ is at most 1.

(iii) The hunter moves visibly to a point $B_{n}$ such that the distance between $B_{n-1}$ and $B_{n}$ is exactly 1.

Is it always possible, no matter how the rabbit moves, and no matter what points are reported by the tracking device, for the hunter to choose her moves so that after $10^9$ rounds she can ensure that the distance between her and the rabbit is at most 100?

A site is any point $(x, y)$ in the plane such that $x$ and $y$ are both positive integers less than or equal to 20.

Initially, each of the 400 sites is unoccupied. Amy and Ben take turns placing stones with Amy going first. On her turn, Amy places a new red stone on an unoccupied site such that the distance between any two sites occupied by red stones is not equal to $\sqrt{5}$. On his turn, Ben places a new blue stone on any unoccupied site. (A site occupied by a blue stone is allowed to be at any distance from any other occupied site.) They stop as soon as a player cannot place a stone.

Find the greatest $K$ such that Amy can ensure that she places at least $K$ red stones, no matter how Ben places his blue stones.

Turbo the snail plays a game on a board with 2024 rows and 2023 columns. There are hidden monsters in 2022 of the cells. Initially, Turbo does not know where any of the monsters are, but he knows that there is exactly one monster in each row except the first row and the last row, and that each column contains at most one monster.

Turbo makes a series of attempts to go from the first row to the last row. On each attempt, he chooses to start on any cell in the first row, then repeatedly moves to an adjacent cell sharing a common side. (He is allowed to return to a previously visited cell.) If he reaches a cell with a monster, his attempt ends and he is transported back to the first row to start a new attempt. The monsters do not move, and Turbo remembers whether or not each cell he has visited contains a monster. If he reaches any cell in the last row, his attempt ends and the game is over.

Determine the minimum value of $n$ for which Turbo has a strategy that guarantees reaching the last row on the $n^{\text{th}}$ attempt or earlier, regardless of the locations of the monsters.

Alice and Bazza are playing the inekoalaty game, a two-player game whose rules depend on a positive real number $\lambda$ which is known to both players. On the $n^{\text{th}}$ turn of the game (starting with $n = 1$) the following happens:

• If $n$ is odd, Alice chooses a nonnegative real number $x_n$ such that

$$x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leqslant \lambda n.$$

• If $n$ is even, Bazza chooses a nonnegative real number $x_n$ such that

$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \leqslant n.$$

If a player cannot choose a suitable number $x_n$, the game ends and the other player wins. If the game goes on forever, neither player wins. All chosen numbers are known to both players.

Determine all values of $\lambda$ for which Alice has a winning strategy and all those for which Bazza has a winning strategy.

The numbers $0, 1, 2, \ldots, n$ ($n \geqslant 2$) are written on a blackboard. In each step we erase an integer which is the arithmetic mean of two different numbers which are still left on the blackboard. We make such steps until no further integer can be erased. Let $g(n)$ be the smallest possible number of integers left on the blackboard at the end. Find $g(n)$ for every $n$.

All positive divisors of a positive integer $N$ are written on a blackboard. Two players $A$ and $B$ play the following game taking alternate moves. In the first move, the player $A$ erases $N$. If the last erased number is $d$, then the next player erases either a divisor of $d$ or a multiple of $d$. The player who cannot make a move loses. Determine all numbers $N$ for which $A$ can win independently of the moves of $B$.

Let $n \geq 3$ be an integer. John and Mary play the following game: First John labels the sides of a regular $n$-gon with the numbers $1, 2, \ldots, n$ in whatever order he wants, using each number exactly once. Then Mary divides this $n$-gon into triangles by drawing $n - 3$ diagonals which do not intersect each other inside the $n$-gon. All these diagonals are labeled with number $1$. Into each of the triangles the product of the numbers on its sides is written. Let $S$ be the sum of those $n - 2$ products.

Determine the value of $S$ if Mary wants the number $S$ to be as small as possible and John wants $S$ to be as large as possible and if they both make the best possible choices.

The expression $$\pm \square \pm \square \pm \square \pm \square \pm \square \pm \square$$ is written on the blackboard. Two players, $A$ and $B$, play a game, taking turns. Player $A$ takes the first turn. In each turn, the player on turn replaces a symbol $\square$ by a positive integer. After all the symbols $\square$ are replaced, player $A$ replaces each of the signs $\pm$ by either $+$ or $-$, independently of each other. Player $A$ wins if the value of the expression on the blackboard is not divisible by any of the numbers $11, 12, \ldots, 18$. Otherwise, player $B$ wins.

Determine which player has a winning strategy.

A group of pirates had an argument and now each of them holds some other two at gunpoint. All the pirates are called one by one in some order. If the called pirate is still alive, he shoots both pirates he is aiming at (some of whom might already be dead). All shots are immediately lethal. After all the pirates have been called, it turns out that exactly $28$ pirates got killed.

Prove that if the pirates were called in whatever other order, at least $10$ pirates would have been killed anyway.

Let $n$ be a positive integer. Anna and Beatrice play a game with a deck of $n$ cards labelled with the numbers $1, 2, \ldots, n$. Initially, the deck is shuffled. The players take turns, starting with Anna. At each turn, if $k$ denotes the number written on the topmost card, then the player first looks at all the cards and then rearranges the $k$ topmost cards. If, after rearranging, the topmost card shows the number $k$ again, then the player has lost and the game ends. Otherwise, the turn of the other player begins. Determine, depending on the initial shuffle, if either player has a winning strategy, and if so, who does.

There are 2024 mathematicians sitting in a row next to the river Tisza. Each of them is working on exactly one research topic, and if two mathematicians are working on the same topic, everyone sitting between them is also working on it.

Marvin is trying to figure out for each pair of mathematicians whether they are working on the same topic. He is allowed to ask each mathematician the following question: "How many of these 2024 mathematicians are working on your topic?" He asks the questions one by one, so he knows all previous answers before he asks the next one.

Determine the smallest positive integer $k$ such that Marvin can always accomplish his goal with at most $k$ questions.

Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom s lijeva na desno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

Andrija i Boris imaju $2014$ karata označenih brojevima od $1$ do $2014$. Andrija ima sve karte s parnim, a Boris sve karte s neparnim brojevima. Andrija je poredao svoje karte ukrug redom, od $2$ do $2014$, u smjeru kazaljke na satu tako da se brojevi na kartama ne vide. Boris zna da su karte poredane tim redom i u tom smjeru, ali ne zna gdje se nalazi karta s brojem $2$. Nakon toga, Boris na svaku Andrijinu stavi po jednu od svojih karata i tako nastane $1007$ parova karata. Za svaki se par usporedi brojeve na kartama i dodijeli jedan bod onom igraču na čijoj je karti veći broj.

Odredi najveći mogući $N$ tako da Boris može biti siguran da će ostvariti barem $N$ bodova.

Na stolu se nalazi hrpa s $1001$ kamenčićem. U svakom koraku Matko odabire neku hrpu koja sadrži više od tri kamenčića, uklanja jedan kamenčić i podijeli ostatak kamenčića na dvije (ne nužno jednake) hrpe. Može li Matko nizom ovakvih koraka postići da u svakoj hrpi budu točno tri kamenčića?

Karlo i Lovro igraju sljedeću igru. Karlo će razrezati papir dimenzija $9 \times 9$ na pravokutnike cjelobrojnih dimenzija kojima je barem jedna dimenzija $1$. Nakon toga će Lovro odabrati prirodni broj $k \in \{1, \ldots, 9\}$ i Karlo će mu dati onoliko novčića koliko iznosi ukupna površina svih pravokutnika dimenzija $1 \times k$ i $k \times 1$. Lovro će odabrati $k$ tako da od Karla dobije što više novčića, a Karlo bi želio uštedjeti i pritom dati Lovri što manje novčića.

Odredi najmanji mogući broj novčića koje će Karlo dati Lovri.

Na stolu su $42$ kamenčića. Dva igrača naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu igrač treba uzeti najmanje jedan kamenčić, ali ne više od polovine preostalih kamenčića. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza na stolu ostane samo jedan kamenčić.

Koji igrač sigurno može pobijediti?

Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1,1)$ po sljedećim pravilima:

(i) iz točke $(a,b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a,b)$, odnosno $(a,2b)$;

(ii) ako je $a > b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a - b,b)$, a ako je $a < b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a,b - a)$.

Da li žaba može stići u točku

(a) $(24,40)$,

(b) $(40,60)$,

(c) $(24,60)$,

(d) $(200,4)$?

U svako polje tablice $m \times n$ ($m, n \in \mathbb{N}$) upisano je slovo $A$ ili $B$. Pritom nikoja dva susjedna polja (sa zajedničkom stranicom) ne sadrže isto slovo. U jednom koraku biraju se dva susjedna polja, i oba slova na tim poljima zamijene se novim slovima po sljedećem pravilu:

• umjesto slova $A$ upisuje se slovo $B$,
• umjesto slova $B$ upisuje se slovo $C$,
• umjesto slova $C$ upisuje se slovo $A$.

Za koje $m$ i $n$ nakon konačno mnogo koraka možemo postići da u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $A$ sada piše slovo $B$, a u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $B$ sada piše slovo $A$?

Ukrug je napisano 299 nula i jedna jedinica. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

• svakom broju istovremeno oduzeti njemu oba susjedna broja;
• odabrati dva broja između kojih se nalaze točno dva broja te ih oba uvećati ili oba umanjiti za 1.

Može li se konačnim nizom dozvoljenih poteza postići da ukrug budu napisane

(a) dvije uzastopne jedinice i 298 nula?

(b) tri uzastopne jedinice i 297 nula?

Na ploči dimenzija $100 \times 100$ nalaze se dvije figure – u gornjem lijevom polju je kralj, a u gornjem desnom skakač. Figure se naizmjenično pomiču, a kralj kreće prvi. Obje figure se kreću kao u šahu: skakač se s polja označenog kružićem može pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči), dok se kralj u svom potezu pomiče na jedno od (najviše) osam susjednih polja. Može li kralj sigurno doći do donjeg desnog polja ploče, a da ga skakač pritom ne ulovi?

Ana i Borna igraju igru na $3 \times 3$ ploči. Na početku Ana u polja ploče upiše sve prirodne brojeve od $1$ do $9$. Zatim Borna odabire jedan put od gornjeg lijevog do donjeg desnog polja koji sadrži točno pet polja. Na kraju određuju zbroj brojeva upisanih u polja odabranog puta. Ana želi da taj zbroj bude što veći, a Borna da bude što manji. Ako oboje igraju optimalno, koliki će biti taj zbroj?

(Put je niz polja od kojih svaka dva uzastopna imaju zajedničku stranicu.)

U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.

Dva igrača naizmjence zapisuju po jednu znamenku, redom slijeva nadesno. Igrač gubi ako je nakon njegovog poteza napisan niz znamenaka $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ za koji postoji prirodni broj $k$ takav da je broj $\overline{a_k a_{k+1} \ldots a_n}$ djeljiv s 11.

Koji igrač može pobijediti neovisno o igri protivnika?

Na ploči dimenzija $3 \times 2023$ koja je na početku prazna igra se igra za dva igrača koji naizmjence vuku poteze. U pojedinom potezu igrač odabire dva prazna polja koja se nalaze u istom retku ili istom stupcu te stavlja po jedan žeton na ta polja. Gubi igrač koji ne može odigrati dopušteni potez.

Ako Kristina igra prva, a Ana druga, koja od njih može osigurati svoju pobjedu?

U igri za dva igrača koristi se 101 praznih kutija i dovoljna količina žetona. Igrači, Ema i Lovro, naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu, igrač stavlja po jedan žeton u sto različitih kutija. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza u jednoj od kutija bude 201 žeton. Ako Ema igra prva, koji od igrača može osigurati pobjedu?

Na pravcu $p$ označeno je 2026 točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal{T}$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$.

Josip može brisati točke skupa $\mathcal{T}$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal{T}$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova.

Odredi broj Josipovih točaka.

Osam žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacije biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno.

Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

Dano je $2014$ žetona koji su s jedne strane crne, a s druge bijele boje i ploča dimenzija $2014 \times 1$. Na početku se na svakom polju ploče nalazi po jedan žeton, okrenut na crnu ili na bijelu stranu. U svakom potezu dozvoljeno je ukloniti jedan žeton okrenut na crnu stranu i istovremeno preokrenuti žetone na susjednim poljima (ako nisu već uklonjeni).

Odredi sve početne rasporede žetona za koje je nizom takvih poteza moguće ukloniti sve žetone.

Rudi i Miljen igraju igru na školskoj ploči naizmjence odigravajući poteze. Igrač koji je na potezu bira dva relativno prosta broja napisana na ploči, briše ih te zapisuje na ploču njihov zbroj. Gubi igrač koji to ne može napraviti. Igru započinje Rudi. Dokaži da Miljen ima pobjedničku strategiju ako je na početku na ploči bilo napisano

(a) 2019 jedinica;

(b) 2020 jedinica.

Vita i Lovro naizmjence bacaju igraću kockicu (na čijim su stranama brojevi od $1$ do $6$). Svaki od njih zbraja brojeve koje dobije bacanjem kockice. Vita baca prva. Igra završava Vitinom pobjedom ako njezin zbroj dosegne $5$ (tj. bude $5$ ili više), a Lovrinom pobjedom ako njegov zbroj dosegne $4$. Pokaži da je vjerojatnost da Vita pobijedi veća od $0.5$.