Croatian Mathematical Olympiad 2012

Dani su pozitivni realni brojevi $x$, $y$ i $z$ takvi da je $x + y + z = 18xyz$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 2yz + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^2 + 2xz + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^2 + 2xy + 1}} \geqslant 1.$$

Svakom vrhu pravilnog mnogokuta pridružen je jedan od brojeva $0$ ili $1$. Koristeći dijagonale koje se međusobno ne sijeku osim u vrhovima, Rudi dijeli mnogokut na trokute, a zatim u svaki trokut upisuje zbroj brojeva pridruženih njegovim vrhovima. Dokaži da Rudi može odabrati dijagonale kojima će podijeliti mnogokut tako da se najveći i najmanji od brojeva upisanih u dobivene trokute razlikuju za najviše $1$.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut takav da je $|AD| = |BD|$ i neka je $M$ sjecište njegovih dijagonala. Nadalje, neka je $N$ drugo sjecište dijagonale $\overline{AC}$ s kružnicom koja prolazi točkama $B$, $M$ i središtem kružnice upisane trokutu $BCM$.

Dokaži da vrijedi $|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|$.

Postoje li cijeli brojevi $a$ i $b$ takvi da su oba broja $a + b$ i $a \cdot b - 1$ potpuni kvadrati?

Zadan je niz realnih brojeva: $$x_0 = 1,$$ $$x_1 = 1,$$ $$x_n = \sqrt{\frac{n}{2} + x_{n-1}x_{n-2}}, \quad \text{za } n \geqslant 2.$$

Postoji li realni broj $A$ takav da je $An < x_n < An + 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$?

U državi postoji $g$ gradova i $c$ cesta, pri čemu svaka cesta povezuje točno dva različita grada, a između dva grada postoji najviše jedna cesta. Ceste su označene brojevima $1, 2, \ldots, c$. Tonći svoje putovanje mora proći tako da kad zapiše oznake cesta redom kojim ih je prolazio dobije (strogo) rastući niz brojeva. Dokaži da postoji grad takav da krenuvši iz toga grada Tonći može proći barem $\dfrac{2c}{g}$ cesta.

Neka su točke $M$ i $N$ redom dirališta upisane kružnice raznostraničnog trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$, a točke $P$ i $Q$ redom dirališta pripisanih kružnica nasuprot vrhova $B$ i $C$ s pravcem $BC$. Dokaži da je četverokut $MNPQ$ tetivan ako i samo ako je trokut $ABC$ pravokutan s pravim kutom pri vrhu $A$.

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2 + f(y)) = (f(x) + y^2)^2.$$

Uz obalu nekog otoka nalazi se $20$ sela. U svakom selu živi $20$ boraca. Svaki od boraca bori se sa svim borcima iz ostalih sela. Svaka dva borca imaju različitu snagu i borac koji je snažniji pobjeduje u borbi. Kažemo da je selo $A$ nadvladalo selo $B$ ako je u barem $k$ borbi između boraca iz $A$ i boraca iz $B$ pobijedio borac iz $A$. Nakon svih borbi ustanovljeno je da je svako selo nadvladalo selo koje mu je neposredni susjed u smjeru kazaljke na satu.

Dokaži da najveći mogući $k$ iznosi $290$.

Trapez $ABCD$ s duljom osnovicom $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu $k$. Neka su $A_0$, $B_0$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$, $\overline{CA}$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$ na $AB$, a $G$ težište trokuta $ABC$. Kružnica $k_1$ prolazi točkama $A_0$ i $B_0$ te dodiruje kružnicu $k$ u točki $X$, različitoj od $C$. Dokaži da su točke $D$, $G$, $N$ i $X$ kolinearne.

Za dani prirodni broj $k$ neka je $S(k)$ zbroj svih brojeva iz skupa $\{1,2,\ldots,k\}$ koji su relativno prosti s $k$. Neka je $m$ prirodni i $n$ neparni prirodni broj. Dokaži da postoje prirodni brojevi $x$ i $y$, pri čemu $m$ dijeli $x$, takvi da vrijedi $2S(x) = y^n$.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(y + f(x)) - f(x + f(y)) = f(x - y)(f(x + y) - 1).$$

Neka je $A$ sedmeročlani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,26\}$. Dokaži da postoje dva različita neprazna podskupa od $A$ takva da su zbrojevi njihovih elemenata jednaki.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da za bilo koji prirodni broj $d$ postoji prirodni broj $n$ djeljiv brojem $d$, takav da u njegovom dekadskom zapisu možemo izbrisati neku znamenku različitu od nule, tako da dobiveni broj bude također djeljiv brojem $d$.