Grade 9

Opseg pravokutnog trokuta iznosi $18$, a površina $9$. Kolika je duljina hipotenuze tog trokuta?

a) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka $987654$;

b) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka $987654$.

Odredi najmanju moguću vrijednost izraza $$a^2 + 5b^2 + 8c^2 - 4ab - 4bc - 8c + 24,$$ pri čemu su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, te odredi $a$, $b$ i $c$ za koje se ta vrijednost postiže.

U trokutu $ABC$ kut kod vrha $A$ je dvostruko veći od kuta kod vrha $B$. Neka simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Dokaži da vrijedi $$|BC| = |AD| + |AC|.$$

Na koliko načina možemo obojati polja ploče $2 \times 2016$ u dvije boje tako da ne postoje tri polja iste boje koja se mogu istovremeno pokriti pločicom oblika kao na slici? Pločicu je dozvoljeno rotirati.

Neka su $x$ i $y$ različiti realni brojevi takvi da je $2xy + 1 \neq 0$ i neka su $$A = \frac{6x^2y^2 + xy - 1}{2xy + 1} \quad \text{i} \quad B = \frac{x(x^2 - 1) - y(y^2 - 1)}{x - y}.$$

Odredi koji je broj veći, $A$ ili $B$.

Za prirodne brojeve $a$, $b$ i prost broj $p$ vrijedi $a^2 + p^2 = b^2$.

Dokaži da je $2(b + p)$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi koliko ima šesteroznamenkastih prirodnih brojeva takvih da uklanjanjem prve dvije, odnosno zadnje dvije znamenke dobivamo dva četveroznamenkasta broja koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $99$.

Neka je $\overline{AC}$ promjer kružnice $k_1$ kojoj je središte u točki $B$. Kružnica $k_2$ dira pravac $AC$ u točki $B$ i kružnicu $k_1$ u točki $D$. Tangenta iz $A$ (različita od $AC$) na kružnicu $k_2$ dira tu kružnicu u točki $E$ i siječe pravac $BD$ u točki $F$. Odredi omjer $|AF| : |AB|$.

Za prirodni broj $n$ kažemo da je tablica s tri retka i $n$ stupaca čarobna ako postoji prirodni broj $k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, takav da se

• u prvom retku nalaze redom brojevi $1, 2, \ldots, n$,

• u drugom retku nalaze redom brojevi $k, k+1, \ldots, n, 1, 2, \ldots, k-1$,

• u trećem retku nalaze brojevi od $1$ do $n$ u takvom poretku da su zbrojevi triju brojeva u svakom stupcu međusobno jednaki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji čarobna tablica i za svaki takav $n$ odredi koliko ima čarobnih tablica.