U pravokutnom trokutu $ABC$ stranica $AB$ je hipotenuza, a težišnice $AA'$ i $BB'$ se sijeku u težištu $T$. Dokažite da je $\cos \angle ATB' \ge \dfrac{4}{5}$ i da jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut jednakokračan.

Unutar kružnice polumjera $R$ nalazi se $n$ manjih kružnica polumjera $r_1, r_2, \ldots, r_n$ takvih da je $r_1 + r_2 + \ldots + r_n > 4R$. Dokažite da postoji pravac koji siječe barem $5$ manjih kružnica.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \ge 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Na hipotenuzi $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ izabrana je točka $P$ tako da je $|PA| = m$, $|PB| = n$, $|PC| = d$. Pokažite da je $$a^2 m^2 + b^2 n^2 = c^2 d^2,$$ gdje je $|BC| = a$, $|CA| = b$, $|AB| = c$.

Riješite jednadžbu $$2 \cos\left(\frac{\pi}{2}(1 + x)\right) = \frac{1}{x^2} + x^2.$$

Volumen kocke $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jednak je $V$. Nađite volumen zajedničkog dijela tetraedara $AB_1CD_1$ i $A_1BC_1D$.

U ravnini je dano pet točaka $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i, P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.

Nadite najveći prirodan broj $n$ koji je djeljiv sa svim prirodnim brojevima $k$ takvima da je $k \leq \sqrt{n}$.

(a) Služeći se poznatim formulama $a = 2R \sin \alpha$ i $s - a = r \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}$ u trokutu $ABC$ s polumjerima $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice i poluopsegom $s$ i izražavajući $\sin \alpha$ i $\ctg \frac{\alpha}{2}$ pomoću $\cos \alpha$ pokažite da je broj $\cos \alpha$ rješenje jednadžbe $$4R^2x^3 - 4R(R + r)x^2 + (s^2 + r^2 - 4R^2)x + (2R + r)^2 - s^2 = 0.$$

(b) Izrazite brojeve $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ i $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ pomoću duljina $R, r$ i $s$.

(c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ od pravaca $BC, CA, AB$ jednaka $R + r$, ako se orijentirana udaljenost točke $O$ od npr. pravca $BC$ uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke $O$ i $A$ s iste ili s različitih strana tog pravca.

(d) Ako se konveksan tetivni $n$-terokut na bilo koji način podijeli na $n-2$ trokuta pomoću $n-3$ dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi $50$ bodova (ostali po $25$), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)

Na nekom turističkom putovanju bilo je ukupno $17$ turista. Utvrđeno je da su bilo koja dvojica od njih bili međusobno "na ti" ili "na vi" ili uopće nisu razgovarali. Dokažite da među tih $17$ ljudi postoje bar trojica koji su međusobno bili "na ti" ili bar trojica koji su međusobno bili "na vi" ili bar trojica koji međusobno nisu razgovarali.

Dokažite da za svaki $x \in \mathbf{R}$ vrijedi nejednakost $$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq 2.$$ Kada vrijedi jednakost?

Neka su $h_1$, $h_2$, $h_3$ duljine visina trokuta $ABC$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, redom, a $u$, $v$, $w$ udaljenosti točke $M$ iz unutrašnjosti trokuta od stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Dokažite: $$\frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$$ $$h_1 h_2 h_3 \geq 27 uvw,$$ $$(h_1 - u)(h_2 - v)(h_3 - w) \geq 8 uvw.$$

Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi jednim vrhom baze i okomita je na nasuprotni pobočni brid. Površina presjeka dvaput je manja od površine baze. Odredite prikloni kut pobočnog brida i baze.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha] | n \in \mathbf{N}\}$ i $B = \{[n\beta] | n \in \mathbf{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbf{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbf{N}$.

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Neka su $x, y, z, a, b, c$ cijeli brojevi za koje vrijedi: $$\begin{aligned} x^{2} + y^{2} &= a^{2}, \\ x^{2} + z^{2} &= b^{2}, \\ y^{2} + z^{2} &= c^{2}. \end{aligned}$$

Dokažite da je broj $xyz$ djeljiv s

(a) $5$,

(b) $55$.

Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^{2}x| + \cdots + |\cos 2^{n}x| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}}.$$

Neka su u tetraedru $ABCD$ površine strana $ABD$, $ACD$, $BCD$ i $BCA$ redom jednake $S_{1}$, $S_{2}$, $Q_{1}$, $Q_{2}$, a prostorni kut između strana $ABD$ i $ACD$ jednak $\alpha$, odnosno $\beta$ između $BCD$ i $BCA$. Dokažite da je $$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - 2S_{1}S_{2}\cos\alpha = Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} - 2Q_{1}Q_{2}\cos\beta.$$

Nad stranicama trokuta $ABC$ konstruirani su slični trokuti $ABD$, $BCE$, $CAF$ ($k = |AD| : |DB| = |BE| : |EC| = |CF| : |FA|$; $\alpha = \measuredangle ADB = \measuredangle BEC = \measuredangle CFA$). Dokažite da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ i $\overline{EF}$ vrhovi paralelograma, čiji je jedan kut jednak $\alpha$, a omjer duljina odgovarajućih stranica $k$.

Dokažite da za svaki trokut sa stranicama $a$, $b$, $c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ vrijedi jednakost $$\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)\cos\alpha + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right)\cos\beta + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\cos\gamma = 3.$$

U stožac je upisana polusfera čija kružna baza leži u bazi stošca. Omjer oplošja stošca (uključujući i bazu) i oplošja polusfere (bez kružne baze) je $k = \dfrac{18}{5}$. Odredite vršni kut stošca.

U trokutu $ABC$ su dane visine $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$, $\overline{CC_1}$, pri čemu je $$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \vec{0}.$$ Dokažite da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokažite da među svakih $79$ uzastopnih prirodnih brojeva postoji barem jedan čija je suma znamenaka djeljiva sa $13$.

Nađite niz od $78$ uzastopnih prirodnih brojeva sa svojstvom da suma znamenaka niti jednog od njih nije djeljiva sa $13$.

Trokut $ABC$ s kutevima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ upisan je u pravokutnik $APQR$ tako da točka $B$ leži na stranici $\overline{PQ}$, a točka $C$ na stranici $\overline{QR}$. Dokažite da je $$\operatorname{ctg}\alpha \cdot P(BCQ) = \operatorname{ctg}\beta \cdot P(ACR) + \operatorname{ctg}\gamma \cdot P(ABP).$$

Baza piramide $ABCDV$ je pravokutnik $ABCD$ čije su duljine stranica $|AB| = a$ i $|BC| = b$, a svi bočni bridovi su duljine $c$. Odredite površinu presjeka te piramide ravninom koja prolazi dijagonalom $\overline{BD}$ baze i paralelna je bočnom bridu $\overline{VA}$.

Za duljine $a$, $b$ i $c$ stranica trokuta vrijedi $a \geq b \geq c$. Vrhovi trokuta središta su triju krugova s nenegativnim polumjerima. Nikoja dva kruga nemaju zajedničkih unutarnjih točaka, niti obuhvaćaju neki od preostala dva vrha trokuta. Kolika je maksimalna površina koju pokrivaju ti krugovi?

Možemo li iz svakog deveteročlanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati četiri različita elementa $a$, $b$, $c$ i $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$?

Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\measuredangle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

Pet različitih četveroznamenkastih brojeva koji počinju s istom znamenkom imaju svojstvo da četiri od njih dijele zbroj svih pet brojeva. Nadite sve takve petorke.

Kvadar je presječen ravninom tako da je presjek pravilni šesterokut. Dokažite da je to moguće samo ako je kvadar kocka.

Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost $$\left\lfloor \log_2 n \right\rfloor + \left\lfloor \log_3 n \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \log_n n \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[3]{n} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \sqrt[n]{n} \right\rfloor.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

U ravnini su dane dvije različite točke $O$ i $P$. Odaberimo paralelogram $ABCD$ kojem je točka $O$ središte. Označimo s $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$. Točka $Q$ je presjek dužina $\overline{MC}$ i $\overline{ND}$. Dokažite da točke $O$, $Q$ i $P$ leže na istom pravcu i da točka $Q$ ne ovisi o izboru paralelograma $ABCD$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| \neq |BC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$, $\alpha = \measuredangle BAC$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\varphi = \measuredangle ACM$, $\psi = \measuredangle BCM$. Dokažite da je $$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin \varphi \sin \psi}{\sin(\varphi - \psi)}.$$

Na ploči su napisani brojevi $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{2001}$. Učenik odabira dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.

Skup $S$ sadrži $100$ prirodnih brojeva, od kojih je svaki manji od $200$. Pokažite da postoji neprazan podskup $T$ od $S$ takav da je produkt brojeva iz $T$ potpuni kvadrat.

U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\measuredangle ADC = \beta$, odnosno $\measuredangle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\measuredangle ACB$ pravi.

Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja $2$.

Na dijagonalama $\overline{AB_1}$ i $\overline{CA_1}$ bočnih strana $ABB_1A_1$ i $CAA_1C_1$ trostrane prizme $ABCA_1B_1C_1$ dane su točke $E$ i $F$ takve da je $EF \parallel BC_1$. Nadite omjer duljina dužina $\overline{EF}$ i $\overline{BC_1}$.

Na otoku živi $n$ domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja.) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći $\left\lfloor \dfrac{n^2}{4} \right\rfloor$ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.

U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, $\alpha = \measuredangle CAB$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\gamma = \measuredangle BCA$.

a) Ako je $\alpha = 3\beta$, dokažite da je $(a^2 - b^2)(a - b) = bc^2$.

b) Da li vrijedi obrat? Obrazložite!

Dokažite jednakost $$\left\lfloor \frac{n(n + 1)}{4n - 2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n + 1}{4} \right\rfloor,$$ za svaki prirodan broj $n > 2$.

Svi bridni kutovi pri vrhu $D$ tetraedra $ABCD$ jednaki su $\alpha$, a kutovi između dviju strana tetraedra kojima je jedan vrh $D$ jednaki su $\varphi$. Dokažite da postoji točno jedan kut $\alpha$ za koji je $\varphi = 2\alpha$.

Imamo $8$ kockica duljine brida $1$ čije su $24$ strane obojene plavo, a preostalih $24$ crveno. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka $(2 \times 2 \times 2)$ na čijem oplošju će biti jednak broj plavih i crvenih kvadrata $(1 \times 1)$.

Neka je $ABCD$ kvadrat i $P$ točka na kružnici opisanoj kvadratu na luku $\widehat{AB}$ koji ne sadrži točku $C$. Koje vrijednosti može poprimiti izraz $$\frac{|AP| + |BP|}{|CP| + |DP|}?$$

Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost $$\frac{\cos \alpha}{a^3} + \frac{\cos \beta}{b^3} + \frac{\cos \gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc},$$ pri čemu su $a$, $b$, $c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ odgovarajući kutovi.

Visine trostrane piramide sijeku se u jednoj točki. Dokažite da ta točka, težište jedne strane piramide, nožište visine na tu stranu i tri točke koje dijele preostale tri visine u omjeru $2:1$, počevši od vrha piramide, leže na istoj sferi.

Konačan broj polja beskonačne kvadratne mreže obojen je crnom bojom. Dokažite da je u toj ravnini moguće odabrati konačno mnogo kvadrata koji zadovoljavaju svaki od sljedećih uvjeta:

(i) Unutrašnjosti svaka dva različita kvadrata su disjunktne (imaju prazan presjek).

(ii) Svako crno obojeno polje leži u nekom od tih kvadrata.

(iii) Površina crnih polja u svakom od odabranih kvadrata je barem $\frac{1}{5}$, a najviše $\frac{4}{5}$ površine tog kvadrata.

Nađite sva rješenja $k$, $l$, $m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k! l! = k! + l! + m!.$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

Upisana kružnica trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{AC}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $M$, $N$ i $R$. Neka je $S$ točka na manjem od dva luka $\widehat{MN}$ i $t$ tangenta na taj luk s diralištem $S$. Tangenta $t$ siječe $\overline{NC}$ i $\overline{MC}$ redom u točkama $P$ i $Q$. Dokažite da se pravci $AP$, $BQ$, $SR$ i $MN$ sijeku u jednoj točki.

Odredite skup svih točaka triedra takvih da je zbroj njihovih udaljenosti od strana triedra jednak zadanom pozitivnom broju $a$.