Dan je prirodni broj $n$. Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$ vrijedi nejednakost

$$\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leq \frac{(n+1)^2}{4n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right)^2.$$

Na ploči $N \times N$ ($N \geq 2$) dva su dijagonalno suprotna kutna polja obojana u crno, a sva ostala obojana su u bijelo. U jednom koraku odaberemo redak ili stupac i promijenimo boju svakom polju u tom retku ili stupcu iz crne u bijelu i obratno. Koji je najmanji dodatni broj polja koje na početku moramo obojati u crno kako bismo nakon konačnog broja opisanih koraka mogli dobiti ploču na kojoj su sva polja crna?

Pretpostavimo da je $P$ točka unutar trokuta $ABC$ takva da vrijedi

$$\frac{|AP| + |BP|}{|AB|} = \frac{|BP| + |CP|}{|BC|} = \frac{|CP| + |AP|}{|CA|}.$$

Neka pravci $AP, BP, CP$ ponovno sijeku trokutu $ABC$ opisanu kružnicu redom u točkama $A', B', C'$. Dokaži da trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ imaju zajedničku upisanu kružnicu.

Odredi sve parove $(p, q)$ prostih prirodnih brojeva takve da vrijedi

$$p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3).$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2) + x f(y) = f(x) f(x + f(y)).$$

Dano je $N \geq 3$ točaka u ravnini takvih da nikoje tri ne leže na istom pravcu. Svaka dužina koja spaja dvije dane točke je obojana crvenom ili plavom bojom. Dokaži da postoji $N - 1$ dužina iste boje koje ne dijele ravninu na više od jednog dijela takve da se nikoje dvije ne sijeku osim u vrhovima.

Točka $O$ je središte kružnice opisane šiljastokutnom trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ redom su odabrane na dužinama $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ tako da je $|BE| = |OF|$. Ako su $M$ i $N$ redom polovišta kružnih lukova $\widehat{EOA}$ i $\widehat{AOF}$, dokaži da je $\measuredangle ENO + \measuredangle OMF = 2\measuredangle BAC$.

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Dana je funkcija $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takva da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x f (y)) + f (x ^ {2}) = f (x) (x + f (y))$$

te da je $f(2) = 3$. Odredi $f(2^{2016})$.

Može li se ploča $12 \times 12$ popločati L-trominima tako da svaki redak i svaki stupac siječe isti broj tromina?

L-tromino se sastoji od tri jedinična kvadrata koja se ne nalaze u istom stupcu ili retku.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Polupravci $AD$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. U unutrašnjosti trokuta $DCP$ dana je točka $M$ takva da pravac $PM$ raspolavlja kut $\measuredangle CMD$. Pravac $CM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $DMP$ ponovno u točki $Q$, a pravac $DM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $CMP$ ponovno u točki $R$.

a) Dokaži da dužine $\overline{CQ}$ i $\overline{DR}$ imaju jednaku duljinu.

b) Dokaži da trokuti $PAQ$ i $PBR$ imaju jednaku površinu.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da vrijedi

$$3 \cdot 5 ^ {m} - 2 \cdot 6 ^ {n} = 3.$$

Odredi najmanji realni broj $C$ takav da je za sve pozitivne realne brojeve $a_1, a_2, a_3, a_4$ i $a_5$ moguće odabrati međusobno različite indekse $i, j, k, l$ tako da vrijedi

$$\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leqslant C.$$

Dokaži da je moguće svaki prirodni broj obojiti jednom od tri boje tako da sljedeća dva uvjeta budu zadovoljena:

i) Za svaki $n \in \mathbb{N}_0$, svi prirodni brojevi $x$ takvi da je $2^n \leqslant x < 2^{n+1}$ su iste boje.

ii) Ne postoje prirodni brojevi $x, y$ i $z$ iste boje (osim $x = y = z = 2$) takvi da vrijedi $x + y = z^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| < |BC|$. Točka $I$ je središte kružnice upisane tom trokutu. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $N$ polovište luka $\widehat{AC}$ opisane kružnice tog trokuta koji sadrži točku $B$. Dokaži da je

$$\measuredangle IMA = \measuredangle INB.$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je

$$5m^3 = 27n^4 - 2n^2 + n.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$xf(x) - yf(y) = (x - y)(f(x + y) - xy).$$

U jednoj organizaciji postoje tri odbora. Svaka osoba pripada točno jednom odboru. Za svake dvije osobe koje pripadaju različitim odborima, u preostalom odboru postoji točno $10$ osoba koje te dvije osobe obje poznaju, te točno $10$ osoba koje nijedna od te dvije osobe ne poznaje. Poznanstva su uzajamna. Koliko je ukupno osoba u sva tri odbora zajedno?

Točka $M$ se nalazi u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Pravac $AM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $MBC$ još jednom u točki $D$, pravac $BM$ kružnicu opisanu trokutu $MCA$ još jednom u točki $E$, a pravac $CM$ kružnicu opisanu trokutu $MAB$ još jednom u točki $F$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AD|}{|MD|} + \frac{|BE|}{|ME|} + \frac{|CF|}{|MF|} \geqslant \frac{9}{2}.$$

Za prirodni broj $n$ neka $\tau(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ te neka $\tau_1(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ koji daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$. Odredi sve moguće cjelobrojne vrijednosti razlomka

$$\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}.$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.$$

U nekom arhipelagu nalazi se $2017$ otoka nazvanih $1, 2, \ldots, 2017$. Dvije agencije, Crveni zmaj i Plavo oko, dogovaraju se oko rasporeda brodskih linija između pojedinih otoka. Za svaki par otoka, točno jedna agencija će organizirati brodsku liniju i to samo u smjeru od otoka nazvanog manjim brojem do otoka nazvanog većim brojem.

Raspored brodskih linija je dobar ako ne postoje dva otoka s oznakama $A < B$ takva da je s otoka $A$ na otok $B$ moguće doći koristeći samo brodove Crvenog zmaja, a također i koristeći samo brodove Plavog oka.

Odredi ukupan broj dobrih rasporeda brodskih linija.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takve da za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi

$$f(a) + f(b) - ab \mid af(a) + bf(b).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{3}{2} < \frac{4a + b}{a + 4b} + \frac{4b + c}{b + 4c} + \frac{4c + a}{c + 4a} < 9.$$

Ludi lovac je figura koja može biti okrenuta prema jednom od četiri dijagonalno susjedna polja i napada sva polja ravno ispred sebe te ravno lijevo i desno od sebe (poput šahovskog lovca koji ne vidi iza sebe). Za dva polja igraće ploče kažemo da su dijagonalno susjedna ako imaju točno jedan zajednički vrh.

Odredi najveći prirodni broj $N$ za koji je na igraću ploču $8 \times 8$ moguće postaviti $N$ ludih lovaca tako da nijedan od njih ne napada nekog od ostalih.

Neka je $\overline{AD}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$. Na pravcu $AD$ nalaze se međusobno različite točke $E$ i $F$ takve da vrijedi $|DE| = |DF|$ i pritom je točka $E$ u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $BEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $M$. Kružnica opisana trokutu $CEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $L$ i $N$.

Dokaži da se pravci $AD$, $KM$ i $LN$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da vrijedi

$$(n^2 + 2)^a = (2n - 1)^b.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 2$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{(a - 1)^2}{b} + \frac{(b - 1)^2}{c} + \frac{(c - 1)^2}{a} \geqslant \frac{1}{4} \left( \frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{b^2 + c^2}{b + c} + \frac{c^2 + a^2}{c + a} \right).$$

Neka je $n$ prirodni broj. Dobra riječ je niz od $3n$ slova pri čemu se svako od slova $A$, $B$ i $C$ pojavljuje točno $n$ puta. Dokaži da za svaku dobru riječ $X$ postoji dobra riječ $Y$ takva da se $Y$ od $X$ ne može dobiti u manje od $\frac{3}{2}n^2$ zamjena susjednih slova.

Dana je kružnica $k$ sa središtem $O$. Neka je $\overline{AB}$ tetiva te kružnice i $M$ njeno polovište. Tangente na kružnicu $k$ u točkama $A$ i $B$ sijeku se u $T$. Pravac $\ell$ prolazi točkom $T$, siječe kraći luk $\widehat{AB}$ u točki $C$, a dulji luk $\widehat{AB}$ u točki $D$ i pritom je $|BC| = |BM|$.

Dokaži da je središte kružnice opisane trokutu $ADM$ osnosimetrično točki $O$ u odnosu na pravac $AD$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$2^m = 7n^2 + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$f(xf(y)) = (1 - y)f(xy) + x^2y^2f(y).$$

Neka je $n$ prirodni broj. Unutar kružnice nalaze se točke $A_1, A_2, \ldots, A_n$, a na kružnici točke $B_1, B_2, \ldots, B_n$ takve da su dužine $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \ldots, \overline{A_nB_n}$ u parovima disjunktne. Skakavac smije skočiti iz točke $A_i$ u točku $A_j$ (za $i, j \in \{1, \ldots, n\}$, $i \neq j$) ako i samo ako dužina $\overline{A_iA_j}$ ne prolazi nijednom unutarnjom točkom dužina $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \ldots, \overline{A_nB_n}$.

Pokaži da skakavac nizom skokova može doći iz bilo koje točke $A_i$ u bilo koju točku $A_j$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$. Točka $D$ je polovište kraćeg luka $\widehat{BC}$ njegove opisane kružnice. Točka $I$ je središte njegove upisane kružnice, a točka $J$ je osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $BC$. Pravac $DJ$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $E$ koja pripada luku $\widehat{AB}$.

Dokaži da vrijedi $|AI| = |IE|$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da postoji prirodni broj $k$ takav da je broj

$$51^k - 17$$

djeljiv brojem $2^n$.

Neka su $P(x)$ i $Q(x)$ polinomi s realnim koeficijentima takvi da je

$$P(P(x)) = (Q(x))^2$$

za svaki realni broj $x$. Postoji li nužno polinom $R(x)$, također s realnim koeficijentima, takav da je $P(x) = (R(x))^2$ za svaki realni broj $x$?

Na slici je prikazan lanac sastavljen od $54$ jedinična kvadratića. Svaki kvadratić, osim dvaju rubnih, spojen je s dva susjedna u nasuprotnim vrhovima.

Svaki kvadratić smije se postaviti u bilo koji položaj u prostoru uz uvjet da ostane spojen sa susjednim kvadratićima u odgovarajućim vrhovima. Je li moguće taj lanac postaviti tako da tvori oplošje kocke dimenzija $3 \times 3 \times 3$?

Upisana kružnica trokuta $ABC$ ima središte $I$ te dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$, $F$. Neka je $k$ kružnica sa središtem $A$ koja prolazi kroz točku $E$. Drugo sjecište pravca $DE$ s kružnicom $k$ je točka $K$. Paralela s pravcem $DF$ kroz točku $I$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $P$. Točka $L$ je sjecište pravca $CP$ i kružnice $k$ takvo da se $P$ nalazi između točaka $C$ i $L$. Točka $O$ je središte opisane kružnice trokuta $DKL$.

Dokaži da su pravci $AI$ i $OD$ paralelni.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje vrijedi:

Za bilo koje cijele brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n$, čiji zbroj nije djeljiv s $n$, postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da nijedan od $n$ brojeva

$$a_i, \quad a_i + a_{i+1}, \quad \ldots, \quad a_i + a_{i+1} + \cdots + a_{i+n-1}$$

nije djeljiv s $n$, pri čemu za $i > n$ definiramo $a_i = a_{i-n}$.

Neka su $n$, $k$, $M$ i $a_1, a_2, \ldots, a_n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = k \quad \text{i} \quad a_1a_2\cdots a_n = M.$$

Ako je $M > 1$, dokaži da ne postoji pozitivan realni broj $x$ takav da vrijedi

$$M(x + 1)^k = (x + a_1)(x + a_2)\cdots(x + a_n).$$

Neka je $a \geqslant 2018$ realni broj. U svakoj od $2018$ posuda nalazi se konačan broj kuglica, pri čemu je masa svake kuglice oblika $a^k$, gdje je $k \in \mathbb{Z}$. Ukupna masa kuglica u svakoj posudi je jednaka. Koliko se najmanje kuglica jednake mase pojavljuje među kuglicama u posudama?

Neka je $ABCD$ jednakokračni trapez s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$. Dijagonale trapeza sijeku se u točki $S$, a polovište stranice $\overline{AD}$ je točka $M$. Kružnica opisana trokutu $BCM$ ponovno siječe stranicu $\overline{AD}$ u točki $K$. Dokaži da su pravci $SK$ i $AB$ međusobno paralelni.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$ postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da je za sve $1 \leqslant i < j \leqslant n$

$$\frac{a_j + a_i}{a_j - a_i}$$

prirodan broj.

Direktori dviju tvrtki nalaze se u točkama udaljenim $1000$ kilometara. U $n$ točaka na dužini između njih nalazi se po jedan matematičar. Svake sekunde u istom trenutku, svi matematičari se premještaju – svaki ide na polovište dužine koja spaja njega i njemu najbližu osobu (matematičara ili direktora). Ako takva osoba nije jedinstvena, po volji bira jednu od njih. Ako na taj način dva matematičara dođu u istu točku, mlađi od njih zauvijek odlazi.

Dokaži da će se, nakon konačno mnogo sekundi, svaki od preostalih matematičara moći rukovati s jednim od direktora. Matematičar se može rukovati s direktorom ako je od njega udaljen za najviše $1$ metar.

Kriptogramom prirodnog broja $n$ zovemo uređenu $n$-torku $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ brojeva iz $\mathbb{N}_0$ takvu da vrijedi $$a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = n.$$

Neka je $\mathcal{K}_n$ skup svih kriptograma broja $n$. Za $a \in \mathcal{K}_n$ označimo sa $J(a)$ broj pojavljivanja broja $1$ u kriptogramu $a$. Dokaži da vrijedi $$\sum_{a \in \mathcal{K}_n} J(a) = \sum_{a \in \mathcal{K}_{n+1}} a_2.$$

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ te neka je $P$ točka različita od $A$ takva da je $PA \parallel BC$. Točke $X$ i $Y$ nalaze se redom na polupravcima $PB$ i $PC$, tako da je točka $B$ između $P$ i $X$, točka $C$ između $P$ i $Y$ te vrijedi $\measuredangle PXM = \measuredangle PYM$. Dokaži da su točke $A$, $P$, $X$ i $Y$ konciklične.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\frac{n^{3n-2} - 3n + 1}{3n - 2}$$ cijeli broj.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi $$\frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{a}}{b + c} + \frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{b}}{c + a} + \frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{c}}{a + b} \geq \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{a + b + c}}.$$

Prerez konačnog skupa točaka u ravnini je podjela tog skupa na disjunktne podskupove $A$ i $B$, za koju postoji pravac koji ne prolazi niti jednom točkom promatranog skupa, takav da su sve točke skupa $A$ s jedne strane, a sve točke skupa $B$ s druge strane tog pravca. Odredi najveći mogući broj prereza skupa od $n$ točaka u ravnini.