Search

Za dani prirodni broj $n$ neka je $a$ najveći prirodni broj za koji je broj $5^n - 3^n$ djeljiv s $2^a$, te neka je $b$ najveći prirodni broj takav da je $2^b \leqslant n$. Dokaži da je $a \leqslant b + 3$.

Dani su prirodni brojevi $M$ i $N$. Promatramo $N^2$ žarulja raspoređenih u tablicu s $N$ redaka i $N$ stupaca. Svaka žarulja može biti uključena ili isključena, a na početku su sve žarulje isključene.

Potez se sastoji od odabira bilo kojih $M$ uzastopnih žarulja u nekom retku ili stupcu te mijenjanja njihovog stanja, tako da svaka od odabranih $M$ žarulja koja je prije bila isključena, nakon poteza bude uključena, i obratno.

Ako je konačnim brojem poteza moguće postići da sve žarulje budu uključene, dokaži da je broj $M$ djelitelj broja $N$.

Nađi (jedan) cijeli broj $a$ takav da za polinom $P(x) = x^5 + ax$ tvrdnja $$\text{ako } n \mid P(k) - P(l) \text{ onda } n \mid k - l, \text{ za sve } k, l \in \mathbb{Z}$$ vrijedi samo za konačno mnogo prirodnih brojeva $n$, među kojima je i $n = 95$.

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.

Dokaži da za bilo koji prirodni broj $d$ postoji prirodni broj $n$ djeljiv brojem $d$, takav da u njegovom dekadskom zapisu možemo izbrisati neku znamenku različitu od nule, tako da dobiveni broj bude također djeljiv brojem $d$.

Nađi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da

$$(a^2 + b) \mid (a^2b + a) \quad \text{i} \quad (b^2 - a) \mid (ab^2 + b).$$

Neka su $m$, $n$ i $k$ prirodni brojevi i neka su $p_1, p_2, \ldots, p_n$ brojevi $1, 2, \ldots, n$ u nekom poretku. Ako za svaki $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ vrijedi

$$k \mid (m + p_i - i),$$

dokaži da je barem jedan od brojeva $m$ i $n$ višekratnik broja $k$.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ koji imaju više od dva različita prosta djelitelja i za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodni broj i $p$ prosti broj. Ako je broj $p - 1$ djeljiv brojem $n$, a broj $n^3 - 1$ djeljiv brojem $p$, dokaži da je $4p - 3$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je broj $4a^2 + 9b^2 - 1$ djeljiv brojem $n$.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da je $m > n$. Označimo

$$x_k = \frac{m + k}{n + k}$$

za $k = 1,2,\ldots,n+1$. Ako su svi brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ prirodni, dokaži da je broj

$$x_1x_2 \cdots x_{n+1} - 1$$

djeljiv nekim neparnim prostim brojem.

Za prirodni broj $n$ neka $\tau(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ te neka $\tau_1(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ koji daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$. Odredi sve moguće cjelobrojne vrijednosti razlomka

$$\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takve da za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi

$$f(a) + f(b) - ab \mid af(a) + bf(b).$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\frac{n^{3n-2} - 3n + 1}{3n - 2}$$ cijeli broj.

Za prirodni broj kažemo da je neobičan ako je zbroj recipročnih vrijednosti svih njegovih pozitivnih djelitelja različit od zbroja recipročnih vrijednosti svih pozitivnih djelitelja bilo kojeg drugog prirodnog broja.

(a) Dokaži da su svi prosti brojevi neobični.

(b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu neobični.

Dan je prirodni broj $C$. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sa sljedećim svojstvom:

za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $a + b > C$, vrijedi $a + f(b) \mid a^2 + bf(a)$.

Funkcija $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ je pseudopolinom ako za svaka dva različita broja $a, b \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $$a - b \mid f(a) - f(b).$$

Odredi sve pseudopolinome takve da za svaki $n \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $f(n) \leq n\sqrt{n}$.

Neka $d(n)$ označava broj pozitivnih djelitelja broja $n$, a $s(n)$ zbroj svih pozitivnih djelitelja broja $n$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $$4s(n) = 3d(n)^2 + 1.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje pstoji permutacija $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ skupa svih pozitivnih djelitelja od $n$ takva da je, za svaki $i \in \{1,2,\ldots,k\}$, broj $$d_1 + d_2 + \ldots + d_i$$ kvadrat prirodnog broja.

Neka je $a_1, a_2, a_3, \ldots$ beskonačan niz brojeva iz skupa $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ takav da za svaki par prirodnih brojeva $(m, n)$ vrijedi:

uvjeti $a_n | n$ i $a_m | m$ ispunjeni su ako i samo ako je $a_{m+n} = a_m + a_n - 1$.

Odredi sve vrijednosti koje može poprimiti $a_{5555}$.

Označimo s $\tau(k)$ broj pozitivnih djelitelja prirodnog broja $k$, a s $\varphi(k)$ broj prirodnih brojeva koji nisu veći od $k$, a relativno su prosti s $k$. Za prirodan broj $m$ kažemo da je lijep ako postoji prirodan broj $n$ takav da vrijedi

$$\frac{\tau(m)}{m} = \frac{\varphi(n)}{n}.$$

Postoji li beskonačno mnogo lijepih brojeva?

Neka je $c$ prirodan broj. Pretpostavimo da je $x_1, x_2, \ldots$ (beskonačan) strogo rastući niz prirodnih brojeva takav da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi

$$x_n \mid n^2 + c.$$

Dokaži da postoji prirodan broj $M$ takav da je $x_n = n^2 + c$ za svaki $n \geqslant M$.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva dijeli umnožak svih zbrojeva međusobno različitih parova prostih brojeva koji nisu veći od $n$, tj. za koje vrijedi

$$n! \mid \prod_{\substack{p < q \leqslant n \\ p, q \text{ prosti}}} (p + q).$$

Odredi sve parove različitih prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi

$$ab(b - a) \mid a^4 - b^2.$$

Za $2024$-člani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je skladan ako umnožak bilo kojih $100$ njegovih elemenata dijeli umnožak preostalih $1924$ elemenata.

Koliko najviše prostih brojeva može biti u skladnom skupu?

Neka je $n$ prirodni broj. Za prirodni broj $k$ kažemo da je dobar za $n$ ako postoji prirodni broj $r$ takav da je $n < r < k$ i da $r$ dijeli $nk$.

Dokaži da je najmanji broj dobar za $n$ broj

$$(d + 1) \left(\frac{n}{d} + 1\right),$$

gdje je $d$ najveći djelitelj broja $n$ koji nije veći od $\sqrt{n}$.

Za tročlani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je jeftin ako u njemu postoje dva broja koja su relativno prosta te dva broja od kojih jedan dijeli drugoga.

Dan je prirodni broj $n$. Koliko najviše jeftinih tročlanih podskupova može imati skup koji sadrži točno $2n + 1$ prirodnih brojeva?

Niz prirodnih brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ u kojem je $a_1 > 1$ zadovoljava relaciju

$$a_{n+1} = a_n + p^n \quad \text{za } n \in \mathbb{N},$$

pri čemu je $p = 2$ ako je $a_n$ potencija broja $2$, a inače je $p$ najmanji neparan prosti djelitelj broja $a_n$. Dokaži da postoji beskonačno mnogo parova prirodnih brojeva $(m,n)$ uz $m \neq n$ takvih da $a_m$ dijeli $a_n$.

Dokaži da u svakom aritmetičkom nizu prirodnih brojeva postoji beskonačno mnogo članova koji su djelitelji umnoška svih prethodnih članova.

Napomena. Za niz brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ kažemo da je aritmetički ako je $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ za svaki prirodan broj $n \geq 2$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da je $2n \leq m$ i

$$m! + n! \mid (m + n)!$$

Determine all three-digit numbers $N$ having the property that $N$ is divisible by 11, and $N/11$ is equal to the sum of the squares of the digits of $N$.

(a) Find all positive integers $n$ for which $2^n - 1$ is divisible by 7.

(b) Prove that there is no positive integer $n$ for which $2^n + 1$ is divisible by 7.

Let $k, m, n$ be natural numbers such that $m + k + 1$ is a prime greater than $n + 1$. Let $c_s = s(s + 1)$. Prove that the product $$(c_{m+1} - c_k)(c_{m+2} - c_k) \cdots (c_{m+n} - c_k)$$ is divisible by the product $c_1c_2\cdots c_n$.

Prove that the number $\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k}$ is not divisible by 5 for any integer $n \geq 0$.

Let $p$ and $q$ be natural numbers such that

$$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.$$

Prove that $p$ is divisible by 1979.

(a) For which values of $n > 2$ is there a set of $n$ consecutive positive integers such that the largest number in the set is a divisor of the least common multiple of the remaining $n - 1$ numbers?

(b) For which values of $n > 2$ is there exactly one set having the stated property?

Find one pair of positive integers $a$ and $b$ such that:

(i) $ab(a + b)$ is not divisible by 7;

(ii) $(a + b)^7 - a^7 - b^7$ is divisible by $7^7$.

Justify your answer.

Let $a$ and $b$ be positive integers such that $ab + 1$ divides $a^2 + b^2$. Show that

$$\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$$

is the square of an integer.

Determine all integers $n > 1$ such that

$$\frac{2^n + 1}{n^2}$$

is an integer.

Find all integers $a, b, c$ with $1 < a < b < c$ such that

$(a - 1)(b - 1)(c - 1)$ is a divisor of $abc - 1$.

For any positive integer $n$, let $d(n)$ denote the number of positive divisors of $n$ (including 1 and $n$ itself). Determine all positive integers $k$ such that $d(n^2)/d(n) = k$ for some $n$.

Determine all pairs $(a,b)$ of positive integers such that $ab^2 + b + 7$ divides $a^2b + a + b$.

Determine all pairs $(n,p)$ of positive integers such that

$p$ is a prime,

$n$ not exceeded $2p$, and

$(p-1)^n + 1$ is divisible by $n^{p-1}$.

Can we find $N$ divisible by just 2000 different primes, so that $N$ divides $2^N + 1$? [$N$ may be divisible by a prime power.]

Let $n$ be an odd integer greater than 1, and let $k_1, k_2, \ldots, k_n$ be given integers. For each of the $n!$ permutations $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ of $1, 2, \ldots, n$, let

$$S(a) = \sum_{i=1}^{n} k_i a_i.$$

Prove that there are two permutations $b$ and $c, b \neq c$, such that $n!$ is a divisor of $S(b) - S(c)$.

Find all pairs of integers $m>2,n>2$ such that there are infinitely many positive integers $k$ for which $k^{n}+k^{2}-1$ divides $k^{m}+k-1$.

The positive divisors of the integer $n>1$ are $d_{1}<d_{2}<\ldots<d_{k}$, so that $d_{1}=1,d_{k}=n$. Let $d=d_{1}d_{2}+d_{2}d_{3}+\cdots+d_{k-1}d_{k}$. Show that $d<n^{2}$ and find all $n$ for which $d$ divides $n^{2}$.

Show that for each prime $p$, there exists a prime $q$ such that $n^p - p$ is not divisible by $q$ for any positive integer $n$.

Let $a$ and $b$ be positive integers. Show that if $4ab - 1$ divides $(4a^2 - 1)^2$, then $a = b$.