Na stranici $\overline{AB}$ tetivnog četverokuta $ABCD$ postoji točka $X$ sa svojstvom da dijagonala $\overline{BD}$ raspolavlja dužinu $\overline{CX}$, a dijagonala $\overline{AC}$ raspolavlja dužinu $\overline{DX}$.

Koliki je najmanji mogući omjer $|AB| : |CD|$ u takvom četverokutu?

Neka je $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ multiplikativna funkcija takva da je $f(4) = 4$ i vrijedi $$f(m^2 + n^2) = f(m^2) + f(n^2) \quad \text{za sve } m, n \in \mathbb{N}.$$

Dokaži da je $f(m^2) = m^2$ za sve $m \in \mathbb{N}$.

Za funkciju $f$ kažemo da je multiplikativna ako za svaki izbor relativno prostih prirodnih brojeva $m$ i $n$ vrijedi $f(mn) = f(m)f(n)$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ takve da vrijedi $$\left(x + \frac{1}{x}\right) f(y) = f(xy) + f\left(\frac{y}{x}\right), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}^+.$$

($\mathbb{R}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih realnih brojeva.)

Na ploči su zapisana dva prirodna broja. Dva igrača igraju igru naizmjence odigravajući poteze kojima mijenjaju brojeve na ploči.

Ako su na ploči u nekom trenutku brojevi $A$ i $B$ ($A \geq B$), igrač koji je na potezu odabire prirodni broj $k$ takav da je $A - kB \geq 0$, briše broj $A$ te umjesto njega zapisuje broj $A - kB$. Pobjeduje igrač koji na ploču napiše broj $0$.

Za koje sve vrijednosti omjera početna dva broja na ploči prvi igrač može pobijediti neovisno o igri drugog igrača?

Neka je $T$ točka unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke osnosimetrične točki $T$ u odnosu na pravce $BC$, $CA$ i $AB$, redom. Pravci $A_1T$, $B_1T$ i $C_1T$ sijeku kružnicu $k$ opisanu trokutu $A_1B_1C_1$ ponovno u točkama $A_2$, $B_2$ i $C_2$, redom.

Dokaži da se pravci $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ sijeku u jednoj točki koja leži na kružnici $k$.

Dani su prirodan broj $m$ i prost broj $p$ takvi da je $p > m$. Dokaži da broj prirodnih brojeva $n$ za koje je $$m^2 + n^2 + p^2 - 2mn - 2mp - 2np$$ kvadrat nekog prirodnog broja ne ovisi o broju $p$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ takve da vrijedi $$f(x^2 (f(y))^2) = (f(x))^2 f(y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{Q}^+.$$

($\mathbb{Q}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih racionalnih brojeva.)

Je li moguće ploču dimenzija $1000 \times 1000$ prekriti koristeći isključivo likove prikazane na slikama:

postavljene upravo na taj način? Likove nije dozvoljeno rotirati niti zrcaliti. Trebaju biti postavljeni tako da prekrivaju točno tri odnosno pet polja ploče i ne smiju se preklapati.

Dirališta upisane kružnice trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su redom točke $D$ i $E$. Dirališta pripisane kružnice nasuprot vrha $A$ s pravcima $AB$ i $AC$ su redom točke $F$ i $G$.

Neka simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $DE$ u točkama $X$ i $Y$ redom te neka vanjske simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $FG$ u točkama $Z$ i $W$ redom.

Dokaži da je četverokut $XYZW$ tetivan.

Odredi sve brojeve $k \in \mathbb{N}$ takve da $$\frac{m + n}{m^2 - kmn + n^2}$$ nije složen prirodni broj ni za koji izbor $m, n \in \mathbb{N}$.

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1.$$

Ako je $a$ najmanji, a $b$ najveći broj među brojevima $x_1, x_2, \ldots, x_n$, dokaži da je $ab \leq -\dfrac{1}{n}$.

Ante je zapisao niz $a_1, a_2, \ldots, a_{2020}$ u kojem se svaki od brojeva $1, 2, \ldots, 2020$ pojavljuje točno jednom. Barbara želi saznati taj niz, a Ante joj daje informacije kroz niz razmjena.

U jednoj razmjeni Barbara na papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te neke od njih spoji crtom i to tako da je svaki broj spojen s najviše jednim drugim i preda taj papir Anti. Ante zatim na drugi papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te za svaki par brojeva $i$ i $j$ koje je Barbara spojila crtom, on spoji crtom brojeve $a_i$ i $a_j$, te na kraju preda taj papir Barbari.

Koliko je najmanje razmjena potrebno da Barbara može sa sigurnošću odrediti Antin niz?

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| < |AC|$. Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$, redom su dane točke $P$ i $Q$ takve da su pravci $AQ$ i $CP$ okomiti, a kružnica upisana trokutu $ABC$ dira dužinu $\overline{PQ}$. Pravac $CP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $C$ i $T$.

Ako se pravci $CA$, $PQ$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, dokaži da je kut $\measuredangle CAB$ pravi.

Za prirodni broj kažemo da je neobičan ako je zbroj recipročnih vrijednosti svih njegovih pozitivnih djelitelja različit od zbroja recipročnih vrijednosti svih pozitivnih djelitelja bilo kojeg drugog prirodnog broja.

(a) Dokaži da su svi prosti brojevi neobični.

(b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu neobični.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(x + yf(x)) = f(xf(y)) - x + f(y + f(x)).$$

Dano je $n$ cigli od kojih svaka ima masu barem $1$. Ukupna masa svih $n$ cigli je $2n$.

Dokaži da za svaki realni broj $r \in [0, 2n-2]$ možemo odabrati neke od tih cigli čija je ukupna masa u intervalu $[r, r+2]$.

Dana je kružnica promjera $\overline{AB}$. Na toj kružnici, s različitih strana pravca $AB$, nalaze se točke $C$ i $D$ takve da vrijedi $|AC| < |BC|$ i $|AC| < |AD|$. Točka $P$ pripada dužini $\overline{BC}$ te vrijedi $\measuredangle CAP = \measuredangle ABC$. Okomica iz točke $C$ na pravac $AB$ siječe pravac $BD$ u točki $Q$. Pravci $PQ$ i $AD$ sijeku se u točki $R$, a pravci $PQ$ i $CD$ u točki $T$.

Ako je $|AR| = |RQ|$, dokaži da su pravci $AT$ i $PQ$ međusobno okomiti.

Skup $A \subset \mathbb{N}$ zovemo neprijateljskim ako za svaki par $(a,b)$ brojeva iz $A$ postoji $k \in \mathbb{N}_0$ takav da je $M(a,b) = 2^k$. Postoji li beskonačan skup $S \subset \mathbb{N}$ sa svojstvom da je skup svih mogućih zbrojeva dvaju različitih elemenata skupa $S$ neprijateljski skup?

Neka je $n \geq 3$ prirodni broj i neka je $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ strogo rastući niz realnih brojeva takav da je $\sum_{k=1}^n a_k = 2$. Neka je $M$ neki podskup skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ za koji je vrijednost izraza $\left|1 - \sum_{k \in M} a_k\right|$ najmanja moguća.

Dokaži da postoji strogo rastući niz realnih brojeva $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ takav da je $\sum_{k=1}^n b_k = 2$, za koji vrijedi $\sum_{k \in M} b_k = 1$.

Splet je konačan skup pravaca u općem položaju (tj. svaka dva pravca se sijeku, ali nikoja tri ne prolaze istom točkom). Pravci spleta dijele ravninu na područja čije su stranice dužine ili polupravci. Labirint je splet u kojem je svaki pravac obojan, poput zida, s jedne strane crvenom, a s druge strane plavom bojom. Dva područja sa zajedničkim vrhom koja u toj točki imaju i crvene i plave stranice nazivamo povezanima. Po labirintu se kreću mravi koji mogu prijeći iz područja u kojem se nalaze samo u područje koje je s njim povezano. Za splet $S$ definiramo $k(S)$ kao najveći broj mrava koje je moguće razmjestiti po svakom labirintu na $S$ tako da se nikoja dva mrava ne mogu sastati krećući se po labirintu.

Za $n \in \mathbb{N}$, odredi sve moguće vrijednosti $k(S)$ pri čemu je $S$ splet od $n$ pravaca.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Neka su $k_B$ i $k_C$ kružnice upisane trokutima $BDF$ i $CDE$, redom. Kružnica $k_B$ dodiruje dužinu $\overline{DF}$ u točki $M$, a kružnica $k_C$ dužinu $\overline{DE}$ u točki $N$. Pravac $MN$ siječe kružnicu $k_B$ u točkama $M$ i $P$, a kružnicu $k_C$ u točkama $N$ i $Q$.

Dokaži da je $|MP| = |NQ|$.

Dan je prirodni broj $C$. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sa sljedećim svojstvom:

za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $a + b > C$, vrijedi $a + f(b) \mid a^2 + bf(a)$.

Odredi sve periodične nizove $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva sa svojstvom da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi $$x_{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}} + x_n\right).$$

Dan je jednakostraničan trokut na čijoj se svakoj stranici označeno po $9$ točaka koje dijele tu stranicu na $10$ sukladnih dijelova. Te su točke spojene s ukupno $27$ dužina paralelnih stranicama trokuta. Na taj način trokut je podijeljen na $100$ malih jednakostraničnih trokuta. Područje između dvije susjedne paralelne dužine nazivamo prugom.

Koliko najviše malih trokuta možemo odabrati tako da unutar nijedne pruge ne budu dva odabrana trokuta?

Neka je $ABC$ trokut. Kružnica $k$ prolazi točkom $A$, siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$ i $E$ (različitim od $A$), a stranicu $\overline{BC}$ u točkama $F$ i $G$ i pritom je $F$ između $B$ i $G$. Tangenta opisane kružnice trokuta $BDF$ u točki $F$ i tangenta opisane kružnice trokuta $CEG$ u točki $G$ sijeku se u točki $T$, različitoj od $A$.

Dokaži da su pravci $AT$ i $BC$ međusobno paralelni.

Funkcija $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ je pseudopolinom ako za svaka dva različita broja $a, b \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $$a - b \mid f(a) - f(b).$$

Odredi sve pseudopolinome takve da za svaki $n \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $f(n) \leq n\sqrt{n}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $ab + bc + ca = 1$.

Dokaži da je $$\frac{4}{a + b + c} \leq (a + b)(c\sqrt{3} + 1).$$

Na svakom polju ploče dimenzija $n \times n$ nalazi se po jedna žarulja. Na početku su neke žarulje upaljene, a neke ugašene. U svakom koraku biramo kvadrat $2 \times 2$ ili $3 \times 3$ te svim žaruljama u tom kvadratu promijenimo stanje (upaljene žarulje ugasimo, a ugašene upalimo).

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoji raspored žarulja koje ne možemo sve ugasiti konačnim nizom takvih koraka.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut u kojem je $\measuredangle B > 90°$, $\measuredangle D > 90°$ te $\measuredangle A = \measuredangle C$. Neka su $E$ i $F$ redom točke osnosimetrične točki $A$ u odnosu na pravce $BC$ i $CD$. Neka dužine $\overline{AE}$ i $\overline{AF}$ sijeku pravac $BD$ redom u točkama $K$ i $L$.

Dokaži da se kružnice opisane trokutima $BKE$ i $FLD$ diraju.

Za svaki prost broj $p$ negdje u svemiru postoji planet $\mathcal{P}_p$ u čijem se oceanu nalazi točno $p$ otoka, $O_1, O_2, \ldots, O_p$. Između otoka $O_m$ i $O_n$ (za $m \neq n$) postoji most ako i samo ako je broj $(m^2 - n + 1)(n^2 - m + 1)$ djeljiv s $p$. S mosta nije moguće prijeći direktno na drugi most već samo na otok.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva $p$ za koje na planetu $\mathcal{P}_p$ nije moguće sa svakog otoka doći na svaki drugi krećući se samo po otocima i mostovima.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da izraz $$P(x + 3y) + P(3x - y)$$ ima istu vrijednost za sve realne brojeve $x$, $y$ za koje je $x^2 + y^2 = 1$.

Pravilni mnogokut $\mathcal{P}$ ima $100$ vrhova od kojih je $41$ crne, a preostalih $59$ bijele boje.

Dokaži da postoje $24$ međusobno disjunktna konveksna četverokuta čiji su vrhovi vrhovi od $\mathcal{P}$ te svaki od njih ima neparan broj crnih vrhova.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| = |BC|$ i točka $D$ na stranici $\overline{AB}$ takva da je $|AD| < |BD|$. Točke $P$ i $Q$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$. Simetrala dužine $\overline{PQ}$ siječe $\overline{CP}$ u točki $E$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $PQC$ sijeku se u točkama $C$ i $F$.

Ako su točke $E$, $F$ i $Q$ kolinearne, dokaži da je $\measuredangle ACB$ pravi kut.

Odredi sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^5 + a^4 = 7^b - 1.$$

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje postoji funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takva da je $$f(x + f(y)) = f(x) + a\lfloor y\rfloor,$$ za sve realne brojeve $x$ i $y$.

Napomena: $\lfloor y\rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $y$. Npr. $\lfloor 1.7\rfloor = 1$, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$, $\lfloor 0\rfloor = 0$.

Neka je $N$ prirodan broj i neka je $S = \{1, 2, \ldots, N\}$. Neka su $a_{i,j}$ međusobno različiti realni brojevi takvi da za sve $i, j \in S$ vrijedi: ako je $i < j$, onda je $$a_{i,k} < a_{j,k} \quad \text{i} \quad a_{k,i} < a_{k,j}, \quad \text{za sve} \quad k \in S.$$

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $2(n-1)^2 < N$. Dokaži da postoje $n$-člani podskupovi $I, J \subset S$ takvi da vrijedi jedna od sljedeće dvije tvrdnje:

• za sve $i, k \in I$ vrijedi: ako je $i < k$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $j, l \in J$,

• za sve $j, l \in J$ vrijedi: ako je $j < l$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $i, k \in I$.

Dan je konveksan četverokut $ABCD$ čije se dijagonale sijeku u točki $P$. Neka su $X$ i $Y$ točke odabrane tako da četverokuti $ABPX$, $CDXP$, $BCPY$ i $DAYP$ budu tetivni. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $Q$, pravci $BC$ i $DA$ u točki $R$, a pravci $XR$ i $YQ$ u točki $Z$. Dokaži da točke $X$, $Y$, $Z$ i $P$ pripadaju istoj kružnici.

Funkcija $U: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definira se na sljedeći način: $$U(n) = \begin{cases} 1, & \text{za } n = 1, \\ \alpha_1^{p_1} \cdots \alpha_k^{p_k}, & \text{za } n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}, \text{gdje su } p_1, \ldots, p_k \text{ međusobno različiti prosti brojevi i } \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{N}. \end{cases}$$

Za $m \in \mathbb{N}$ neka je $U^{(m)}(n) = U(U(\ldots U(n)\ldots))$, pri čemu se $U$ primjenjuje $m$ puta.

Dokaži da za svaki prirodni broj $A$ postoji prirodni broj $B$ takav da je $U^{(m)}(A) = B$ za beskonačno mnogo prirodnih brojeva $m$.

Neka je $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funkcija sa svojstvima:

(a) Postoji realan broj $M$ takav da je $|f(x)| \leq M$, za sve $x \in \mathbb{R}$.

(b) Za svaki realan broj $x$ vrijedi $$f\left(x + \frac{1}{2}\right) + f\left(x + \frac{1}{3}\right) = f(x) + f\left(x + \frac{5}{6}\right).$$

Pokaži da je funkcija $f$ periodična, odnosno da postoji pozitivan realan broj $T$ takav da je $f(x + T) = f(x)$ za sve $x \in \mathbb{R}$.

Za permutaciju $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ kažemo da je uravnotežena ako vrijedi $$a_1 \leq 2a_2 \leq \ldots \leq na_n.$$

Neka $S(n)$ označava broj uravnoteženih permutacija skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$.

Odredi $S(20)$ i $S(21)$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut čije se dijagonale sijeku u točki $E$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $P$, a pravci $AD$ i $BC$ u točki $Q$. Neka je $X$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EBC$ i $EDA$ različito od $E$, a $Y$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EAB$ i $ECD$ različito od $E$. Konačno, neka je $W$ sjecište kružnica opisanih trokutima $PBC$ i $PDA$ različito od $P$. Dokaži da su trokuti $WQY$ i $WXP$ slični.

Neka $d(n)$ označava broj pozitivnih djelitelja broja $n$, a $s(n)$ zbroj svih pozitivnih djelitelja broja $n$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $$4s(n) = 3d(n)^2 + 1.$$

Ako je $a_1, a_2, \ldots, a_{2000}$ niz od $2000$ pozitivnih realnih brojeva, za koliko najviše indeksa $i \in \{1, 2, \ldots, 2000\}$ može vrijediti jednakost

$$a_i a_{i+3} = a_i a_{i+1} + a_{i+1} a_{i+2} + a_{i+2} a_{i+3}?$$

Smatramo da je $a_{j+2000} = a_j$ za $j \in \{1, 2, 3\}$.

Neka je $n \geqslant 3$ prirodan broj. Za prirodan broj $m \geqslant n + 1$ kažemo da je $n$-obojiv ako je $m$ kamenčića postavljenih na kružnici moguće obojati u $n$ boja tako da se među bilo kojih $n + 1$ uzastopnih kamenčića pojavljuje svih $n$ boja.

Dokaži da postoji konačno mnogo prirodnih brojeva $m \geqslant n + 1$ koji nisu $n$-obojivi i odredi najveći od njih.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojem je $|AB| < |AC|$ te neka je kružnica $k$ sa središtem $O$ njegova opisana kružnica. Neka su $P$ i $Q$ točke redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ takve da je $AQPO$ paralelogram. Neka su $K$ i $L$ sjecišta simetrale dužine $\overline{OP}$ s kružnicom $k$, pri čemu je $K$ na kraćem luku $\widehat{AB}$. Neka je $M$ drugo sjecište pravca $KQ$ i kružnice $k$. Dokaži da točka $A$ pripada simetrali kuta $\measuredangle QLM$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje pstoji permutacija $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ skupa svih pozitivnih djelitelja od $n$ takva da je, za svaki $i \in \{1,2,\ldots,k\}$, broj $$d_1 + d_2 + \ldots + d_i$$ kvadrat prirodnog broja.

Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ vrijedi nejednakost

$$\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 100} \frac{(x_j - x_i)^2}{j^2 - i^2} \geqslant \frac{1}{101} \sum_{1 \leqslant i \leqslant 50} (x_{101-i} - x_i)^2.$$

Dokaži da za svaki prirodan broj $n > 10^6$ postoji višekratnik broja $n$ koji nije veći od $n^4$, čiji zapis u dekadskom brojevnom sustavu koristi najviše 4 različite znamenke.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| \neq |AC|$ i upisana kružnica dira stranice $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Okomica iz točke $D$ na pravac $EF$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $G$, a kružnice opisane trokutima $AEF$ i $ABC$ se sijeku u točkama $A$ i $T$.

Dokaži da su pravci $TG$ i $TF$ okomiti.

Neka je $a_1, a_2, a_3, \ldots$ beskonačan niz brojeva iz skupa $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ takav da za svaki par prirodnih brojeva $(m, n)$ vrijedi:

uvjeti $a_n | n$ i $a_m | m$ ispunjeni su ako i samo ako je $a_{m+n} = a_m + a_n - 1$.

Odredi sve vrijednosti koje može poprimiti $a_{5555}$.