Search

Za dani prirodni broj $n$ neka je $a$ najveći prirodni broj za koji je broj $5^n - 3^n$ djeljiv s $2^a$, te neka je $b$ najveći prirodni broj takav da je $2^b \leqslant n$. Dokaži da je $a \leqslant b + 3$.

Dokaži da ne postoji beskonačni niz prostih brojeva $p_0, p_1, p_2, \ldots$ takav da za svaki prirodni broj $k$ vrijedi

$$p_k = 2p_{k-1} + 1 \quad \text{ili} \quad p_k = 2p_{k-1} - 1.$$

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Dokaži da jednadžba

$$(x + 1)^n - x^n = ny$$

nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Dokaži da ne postoje prosti broj $p$ i prirodni brojevi $a$ i $n$ ($n \geqslant 2$) takvi da vrijedi

$$2^p + 3^p = a^n.$$

Neka su $a$ i $b$ relativno prosti prirodni brojevi različiti od $1$. Definiran je niz $$x_1 = a, \qquad x_2 = b, \qquad x_n = \frac{x_{n-1}^2 + x_{n-2}^2}{x_{n-1} + x_{n-2}} \quad \text{za } n \geq 3.$$

Dokaži da niti jedan član $x_n$ ovog niza, osim prva dva, nije prirodni broj.

Za prirodni broj $d$ definiran je niz $$a_0 = 1, \qquad a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2}, & \text{ako je } a_n \text{ paran}, \\ a_n + d, & \text{inače}. \end{cases}$$

Za koje vrijednosti broja $d$ postoji prirodni broj $n$ za koji je $a_n = 1$?

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$x^3 + x^2 + x = y^2 + y.$$

Nađi (jedan) cijeli broj $a$ takav da za polinom $P(x) = x^5 + ax$ tvrdnja $$\text{ako } n \mid P(k) - P(l) \text{ onda } n \mid k - l, \text{ za sve } k, l \in \mathbb{Z}$$ vrijedi samo za konačno mnogo prirodnih brojeva $n$, među kojima je i $n = 95$.

Za prirodan broj $n$ promatramo skup $$S = \{0, 1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3 + \dots + (n-1)\}.$$

a) Ako je $n$ potencija broja $2$, dokaži da svi elementi od $S$ daju različite ostatke pri dijeljenju s $n$.

b) Ako $n$ nije potencija broja $2$, dokaži da postoje dva elementa od $S$ koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$.

Postoje li cijeli brojevi $a$ i $b$ takvi da su oba broja $a + b$ i $a \cdot b - 1$ potpuni kvadrati?

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.

Za dani prirodni broj $k$ neka je $S(k)$ zbroj svih brojeva iz skupa $\{1,2,\ldots,k\}$ koji su relativno prosti s $k$. Neka je $m$ prirodni i $n$ neparni prirodni broj. Dokaži da postoje prirodni brojevi $x$ i $y$, pri čemu $m$ dijeli $x$, takvi da vrijedi $2S(x) = y^n$.

Dokaži da za bilo koji prirodni broj $d$ postoji prirodni broj $n$ djeljiv brojem $d$, takav da u njegovom dekadskom zapisu možemo izbrisati neku znamenku različitu od nule, tako da dobiveni broj bude također djeljiv brojem $d$.

Nađi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da

$$(a^2 + b) \mid (a^2b + a) \quad \text{i} \quad (b^2 - a) \mid (ab^2 + b).$$

Neka su $m$, $n$ i $k$ prirodni brojevi i neka su $p_1, p_2, \ldots, p_n$ brojevi $1, 2, \ldots, n$ u nekom poretku. Ako za svaki $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ vrijedi

$$k \mid (m + p_i - i),$$

dokaži da je barem jedan od brojeva $m$ i $n$ višekratnik broja $k$.

Za skup $A \subseteq \mathbb{Z}$ kažemo da je prihvatljiv ako za svaka dva (ne nužno različita) broja $x, y \in A$ i za svaki $k \in \mathbb{Z}$ vrijedi $x^2 + kxy + y^2 \in A$.

Nađi sve parove $(m, n)$ cijelih brojeva različitih od nule za koje je $\mathbb{Z}$ jedini prihvatljivi skup koji sadrži $m$ i $n$.

($\mathbb{Z}$ je skup svih cijelih brojeva.)

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ koji imaju više od dva različita prosta djelitelja i za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Odredi sve parove $(p,q)$ prostih brojeva za koje je broj $$p^{q+1} + q^{p+1}$$ potpuni kvadrat.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da je najveći prosti djelitelj broja $n^4 + n^2 + 1$ jednak najvećem prostom djelitelju broja $(n + 1)^4 + (n + 1)^2 + 1$.

Neka je $n$ neparan prirodni broj veći od $3$. Označimo sa $k$ najmanji prirodni broj takav da je $kn + 1$ potpuni kvadrat i označimo sa $l$ najmanji prirodni broj takav da je $ln$ potpuni kvadrat.

Dokaži da je broj $n$ prost ako i samo ako vrijedi $k > \frac{1}{4}n$ i $l > \frac{1}{4}n$.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i neka su $r$, $s$, $t$ prirodni brojevi takvi da vrijedi: $$ab + 1 = r^2, \quad ac + 1 = s^2, \quad bc + 1 = t^2.$$

Dokaži da ne mogu sva tri razlomka $\dfrac{rs}{t}$, $\dfrac{rt}{s}$, $\dfrac{st}{r}$ biti prirodni brojevi.

Dokaži da niz $$a_k = \left\lfloor \frac{2^k}{k} \right\rfloor, \quad k \in \mathbb{N}$$ sadrži beskonačno mnogo neparnih brojeva.

($\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Neka je $n \geqslant 2$ prirodni broj i $p$ prosti broj. Ako je broj $p - 1$ djeljiv brojem $n$, a broj $n^3 - 1$ djeljiv brojem $p$, dokaži da je $4p - 3$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je broj $4a^2 + 9b^2 - 1$ djeljiv brojem $n$.

Odredi sve prirodne brojeve $x$ i $y$ takve da vrijedi $$x(x^2 + 19) = y(y^2 - 10).$$

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da je $m > n$. Označimo

$$x_k = \frac{m + k}{n + k}$$

za $k = 1,2,\ldots,n+1$. Ako su svi brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ prirodni, dokaži da je broj

$$x_1x_2 \cdots x_{n+1} - 1$$

djeljiv nekim neparnim prostim brojem.

Odredi sve parove $(p, q)$ prostih prirodnih brojeva takve da vrijedi

$$p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3).$$

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da vrijedi

$$3 \cdot 5 ^ {m} - 2 \cdot 6 ^ {n} = 3.$$

Dokaži da je moguće svaki prirodni broj obojiti jednom od tri boje tako da sljedeća dva uvjeta budu zadovoljena:

i) Za svaki $n \in \mathbb{N}_0$, svi prirodni brojevi $x$ takvi da je $2^n \leqslant x < 2^{n+1}$ su iste boje.

ii) Ne postoje prirodni brojevi $x, y$ i $z$ iste boje (osim $x = y = z = 2$) takvi da vrijedi $x + y = z^2$.

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je

$$5m^3 = 27n^4 - 2n^2 + n.$$

Za prirodni broj $n$ neka $\tau(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ te neka $\tau_1(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ koji daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$. Odredi sve moguće cjelobrojne vrijednosti razlomka

$$\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takve da za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi

$$f(a) + f(b) - ab \mid af(a) + bf(b).$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da vrijedi

$$(n^2 + 2)^a = (2n - 1)^b.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$2^m = 7n^2 + 1.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da postoji prirodni broj $k$ takav da je broj

$$51^k - 17$$

djeljiv brojem $2^n$.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje vrijedi:

Za bilo koje cijele brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n$, čiji zbroj nije djeljiv s $n$, postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da nijedan od $n$ brojeva

$$a_i, \quad a_i + a_{i+1}, \quad \ldots, \quad a_i + a_{i+1} + \cdots + a_{i+n-1}$$

nije djeljiv s $n$, pri čemu za $i > n$ definiramo $a_i = a_{i-n}$.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$ postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da je za sve $1 \leqslant i < j \leqslant n$

$$\frac{a_j + a_i}{a_j - a_i}$$

prirodan broj.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\frac{n^{3n-2} - 3n + 1}{3n - 2}$$ cijeli broj.

Neka je $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ multiplikativna funkcija takva da je $f(4) = 4$ i vrijedi $$f(m^2 + n^2) = f(m^2) + f(n^2) \quad \text{za sve } m, n \in \mathbb{N}.$$

Dokaži da je $f(m^2) = m^2$ za sve $m \in \mathbb{N}$.

Za funkciju $f$ kažemo da je multiplikativna ako za svaki izbor relativno prostih prirodnih brojeva $m$ i $n$ vrijedi $f(mn) = f(m)f(n)$.

Na ploči su zapisana dva prirodna broja. Dva igrača igraju igru naizmjence odigravajući poteze kojima mijenjaju brojeve na ploči.

Ako su na ploči u nekom trenutku brojevi $A$ i $B$ ($A \geq B$), igrač koji je na potezu odabire prirodni broj $k$ takav da je $A - kB \geq 0$, briše broj $A$ te umjesto njega zapisuje broj $A - kB$. Pobjeduje igrač koji na ploču napiše broj $0$.

Za koje sve vrijednosti omjera početna dva broja na ploči prvi igrač može pobijediti neovisno o igri drugog igrača?

Dani su prirodan broj $m$ i prost broj $p$ takvi da je $p > m$. Dokaži da broj prirodnih brojeva $n$ za koje je $$m^2 + n^2 + p^2 - 2mn - 2mp - 2np$$ kvadrat nekog prirodnog broja ne ovisi o broju $p$.

Odredi sve brojeve $k \in \mathbb{N}$ takve da $$\frac{m + n}{m^2 - kmn + n^2}$$ nije složen prirodni broj ni za koji izbor $m, n \in \mathbb{N}$.

Za prirodni broj kažemo da je neobičan ako je zbroj recipročnih vrijednosti svih njegovih pozitivnih djelitelja različit od zbroja recipročnih vrijednosti svih pozitivnih djelitelja bilo kojeg drugog prirodnog broja.

(a) Dokaži da su svi prosti brojevi neobični.

(b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu neobični.

Skup $A \subset \mathbb{N}$ zovemo neprijateljskim ako za svaki par $(a,b)$ brojeva iz $A$ postoji $k \in \mathbb{N}_0$ takav da je $M(a,b) = 2^k$. Postoji li beskonačan skup $S \subset \mathbb{N}$ sa svojstvom da je skup svih mogućih zbrojeva dvaju različitih elemenata skupa $S$ neprijateljski skup?

Dan je prirodni broj $C$. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sa sljedećim svojstvom:

za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $a + b > C$, vrijedi $a + f(b) \mid a^2 + bf(a)$.

Funkcija $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ je pseudopolinom ako za svaka dva različita broja $a, b \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $$a - b \mid f(a) - f(b).$$

Odredi sve pseudopolinome takve da za svaki $n \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $f(n) \leq n\sqrt{n}$.

Za svaki prost broj $p$ negdje u svemiru postoji planet $\mathcal{P}_p$ u čijem se oceanu nalazi točno $p$ otoka, $O_1, O_2, \ldots, O_p$. Između otoka $O_m$ i $O_n$ (za $m \neq n$) postoji most ako i samo ako je broj $(m^2 - n + 1)(n^2 - m + 1)$ djeljiv s $p$. S mosta nije moguće prijeći direktno na drugi most već samo na otok.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva $p$ za koje na planetu $\mathcal{P}_p$ nije moguće sa svakog otoka doći na svaki drugi krećući se samo po otocima i mostovima.

Odredi sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^5 + a^4 = 7^b - 1.$$