Croatian School-Level Competitions 2025

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

$$a^2 + b^2 = 10 \quad \text{i} \quad a^4 + b^4 = 82.$$

Odredite vrijednost izraza $\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3}$.

Dokažite da je broj $2030^{12} - 2020^{12}$ djeljiv s brojem $2025$.

Jedan kut pravokutnog trokuta $\Delta ABC$ iznosi $30^\circ$, a kraća kateta duljine je $3$ cm. U polovištu $S$ hipotenuze $\overline{AB}$ podignuta je okomica na hipotenuzu i njezino sjecište s duljom katetom označeno je s $D$. Odredite duljinu dužine $\overline{SD}$.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Koliko ima brojeva u skupu $S = \{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$, $5$ i $7$?

Lukin broj pratitelja na društvenoj mreži svake godine raste za $50$, dok Markov broj pratitelja raste za $20$. Trenutačno Luka ima tri puta više pratitelja nego što je Marko imao u trenutku kada je Lukin broj pratitelja bio jednak trenutačnom broju Markovih pratitelja. Pretpostavlja se da će Marku trebati $5$ godina da dostigne trenutačan broj Lukinih pratitelja. Koliko pratitelja Luka i Marko imaju trenutačno?

Odredite realan parametar $m$ za koji je kvadrat razlike rješenja jednadžbe $x^2 + 2mx + m = 1$ najmanji te odredite najmanju pripadnu vrijednost.

Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ za koje je funkcija $f, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sqrt{x^4 - 2x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$ rastuća.

Odredite sve one troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki zbroju svoje znamenke stotice, kvadrata znamenke desetice i kuba znamenke jedinice.

Ako su korijeni jednadžbe $x^2 + 2x + c = 0$ međusobno različiti realni brojevi, za neki realan parametar $c$, dokažite da tada korijeni jednadžbe $$(1 + c)(x^2 + 2x + c) - 2(c - 1)(x^2 + 1) = 0$$ ne mogu biti realni.

Ako je $$\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4y^2}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^2y^4}} = a,$$ koliko je $(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2})^3$?

Neka je trokut $ABC$ proizvoljni pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu C, katetama duljina $a$ i $b$ te hipotenuzom duljine $c$.

a) Dokažite da će u svakom pravokutnom trokutu zbroj duljina kateta umanjen za duljinu hipotenuze biti jednak duljini promjera tom trokutu upisane kružnice.

b) U kojem su omjeru duljine stranica pravokutnog trokuta ako se duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice i duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice odnose kao $5 : 2$?

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika: $$\left[ \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \ldots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{50,50} \end{array} \right]$$ pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{50,50}$ iz skupa $S = \{2,3\ldots,22\}$. Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Dan je valjak s visinom duljine $10$ cm. Na obodima njegovih osnovki su točke $A$ i $B$ takve da je $\overline{AB}$ paralelno s osi valjka. Spojimo li točke $A$ i $B$ najkraćom linijom koja jednom obilazi oko valjka po plaštu, njezina će duljina biti $15$ cm. Kolika je duljina najkraće linije koja dva puta obilazi oko valjka i spaja točke $A$ i $B$?

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Može li se broj

$$\sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2025}$$

zapisati u obliku $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ za neke prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$?

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredite sve moguće vrijednosti prostog broja $p \geq 5$ za koje postoji barem jedan par prirodnih brojeva $(x, y)$ koji je rješenje jednadžbe

$$\frac{16}{x} + \frac{25}{y} = p.$$

Odredite zbroj koeficijenata uz sve neparne potencije od $x$ u razvoju zbroja binoma

$$\left(x + \sqrt{x^3 - 1}\right)^5 + \left(x - \sqrt{x^3 - 1}\right)^5,$$

gdje je $x > 1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da vrijedi

$$z + z^{-1} = 1.$$

Odredite $z^{46} + z^{47} + z^{48} + z^{49} + z^{50}$.

Zadan je pravac s jednadžbom $y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{5}$. Dokažite da je udaljenost svake točke s cjelobrojnim koordinatama do zadanog pravca veća od $\dfrac{1}{30}$.

Pronađite sve parove prirodnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi

$$x^2 + y^2 = 2025.$$

Zadan je niz $(a_n)_{n\in \mathbb{N}_0}$ takav da je $a_0 = a$, $a_1 = b$, gdje su $a$, $b\in \mathbb{R}$, i

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad n \geq 2.$$

Odredite $a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1}$.

Koliko ima tročlanih podskupova skupa $S = \{1,2,3,\ldots,50\}$ kojima je umnožak članova djeljiv s $4$?

Sinusi unutarnjih kutova nekog pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. U kojem su omjeru duljine stranica tog trokuta?