Search

Neka je $ABC$ trokut u kojem je $|AB| < |CA| < |BC|$ i neka su $D$ i $E$ redom točke na polupravcima $BA$ i $BC$ takve da je $|BD| = |BE| = |AC|$. Opisana kružnica trokuta $BDE$ siječe dužinu $\overline{AC}$ u točki $P$, a pravac $BP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točki $Q$ ($Q \neq B$). Dokaži da je $|AQ| + |QC| = |BP|$.

Na polukružnici s promjerom $\overline{AB}$ dane su točke $K$ i $L$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe dužinu $\overline{KL}$ u točki $U$ i pritom su točke $A$ i $K$ s jedne strane te simetrale, a $B$ i $L$ s druge. Neka je $N$ nožište okomice iz sjecišta pravaca $AK$ i $BL$ na pravac $AB$, a $V$ točka na pravcu $KL$ takva da je $\measuredangle VAU = \measuredangle VBU$.

Dokaži da su pravci $NV$ i $KL$ međusobno okomiti.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut takav da je $|AD| = |BD|$ i neka je $M$ sjecište njegovih dijagonala. Nadalje, neka je $N$ drugo sjecište dijagonale $\overline{AC}$ s kružnicom koja prolazi točkama $B$, $M$ i središtem kružnice upisane trokutu $BCM$.

Dokaži da vrijedi $|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|$.

Trapez $ABCD$ s duljom osnovicom $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu $k$. Neka su $A_0$, $B_0$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$, $\overline{CA}$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$ na $AB$, a $G$ težište trokuta $ABC$. Kružnica $k_1$ prolazi točkama $A_0$ i $B_0$ te dodiruje kružnicu $k$ u točki $X$, različitoj od $C$. Dokaži da su točke $D$, $G$, $N$ i $X$ kolinearne.

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$. Polupravci $AI$ i $BI$ sijeku opisanu kružnicu $k$ trokuta $ABC$ u točkama $D$ i $E$ redom. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CA}$ sijeku se u točki $F$, pravac kroz točku $E$ paralelan s pravcem $FI$ siječe kružnicu $k$ još u točki $G$, a pravci $FI$ i $DG$ sijeku se u točki $H$.

Dokaži da pravci $CA$ i $BH$ dodiruju opisanu kružnicu trokuta $DFH$ u točkama $F$ i $H$ redom.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$, u kojem je $|AC| < |BC|$, točke $M$ i $N$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$. Kružnica sa središtem $O$ opisana trokutu $ABC$ i kružnica sa središtem $S$ opisana trokutu $MNC$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Ako je točka $P$ polovište dužine $\overline{AB}$, dokaži da točke $P, O, S$ i $D$ leže na istoj kružnici.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$. Neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $N$ nožište visine iz vrha $B$, a $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $CHN$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Dokaži da točke $B$, $D$, $N$ i $P$ leže na istoj kružnici.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $M$ i $N$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $A$ i $C$, a kružnicu $k_2$ u točkama $B$ i $D$ tako da se točke $A$, $B$, $C$ i $D$ na pravcu $l$ nalaze u tom poretku. Neka je $X$ točka na pravcu $MN$ takva da se točka $M$ nalazi između točaka $X$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravaca $AX$ i $BM$, a $Q$ sjecište pravaca $DX$ i $CM$.

Ako je $K$ polovište dužine $\overline{AD}$, a $L$ polovište dužine $\overline{BC}$, dokaži da se pravci $XK$ i $ML$ sijeku na pravcu $PQ$.

Zadan je tetivni četverokut $ABCD$ takav da se tangente u točkama $B$ i $D$ na njegovu opisanu kružnicu $k$ sijeku na pravcu $AC$. Točke $E$ i $F$ leže na kružnici $k$ tako da su pravci $AC$, $DE$ i $BF$ paralelni. Neka je $M$ sjecište pravaca $BE$ i $DF$. Ako su $P$, $Q$ i $R$ nožišta visina trokuta $ABC$, dokaži da točke $P$, $Q$, $R$ i $M$ leže na istoj kružnici.

Pretpostavimo da je $P$ točka unutar trokuta $ABC$ takva da vrijedi

$$\frac{|AP| + |BP|}{|AB|} = \frac{|BP| + |CP|}{|BC|} = \frac{|CP| + |AP|}{|CA|}.$$

Neka pravci $AP, BP, CP$ ponovno sijeku trokutu $ABC$ opisanu kružnicu redom u točkama $A', B', C'$. Dokaži da trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ imaju zajedničku upisanu kružnicu.

Točka $O$ je središte kružnice opisane šiljastokutnom trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ redom su odabrane na dužinama $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ tako da je $|BE| = |OF|$. Ako su $M$ i $N$ redom polovišta kružnih lukova $\widehat{EOA}$ i $\widehat{AOF}$, dokaži da je $\measuredangle ENO + \measuredangle OMF = 2\measuredangle BAC$.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Polupravci $AD$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. U unutrašnjosti trokuta $DCP$ dana je točka $M$ takva da pravac $PM$ raspolavlja kut $\measuredangle CMD$. Pravac $CM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $DMP$ ponovno u točki $Q$, a pravac $DM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $CMP$ ponovno u točki $R$.

a) Dokaži da dužine $\overline{CQ}$ i $\overline{DR}$ imaju jednaku duljinu.

b) Dokaži da trokuti $PAQ$ i $PBR$ imaju jednaku površinu.

Dana je kružnica $k$ sa središtem $O$. Neka je $\overline{AB}$ tetiva te kružnice i $M$ njeno polovište. Tangente na kružnicu $k$ u točkama $A$ i $B$ sijeku se u $T$. Pravac $\ell$ prolazi točkom $T$, siječe kraći luk $\widehat{AB}$ u točki $C$, a dulji luk $\widehat{AB}$ u točki $D$ i pritom je $|BC| = |BM|$.

Dokaži da je središte kružnice opisane trokutu $ADM$ osnosimetrično točki $O$ u odnosu na pravac $AD$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$. Točka $D$ je polovište kraćeg luka $\widehat{BC}$ njegove opisane kružnice. Točka $I$ je središte njegove upisane kružnice, a točka $J$ je osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $BC$. Pravac $DJ$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $E$ koja pripada luku $\widehat{AB}$.

Dokaži da vrijedi $|AI| = |IE|$.

Upisana kružnica trokuta $ABC$ ima središte $I$ te dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$, $F$. Neka je $k$ kružnica sa središtem $A$ koja prolazi kroz točku $E$. Drugo sjecište pravca $DE$ s kružnicom $k$ je točka $K$. Paralela s pravcem $DF$ kroz točku $I$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $P$. Točka $L$ je sjecište pravca $CP$ i kružnice $k$ takvo da se $P$ nalazi između točaka $C$ i $L$. Točka $O$ je središte opisane kružnice trokuta $DKL$.

Dokaži da su pravci $AI$ i $OD$ paralelni.

Neka je $T$ točka unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke osnosimetrične točki $T$ u odnosu na pravce $BC$, $CA$ i $AB$, redom. Pravci $A_1T$, $B_1T$ i $C_1T$ sijeku kružnicu $k$ opisanu trokutu $A_1B_1C_1$ ponovno u točkama $A_2$, $B_2$ i $C_2$, redom.

Dokaži da se pravci $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ sijeku u jednoj točki koja leži na kružnici $k$.

Dana je kružnica promjera $\overline{AB}$. Na toj kružnici, s različitih strana pravca $AB$, nalaze se točke $C$ i $D$ takve da vrijedi $|AC| < |BC|$ i $|AC| < |AD|$. Točka $P$ pripada dužini $\overline{BC}$ te vrijedi $\measuredangle CAP = \measuredangle ABC$. Okomica iz točke $C$ na pravac $AB$ siječe pravac $BD$ u točki $Q$. Pravci $PQ$ i $AD$ sijeku se u točki $R$, a pravci $PQ$ i $CD$ u točki $T$.

Ako je $|AR| = |RQ|$, dokaži da su pravci $AT$ i $PQ$ međusobno okomiti.

Neka je $ABC$ trokut. Kružnica $k$ prolazi točkom $A$, siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$ i $E$ (različitim od $A$), a stranicu $\overline{BC}$ u točkama $F$ i $G$ i pritom je $F$ između $B$ i $G$. Tangenta opisane kružnice trokuta $BDF$ u točki $F$ i tangenta opisane kružnice trokuta $CEG$ u točki $G$ sijeku se u točki $T$, različitoj od $A$.

Dokaži da su pravci $AT$ i $BC$ međusobno paralelni.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut u kojem je $\measuredangle B > 90°$, $\measuredangle D > 90°$ te $\measuredangle A = \measuredangle C$. Neka su $E$ i $F$ redom točke osnosimetrične točki $A$ u odnosu na pravce $BC$ i $CD$. Neka dužine $\overline{AE}$ i $\overline{AF}$ sijeku pravac $BD$ redom u točkama $K$ i $L$.

Dokaži da se kružnice opisane trokutima $BKE$ i $FLD$ diraju.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| = |BC|$ i točka $D$ na stranici $\overline{AB}$ takva da je $|AD| < |BD|$. Točke $P$ i $Q$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$. Simetrala dužine $\overline{PQ}$ siječe $\overline{CP}$ u točki $E$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $PQC$ sijeku se u točkama $C$ i $F$.

Ako su točke $E$, $F$ i $Q$ kolinearne, dokaži da je $\measuredangle ACB$ pravi kut.

Dan je konveksan četverokut $ABCD$ čije se dijagonale sijeku u točki $P$. Neka su $X$ i $Y$ točke odabrane tako da četverokuti $ABPX$, $CDXP$, $BCPY$ i $DAYP$ budu tetivni. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $Q$, pravci $BC$ i $DA$ u točki $R$, a pravci $XR$ i $YQ$ u točki $Z$. Dokaži da točke $X$, $Y$, $Z$ i $P$ pripadaju istoj kružnici.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut čije se dijagonale sijeku u točki $E$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $P$, a pravci $AD$ i $BC$ u točki $Q$. Neka je $X$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EBC$ i $EDA$ različito od $E$, a $Y$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EAB$ i $ECD$ različito od $E$. Konačno, neka je $W$ sjecište kružnica opisanih trokutima $PBC$ i $PDA$ različito od $P$. Dokaži da su trokuti $WQY$ i $WXP$ slični.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojem je $|AB| < |AC|$ te neka je kružnica $k$ sa središtem $O$ njegova opisana kružnica. Neka su $P$ i $Q$ točke redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ takve da je $AQPO$ paralelogram. Neka su $K$ i $L$ sjecišta simetrale dužine $\overline{OP}$ s kružnicom $k$, pri čemu je $K$ na kraćem luku $\widehat{AB}$. Neka je $M$ drugo sjecište pravca $KQ$ i kružnice $k$. Dokaži da točka $A$ pripada simetrali kuta $\measuredangle QLM$.

Neka je $ABC$ raznostraničan šiljastokutan trokut. Točka $N$ je polovište duljeg luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je $k$ kružnica promjera $\overline{BC}$.

Simetrala kuta $\measuredangle BAC$ siječe kružnicu $k$ u točkama $D$ i $E$, a $D_1$ i $E_1$ su točke takve da su $\overline{DD_1}$ i $\overline{EE_1}$ promjeri kružnice $k$.

Dokaži da polovište dužine $\overline{BC}$ pripada kružnici opisanoj trokutu $NE_1D_1$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|BC| : |AC| = 3 : 2$. Neka je $D$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $P$ polovište dužine $\overline{BD}$. Na pravcu $AC$ dana je točka $X$ tako da je $|AX| = |BC|$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$. Pravac $XP$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u $E$. Pravac $DE$ siječe pravac $AP$ u $Y$. Dokaži da točke $A, X, Y, E$ leže na jednoj kružnici ako i samo ako je $|AB| = |BC|$.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$ i neka je $D$ točka na dužini $\overline{AC}$ takva da vrijedi $|BC| = |CD|$. Označimo s $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AB$. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i neka je $r$ njen polumjer. Na pravcu $DN$ odabrana je točka $P$ tako da vrijedi $|PD| = r$, a $D$ se nalazi između $N$ i $P$. Neka je $Q$ drugo sjecište pravca $BD$ s kružnicom $k$. Okomica iz točke $A$ na pravac $CP$ i okomica iz točke $B$ na pravac $PQ$ sijeku se u točki $K$. Dokaži da je točka $K$ na kružnici $k$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$, redom sa središitima $O_1$ i $O_2$, sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $p$ prolazi točkom $B$ i sijeće kružnicu $k_1$ još u točki $C$, a kružnicu $k_2$ još u točki $D$, pri čemu se točka $B$ nalazi između $C$ i $D$. Tangenta na kružnicu $k_1$ u točki $C$ i tangenta na kružnicu $k_2$ u točki $D$ sijeku se u točki $E$. Pravac $AE$ sijeće opisanu kružnicu trokuta $AO_1O_2$ u točkama $A$ i $F$.

Dokaži da duljina $|EF|$ ne ovisi o odabiru pravca $p$.

Neka je $ABC$ raznostranični šiljastokutni trokut u kojem je $|AB| > |BC|$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $X$. Na toj kružnici nalazi se točka $Y$ takva da je $CA$ simetrala kuta $\measuredangle YCB$. Neka je $D$ nožište okomice iz $B$ na $AY$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{XY}$ sijeku se u točki $E$, a dužine $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ u točki $K$. Ako je $T$ točka na stranici $\overline{AB}$ takva da je $TK$ simetrala kuta $\measuredangle ETD$, dokaži da je $TK$ okomito na $AB$.

Neka je $O$ središte opisane kružnice $k$ trokuta $ABC$ u kojem je $|AB| > |BC|$.

Kružnica $k_1$ prolazi točkama $O$ i $B$, a pravac $AB$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k$ i $k_1$ sijeku još i u točki $P$, $P \neq B$. Kružnica $k_2$ prolazi točkama $P$ i $C$, a pravac $AC$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku još u točki $M$, $M \neq P$.

Dokaži da je $|MP| = |MC|$.

An arbitrary point $M$ is selected in the interior of the segment $AB$. The squares $AMCD$ and $MBEF$ are constructed on the same side of $AB$, with the segments $AM$ and $MB$ as their respective bases. The circles circumscribed about these squares, with centers $P$ and $Q$, intersect at $M$ and also at another point $N$. Let $N'$ denote the point of intersection of the straight lines $AF$ and $BC$.

(a) Prove that the points $N$ and $N'$ coincide.

(b) Prove that the straight lines $MN$ pass through a fixed point $S$ independent of the choice of $M$.

(c) Find the locus of the midpoints of the segments $PQ$ as $M$ varies between $A$ and $B$.

On the circle $K$ there are given three distinct points $A,B,C.$ Construct (using only straightedge and compasses) a fourth point $D$ on $K$ such that a circle can be inscribed in the quadrilateral thus obtained.

A circle is inscribed in triangle $ABC$ with sides $a, b, c$. Tangents to the circle parallel to the sides of the triangle are constructed. Each of these tangents cuts off a triangle from $\triangle ABC$. In each of these triangles, a circle is inscribed. Find the sum of the areas of all four inscribed circles (in terms of $a, b, c$).

Let $ABCD$ be a parallelogram with side lengths $AB = a$, $AD = 1$, and with $\angle BAD = \alpha$. If $\triangle ABD$ is acute, prove that the four circles of radius 1 with centers $A, B, C, D$ cover the parallelogram if and only if $$a \leq \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha.$$

A semicircular arc $\gamma$ is drawn on $AB$ as diameter. $C$ is a point on $\gamma$ other than $A$ and $B$, and $D$ is the foot of the perpendicular from $C$ to $AB$. We consider three circles, $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$, all tangent to the line $AB$. Of these, $\gamma_1$ is inscribed in $\triangle ABC$, while $\gamma_2$ and $\gamma_3$ are both tangent to $CD$ and to $\gamma$, one on each side of $CD$. Prove that $\gamma_1, \gamma_2$ and $\gamma_3$ have a second tangent in common.

Let $M$ be a point on the side $AB$ of $\triangle ABC$. Let $r_1, r_2$ and $r$ be the radii of the inscribed circles of triangles $AMC, BMC$ and $ABC$. Let $q_1, q_2$ and $q$ be the radii of the escribed circles of the same triangles that lie in the angle $ACB$. Prove that $$\frac{r_1}{q_1} \cdot \frac{r_2}{q_2} = \frac{r}{q}.$$

Determine, with proof, whether or not one can find 1975 points on the circumference of a circle with unit radius such that the distance between any two of them is a rational number.

In triangle $ABC$, $AB = AC$. A circle is tangent internally to the circumcircle of triangle $ABC$ and also to sides $AB$, $AC$ at $P$, $Q$, respectively. Prove that the midpoint of segment $PQ$ is the center of the incircle of triangle $ABC$.

Two circles in a plane intersect. Let $A$ be one of the points of intersection. Starting simultaneously from $A$ two points move with constant speeds, each point travelling along its own circle in the same sense. The two points return to A simultaneously after one revolution. Prove that there is a fixed point $P$ in the plane such that, at any time, the distances from $P$ to the moving points are equal.

Three congruent circles have a common point $O$ and lie inside a given triangle. Each circle touches a pair of sides of the triangle. Prove that the incenter and the circumcenter of the triangle and the point $O$ are collinear.

Let $A$ be one of the two distinct points of intersection of two unequal coplanar circles $C_1$ and $C_2$ with centers $O_1$ and $O_2$, respectively. One of the common tangents to the circles touches $C_1$ at $P_1$ and $C_2$ at $P_2$, while the other touches $C_1$ at $Q_1$ and $C_2$ at $Q_2$. Let $M_1$ be the midpoint of $P_1Q_1$, and $M_2$ be the midpoint of $P_2Q_2$. Prove that $\angle O_1AO_2 = \angle M_1AM_2$.

In the plane two different points $O$ and $A$ are given. For each point $X$ of the plane, other than $O$, denote by $a(X)$ the measure of the angle between $OA$ and $OX$ in radians, counterclockwise from $OA$ $(0 \leq a(X) < 2\pi)$. Let $C(X)$ be the circle with center $O$ and radius of length $OX + a(X)/OX$. Each point of the plane is colored by one of a finite number of colors. Prove that there exists a point $Y$ for which $a(Y) > 0$ such that its color appears on the circumference of the circle $C(Y)$.

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral such that the line $CD$ is a tangent to the circle on $AB$ as diameter. Prove that the line $AB$ is a tangent to the circle on $CD$ as diameter if and only if the lines $BC$ and $AD$ are parallel.

A circle has center on the side $AB$ of the cyclic quadrilateral $ABCD$. The other three sides are tangent to the circle. Prove that $AD + BC = AB$.

A circle with center $O$ passes through the vertices $A$ and $C$ of triangle $ABC$ and intersects the segments $AB$ and $BC$ again at distinct points $K$ and $N$, respectively. The circumscribed circles of the triangles $ABC$ and $EBN$ intersect at exactly two distinct points $B$ and $M$. Prove that angle OMB is a right angle.

Consider two coplanar circles of radii $R$ and $r$ ($R > r$) with the same center. Let $P$ be a fixed point on the smaller circle and $B$ a variable point on the larger circle. The line $BP$ meets the larger circle again at $C$. The perpendicular $l$ to $BP$ at $P$ meets the smaller circle again at $A$. (If $l$ is tangent to the circle at $P$ then $A = P$.)

(i) Find the set of values of $BC^2 + CA^2 + AB^2$.

(ii) Find the locus of the midpoint of $BC$.

Chords $AB$ and $CD$ of a circle intersect at a point $E$ inside the circle. Let $M$ be an interior point of the segment $EB$. The tangent line at $E$ to the circle through $D$, $E$, and $M$ intersects the lines $BC$ and $AC$ at $F$ and $G$, respectively. If

$$\frac{AM}{AB} = t,$$

find

$$\frac{EG}{EF}$$

in terms of $t$.

Let $n \geq 3$ and consider a set $E$ of $2n - 1$ distinct points on a circle. Suppose that exactly $k$ of these points are to be colored black. Such a coloring is "good" if there is at least one pair of black points such that the interior of one of the arcs between them contains exactly $n$ points from $E$. Find the smallest value of $k$ so that every such coloring of $k$ points of $E$ is good.

In the plane let $C$ be a circle, $L$ a line tangent to the circle $C$, and $M$ a point on $L$. Find the locus of all points $P$ with the following property: there exists two points $Q, R$ on $L$ such that $M$ is the midpoint of $QR$ and $C$ is the inscribed circle of triangle $PQR$.

Let $A, B, C, D$ be four distinct points on a line, in that order. The circles with diameters $AC$ and $BD$ intersect at $X$ and $Y$. The line $XY$ meets $BC$ at $Z$. Let $P$ be a point on the line $XY$ other than $Z$. The line $CP$ intersects the circle with diameter $AC$ at $C$ and $M$, and the line $BP$ intersects the circle with diameter $BD$ at $B$ and $N$. Prove that the lines $AM, DN, XY$ are concurrent.

Two circles $G_1$ and $G_2$ are contained inside the circle $G$, and are tangent to $G$ at the distinct points $M$ and $N$, respectively. $G_1$ passes through the center of $G_2$. The line passing through the two points of intersection of $G_1$ and $G_2$ meets $G$ at $A$ and $B$. The lines $MA$ and $MB$ meet $G_1$ at $C$ and $D$, respectively.

Prove that $CD$ is tangent to $G_2$.