Search

Zadan je šiljastokutni trokut $ABC$. Neka su točke $B'$ i $C'$ simetrične točkama $B$ i $C$ u odnosu na pravce $AC$ i $AB$ redom. Ako se kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku još u točki $P$, dokaži da pravac $AP$ prolazi središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Neka je $ABC$ trokut u kojem je $|AB| < |CA| < |BC|$ i neka su $D$ i $E$ redom točke na polupravcima $BA$ i $BC$ takve da je $|BD| = |BE| = |AC|$. Opisana kružnica trokuta $BDE$ siječe dužinu $\overline{AC}$ u točki $P$, a pravac $BP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točki $Q$ ($Q \neq B$). Dokaži da je $|AQ| + |QC| = |BP|$.

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $OT \perp AT$. Neka je $A'$ drugo sjecište pravca $AT$ i kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je točka $D$ sjecište pravaca $BA'$ i $AC$, a točka $E$ sjecište pravaca $CA'$ i $AB$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ADE$ leži na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ dana je točka $S$ takva da je $\measuredangle SAB = \measuredangle SBC = \measuredangle SCA$. Pravci $AS$, $BS$, $CS$ sijeku redom kružnice opisane trokutima $SBC$, $SCA$, $SAB$ u točkama $A_1$, $B_1$, $C_1$. Dokaži nejednakost $$P(A_1CB) + P(B_1AC) + P(C_1BA) \geq 3P(ABC).$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Neka je $D$ točka takva da je četverokut $AHCD$ paralelogram. Neka je $p$ okomica na pravac $AB$ kroz polovište $A_1$ stranice $\overline{BC}$. Označimo sjecište pravaca $p$ i $AB$ s $E$, a polovište dužine $\overline{A_1E}$ s $F$. Točku u kojoj paralela s pravcem $BD$ kroz točku $A$ siječe $p$ označimo s $G$. Dokaži da je četverokut $AFA_1C$ tetivan ako i samo ako pravac $BF$ prolazi polovištem dužine $\overline{CG}$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $P$ na stranici $\overline{AC}$ i točka $Q$ na stranici $\overline{BC}$ odabrane su tako da je $|AP| + |BQ| = |PQ|$. Paralela s pravcem $BC$ kroz polovište dužine $\overline{PQ}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $N$. Kružnica opisana trokutu $PNQ$ siječe pravac $AC$ u točkama $P$ i $K$, a pravac $BC$ u točkama $Q$ i $L$. Ako je točka $R$ sjecište pravaca $PL$ i $QK$, dokaži da je pravac $PQ$ okomit na pravac $CR$.

Točka $N$ je nožište visine na hipotenuzu $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$. Simetrale kutova $\measuredangle NCA$ i $\measuredangle BCN$ sijeku dužinu $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $L$. Ako su $S$ i $T$ redom središta kružnica upisanih trokutima $BCN$ i $NCA$, dokaži da je četverokut $KLST$ tetivan.

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$. Polupravci $AI$ i $BI$ sijeku opisanu kružnicu $k$ trokuta $ABC$ u točkama $D$ i $E$ redom. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CA}$ sijeku se u točki $F$, pravac kroz točku $E$ paralelan s pravcem $FI$ siječe kružnicu $k$ još u točki $G$, a pravci $FI$ i $DG$ sijeku se u točki $H$.

Dokaži da pravci $CA$ i $BH$ dodiruju opisanu kružnicu trokuta $DFH$ u točkama $F$ i $H$ redom.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$, u kojem je $|AC| < |BC|$, točke $M$ i $N$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$. Kružnica sa središtem $O$ opisana trokutu $ABC$ i kružnica sa središtem $S$ opisana trokutu $MNC$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Ako je točka $P$ polovište dužine $\overline{AB}$, dokaži da točke $P, O, S$ i $D$ leže na istoj kružnici.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$. Neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $N$ nožište visine iz vrha $B$, a $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $CHN$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Dokaži da točke $B$, $D$, $N$ i $P$ leže na istoj kružnici.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| > |BC|$, a točke $A_1$ i $C_1$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $C$. Neka je $D$ drugo sjecište kružnica opisanih trokutima $ABC$ i $A_1BC_1$ (različito od $B$). Neka je $Z$ sjecište tangenata na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $A$ i $C$, te neka se pravci $ZA$ i $A_1C_1$ sijeku u točki $X$, a pravci $ZC$ i $A_1C_1$ u točki $Y$.

Dokaži da točka $D$ leži na kružnici opisanoj trokutu $XYZ$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| < |BC|$. Točka $I$ je središte kružnice upisane tom trokutu. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $N$ polovište luka $\widehat{AC}$ opisane kružnice tog trokuta koji sadrži točku $B$. Dokaži da je

$$\measuredangle IMA = \measuredangle INB.$$

Točka $M$ se nalazi u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Pravac $AM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $MBC$ još jednom u točki $D$, pravac $BM$ kružnicu opisanu trokutu $MCA$ još jednom u točki $E$, a pravac $CM$ kružnicu opisanu trokutu $MAB$ još jednom u točki $F$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AD|}{|MD|} + \frac{|BE|}{|ME|} + \frac{|CF|}{|MF|} \geqslant \frac{9}{2}.$$

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Neka je $\overline{AD}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$. Na pravcu $AD$ nalaze se međusobno različite točke $E$ i $F$ takve da vrijedi $|DE| = |DF|$ i pritom je točka $E$ u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $BEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $M$. Kružnica opisana trokutu $CEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $L$ i $N$.

Dokaži da se pravci $AD$, $KM$ i $LN$ sijeku u jednoj točki.

Dana je kružnica $k$ sa središtem $O$. Neka je $\overline{AB}$ tetiva te kružnice i $M$ njeno polovište. Tangente na kružnicu $k$ u točkama $A$ i $B$ sijeku se u $T$. Pravac $\ell$ prolazi točkom $T$, siječe kraći luk $\widehat{AB}$ u točki $C$, a dulji luk $\widehat{AB}$ u točki $D$ i pritom je $|BC| = |BM|$.

Dokaži da je središte kružnice opisane trokutu $ADM$ osnosimetrično točki $O$ u odnosu na pravac $AD$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$. Točka $D$ je polovište kraćeg luka $\widehat{BC}$ njegove opisane kružnice. Točka $I$ je središte njegove upisane kružnice, a točka $J$ je osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $BC$. Pravac $DJ$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $E$ koja pripada luku $\widehat{AB}$.

Dokaži da vrijedi $|AI| = |IE|$.

Upisana kružnica trokuta $ABC$ ima središte $I$ te dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$, $F$. Neka je $k$ kružnica sa središtem $A$ koja prolazi kroz točku $E$. Drugo sjecište pravca $DE$ s kružnicom $k$ je točka $K$. Paralela s pravcem $DF$ kroz točku $I$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $P$. Točka $L$ je sjecište pravca $CP$ i kružnice $k$ takvo da se $P$ nalazi između točaka $C$ i $L$. Točka $O$ je središte opisane kružnice trokuta $DKL$.

Dokaži da su pravci $AI$ i $OD$ paralelni.

Neka je $ABCD$ jednakokračni trapez s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$. Dijagonale trapeza sijeku se u točki $S$, a polovište stranice $\overline{AD}$ je točka $M$. Kružnica opisana trokutu $BCM$ ponovno siječe stranicu $\overline{AD}$ u točki $K$. Dokaži da su pravci $SK$ i $AB$ međusobno paralelni.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| < |AC|$. Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$, redom su dane točke $P$ i $Q$ takve da su pravci $AQ$ i $CP$ okomiti, a kružnica upisana trokutu $ABC$ dira dužinu $\overline{PQ}$. Pravac $CP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $C$ i $T$.

Ako se pravci $CA$, $PQ$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, dokaži da je kut $\measuredangle CAB$ pravi.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojem je $|AB| < |AC|$ te neka je kružnica $k$ sa središtem $O$ njegova opisana kružnica. Neka su $P$ i $Q$ točke redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ takve da je $AQPO$ paralelogram. Neka su $K$ i $L$ sjecišta simetrale dužine $\overline{OP}$ s kružnicom $k$, pri čemu je $K$ na kraćem luku $\widehat{AB}$. Neka je $M$ drugo sjecište pravca $KQ$ i kružnice $k$. Dokaži da točka $A$ pripada simetrali kuta $\measuredangle QLM$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| \neq |AC|$ i upisana kružnica dira stranice $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Okomica iz točke $D$ na pravac $EF$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $G$, a kružnice opisane trokutima $AEF$ i $ABC$ se sijeku u točkama $A$ i $T$.

Dokaži da su pravci $TG$ i $TF$ okomiti.

Neka je $ABC$ raznostraničan šiljastokutan trokut. Točka $N$ je polovište duljeg luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je $k$ kružnica promjera $\overline{BC}$.

Simetrala kuta $\measuredangle BAC$ siječe kružnicu $k$ u točkama $D$ i $E$, a $D_1$ i $E_1$ su točke takve da su $\overline{DD_1}$ i $\overline{EE_1}$ promjeri kružnice $k$.

Dokaži da polovište dužine $\overline{BC}$ pripada kružnici opisanoj trokutu $NE_1D_1$.

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da je $|AC| = |BC|$. Neka je $P$ točka na pravcu $AB$ takva da $B$ leži između $A$ i $P$. Opisana kružnica trokuta $ACD$ siječe dužinu $\overline{PD}$ u točki $Q$, $Q \neq D$. Opisana kružnica trokuta $APQ$ siječe dužinu $\overline{PC}$ u točki $R$, $R \neq P$.

Dokaži da se pravci $CD$, $AQ$ i $BR$ sijeku u jednoj točki.

Zadan je konveksan šesterokut $ABCDEF$ kojemu su sveke dvije nasuprotne stranice međusobno različitih duljina i paralelne ($AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$ i $CD \parallel FA$). Ako je $|AE| = |BD|$ i $|BF| = |CE|$, dokaži da se šesterokutu $ABCDEF$ može opisati kružnica.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$ i $\overline{AD}$. Pretpostavimo da točke $Q, A, B, P$ leže na pravcu u tom poretku, da je $AC$ tangenta opisane kružnice trokuta $ADQ$ te da je $BD$ tangenta opisane kružnice trokuta $BCP$. Dokaži da se pravac $CD$, tangenta opisane kružnice trokuta $ANQ$ u točki $A$ i tangenta opisane kružnice trokuta $BMP$ u točki $B$ sijeku u jednoj točki.

Neka je $T$ težište raznostraničnog trokuta $ABC$. Označimo sa $A_1, B_1, C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$, a sa $A_2, B_2, C_2$ polovišta dužina $\overline{AT}$, $\overline{BT}$ i $\overline{CT}$ redom. Dokaži da se kružnice opisane trokutima $A_1B_2C_2$, $A_2B_1C_2$ i $A_2B_2C_1$ sijeku u jednoj točki.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$ i neka je $D$ točka na dužini $\overline{AC}$ takva da vrijedi $|BC| = |CD|$. Označimo s $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AB$. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i neka je $r$ njen polumjer. Na pravcu $DN$ odabrana je točka $P$ tako da vrijedi $|PD| = r$, a $D$ se nalazi između $N$ i $P$. Neka je $Q$ drugo sjecište pravca $BD$ s kružnicom $k$. Okomica iz točke $A$ na pravac $CP$ i okomica iz točke $B$ na pravac $PQ$ sijeku se u točki $K$. Dokaži da je točka $K$ na kružnici $k$.

Neka je $O$ središte opisane kružnice $k$ trokuta $ABC$ u kojem je $|AB| > |BC|$.

Kružnica $k_1$ prolazi točkama $O$ i $B$, a pravac $AB$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k$ i $k_1$ sijeku još i u točki $P$, $P \neq B$. Kružnica $k_2$ prolazi točkama $P$ i $C$, a pravac $AC$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku još u točki $M$, $M \neq P$.

Dokaži da je $|MP| = |MC|$.

Neka je $I$ središte upisane kružnice, $O$ središte opisane kružnice te $H$ ortocentar trokuta $ABC$ u kojem je kut $\measuredangle CBA$ manji od kuta $\measuredangle ACB$. Upisana kružnica dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pretpostavimo da su pravci $AO$ i $HD$ paralelni. Neka se pravci $OD$ i $AH$ sijeku u točki $E$ i neka je $F$ polovište dužine $\overline{CI}$. Dokaži:

a) Pravci $OI$ i $BC$ su paralelni.

b) Točke $E$, $F$, $I$ i $O$ pripadaju istoj kružnici.

Neka je $ABCD$ tetivan četverokut takav da je $|AB| = |AD|$. Točke $M$ i $N$ nalaze se redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ i pritom je $|BM| + |DN| = |MN|$. Dokaži da središte opisane kružnice trokuta $AMN$ pripada pravcu $AC$.

An arbitrary point $M$ is selected in the interior of the segment $AB$. The squares $AMCD$ and $MBEF$ are constructed on the same side of $AB$, with the segments $AM$ and $MB$ as their respective bases. The circles circumscribed about these squares, with centers $P$ and $Q$, intersect at $M$ and also at another point $N$. Let $N'$ denote the point of intersection of the straight lines $AF$ and $BC$.

(a) Prove that the points $N$ and $N'$ coincide.

(b) Prove that the straight lines $MN$ pass through a fixed point $S$ independent of the choice of $M$.

(c) Find the locus of the midpoints of the segments $PQ$ as $M$ varies between $A$ and $B$.

Consider an isosceles triangle. Let $r$ be the radius of its circumscribed circle and $\rho$ the radius of its inscribed circle. Prove that the distance $d$ between the centers of these two circles is $$d = \sqrt{r(r-2\rho)}.$$

In triangle $ABC$, $AB = AC$. A circle is tangent internally to the circumcircle of triangle $ABC$ and also to sides $AB$, $AC$ at $P$, $Q$, respectively. Prove that the midpoint of segment $PQ$ is the center of the incircle of triangle $ABC$.

Three congruent circles have a common point $O$ and lie inside a given triangle. Each circle touches a pair of sides of the triangle. Prove that the incenter and the circumcenter of the triangle and the point $O$ are collinear.

A circle with center $O$ passes through the vertices $A$ and $C$ of triangle $ABC$ and intersects the segments $AB$ and $BC$ again at distinct points $K$ and $N$, respectively. The circumscribed circles of the triangles $ABC$ and $EBN$ intersect at exactly two distinct points $B$ and $M$. Prove that angle OMB is a right angle.

In an acute-angled triangle $ABC$ the interior bisector of the angle $A$ intersects $BC$ at $L$ and intersects the circumcircle of $ABC$ again at $N$. From point $L$ perpendiculars are drawn to $AB$ and $AC$, the feet of these perpendiculars being $K$ and $M$ respectively. Prove that the quadrilateral $AKNM$ and the triangle $ABC$ have equal areas.

In an acute-angled triangle $ABC$ the internal bisector of angle $A$ meets the circumcircle of the triangle again at $A_1$. Points $B_1$ and $C_1$ are defined similarly. Let $A_0$ be the point of intersection of the line $AA_1$ with the external bisectors of angles $B$ and $C$. Points $B_0$ and $C_0$ are defined similarly. Prove that:

(i) The area of the triangle $A_0B_0C_0$ is twice the area of the hexagon $AC_1BA_1CB_1$.

(ii) The area of the triangle $A_0B_0C_0$ is at least four times the area of the triangle $ABC$.

Let $D$ be a point inside acute triangle $ABC$ such that $\angle ADB = \angle ACB + \pi/2$ and $AC \cdot BD = AD \cdot BC$.

(a) Calculate the ratio $(AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)$.

(b) Prove that the tangents at $C$ to the circumcircles of $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ are perpendicular.

Let $ABCDEF$ be a convex hexagon such that $AB$ is parallel to $DE$, $BC$ is parallel to $EF$, and $CD$ is parallel to $FA$. Let $R_A, R_C, R_E$ denote the circumradii of triangles $FAB, BCD, DEF$, respectively, and let $P$ denote the perimeter of the hexagon. Prove that

$$R_A + R_C + R_E \geq \frac{P}{2}.$$

The angle at $A$ is the smallest angle of triangle $ABC$. The points $B$ and $C$ divide the circumcircle of the triangle into two arcs. Let $U$ be an interior point of the arc between $B$ and $C$ which does not contain $A$. The perpendicular bisectors of $AB$ and $AC$ meet the line $AU$ at $V$ and $W$, respectively. The lines $BV$ and $CW$ meet at $T$. Show that

$$AU = TB + TC.$$

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with circumcentre $O$. Let $P$ on $BC$ be the foot of the altitude from $A$.

Suppose that $\angle BCA \geq \angle ABC + 30^{\circ}$.

Prove that $\angle CAB + \angle COP < 90^{\circ}$.

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB \neq AC$. The circle with diameter $BC$ intersects the sides $AB$ and $AC$ at $M$ and $N$ respectively. Denote by $O$ the midpoint of the side $BC$. The bisectors of the angles $\angle BAC$ and $\angle MON$ intersect at $R$. Prove that the circumcircles of the triangles $BMR$ and $CNR$ have a common point lying on the side $BC$.

Let $ABCD$ be a fixed convex quadrilateral with $BC = DA$ and $BC$ not parallel with $DA$. Let two variable points $E$ and $F$ lie of the sides $BC$ and $DA$, respectively and satisfy $BE = DF$. The lines $AC$ and $BD$ meet at $P$, the lines $BD$ and $EF$ meet at $Q$, the lines $EF$ and $AC$ meet at $R$.

Prove that the circumcircles of the triangles $PQR$, as $E$ and $F$ vary, have a common point other than $P$.

In triangle $ABC$ the bisector of angle $BCA$ intersects the circumcircle again at $R$, the perpendicular bisector of $BC$ at $P$, and the perpendicular bisector of $AC$ at $Q$. The midpoint of $BC$ is $K$ and the midpoint of $AC$ is $L$. Prove that the triangles $RPK$ and $RQL$ have the same area.

Let $ABC$ be a triangle with circumcentre $O$. The points $P$ and $Q$ are interior points of the sides $CA$ and $AB$, respectively. Let $K$, $L$ and $M$ be the midpoints of the segments $BP$, $CQ$ and $PQ$, respectively, and let $\Gamma$ be the circle passing through $K$, $L$ and $M$. Suppose that the line $PQ$ is tangent to the circle $\Gamma$. Prove that $OP = OQ$.

Let $I$ be the incentre of triangle $ABC$ and let $\Gamma$ be its circumcircle. Let the line $AI$ intersect $\Gamma$ again at $D$. Let $E$ be a point on the arc $\widehat{BDC}$ and $F$ a point on the side $BC$ such that $$\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC.$$ Finally, let $G$ be the midpoint of the segment $IF$. Prove that the lines $DG$ and $EI$ intersect on $\Gamma$.

Let $P$ be a point inside the triangle $ABC$. The lines $AP$, $BP$ and $CP$ intersect the circumcircle $\Gamma$ of triangle $ABC$ again at the points $K$, $L$ and $M$ respectively. The tangent to $\Gamma$ at $C$ intersects the line $AB$ at $S$. Suppose that $SC = SP$. Prove that $MK = ML$.

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcircle $\Gamma$. Let $\ell$ be a tangent line to $\Gamma$, and let $\ell_a$, $\ell_b$ and $\ell_c$ be the lines obtained by reflecting $\ell$ in the lines $BC$, $CA$ and $AB$, respectively. Show that the circumcircle of the triangle determined by the lines $\ell_a$, $\ell_b$ and $\ell_c$ is tangent to the circle $\Gamma$.