Croatian County-Level Competitions 2016

Opseg pravokutnog trokuta iznosi $18$, a površina $9$. Kolika je duljina hipotenuze tog trokuta?

a) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka $987654$;

b) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka $987654$.

Odredi najmanju moguću vrijednost izraza $$a^2 + 5b^2 + 8c^2 - 4ab - 4bc - 8c + 24,$$ pri čemu su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, te odredi $a$, $b$ i $c$ za koje se ta vrijednost postiže.

U trokutu $ABC$ kut kod vrha $A$ je dvostruko veći od kuta kod vrha $B$. Neka simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Dokaži da vrijedi $$|BC| = |AD| + |AC|.$$

Na koliko načina možemo obojati polja ploče $2 \times 2016$ u dvije boje tako da ne postoje tri polja iste boje koja se mogu istovremeno pokriti pločicom oblika kao na slici? Pločicu je dozvoljeno rotirati.

Dan je jednakokračni pravokutni trokut čije su katete duljine $10$. Odredi najveću moguću površinu pravokutnika čija jedna stranica leži na hipotenuzi, a po jedan vrh na katetama danog trokuta.

Neka su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ rješenja jednadžbe $x^3 - 2x + 2 = 0$. Odredi $$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{b + 1}{b - 1} + \frac{c + 1}{c - 1}.$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(m, k)$ za koje vrijedi $$20m = k(m - 15k)?$$

Na kružnici $k$ nalaze se točke $A$ i $B$, a na manjem luku $\widehat{AB}$ točka $P$. Neka su $Q$ i $R$ točke na $k$, različite od $P$, takve da je $|AP| = |AQ|$ i $|BP| = |BR|$. Neka je $T$ sjecište pravaca $AR$ i $BQ$. Dokaži da su pravci $PT$ i $AB$ međusobno okomiti.

Polja ploče $2 \times 50$ potrebno je obojati u dvije boje, crvenu i plavu, tako da budu zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• na ploči se pojavljuju obje boje
• uklanjanjem svih crvenih polja ploča ostaje povezana
• uklanjanjem svih plavih polja ploča ostaje povezana.

Ploča je povezana ako se od svakog polja može doći do svakog drugog, prelazeći u svakom koraku s polja na njemu susjedno polje. Polja su susjedna ako imaju zajedničku stranicu.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$. Dokaži da vrijedi $$\sin(3x) + \sin(3y) \leq \frac{26}{27}.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da vrijedi $$a^3 - 3b = 15,$$ $$b^2 - a = 13.$$

Jednakokračni trokut $ABC$ ($|AB| = |AC|$) upisan je u kružnicu $k$. Neka je $D$ točka na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta, $k_1$ kružnica opisana trokutu $ABD$ i $E$ točka na kružnici $k_1$. Pretpostavimo da pravac $AE$ siječe kružnicu $k$ u točkama $A$ i $F$ tako da $F$ leži između $A$ i $E$. Ako se pravci $DE$ i $BF$ sijeku u točki $G$, dokaži da vrijedi $|EG| = |GF|$.

Neka je $k$ kružnica s promjerom $\overline{AB}$ i $t$ tangenta kružnice $k$ s diralištem u točki $A$. Neka je $P$ bilo koja točka na kružnici $k$ i neka je $N$ ortogonalna projekcija točke $P$ na pravac $t$. Odredi kut $\measuredangle ABP$ za koji izraz $|PB| + |PN|$ ima najveću moguću vrijednost.

Promatramo sve pravokutne ploče čija je polja moguće obojati tako da u svakom retku bude točno $14$ plavih polja, u svakom stupcu točno $10$ crvenih polja i da na cijeloj ploči budu točno $3$ polja koja nisu ni crvena ni plava.

Odredi dimenzije takve ploče koja ima najmanji ukupan broj polja.

Neka su $a_0, a_1, \ldots, a_n$ realni brojevi takvi da je $$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n = (x + 1)^3(x + 2)^3 \cdots (x + 672)^3.$$ Odredi zbroj $$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{2016}.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geq 3$ postoji $n$ različitih prirodnih brojeva čiji je zbroj reciprocnih vrijednosti jednak $1$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$, točka $D$ leži na stranici $\overline{BC}$. Okomica iz točke $B$ na pravac $AD$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABD$ u točkama $B$ i $E$. Ako su pravci $DE$ i $AC$ međusobno okomiti, dokaži da je $AD$ simetrala kuta $\measuredangle BAC$.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$(7a - b)^2 = 2(a - 1)b^2.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Na koliko načina možemo tablicu $n \times n$ popuniti brojevima $1, 2, -1, -2$ tako da umnožak brojeva u svakom retku bude jednak $-2$ i da umnožak brojeva u svakom stupcu bude također jednak $-2$?