Croatian County-Level Competitions 2023

Dokaži da jednadžba $$(n - 20)^3 + 2n^3 = (n + 20)^3$$ nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi $$\frac{xy}{4y - 3x} = 20,$$ $$\frac{xz}{2x - 3z} = 15,$$ $$\frac{zy}{4y - 5z} = 12.$$

Marijan je na ploču napisao niz od $n$ prostih brojeva tako da je svaki sljedeći broj za $6$ veći od prethodnog.

Dokaži da postoji najveći prirodan broj $n$ za koji je to moguće. Koji je to najveći $n$ i koje je sve nizove Marijan mogao napisati na ploču za taj najveći $n$?

Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja dira stranice $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DE$ siječe pravac $DF$ u točki $M$, a pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DF$ siječe pravac $DE$ u točki $N$. Dokaži da pravac $MN$ sadrži srednjicu trokuta $ABC$.

U krugu sjede $2023$ osobe. Među njima je $N$ osoba koje uvijek govore istinu, dok svi ostali uvijek lažu. Svi su dali izjavu: „Obje osobe koje sjede do mene lažu." Odredi sve vrijednosti broja $N$ za koje je to moguće.

U ovisnosti o parametru $a \in \mathbb{R}$, odredi sliku funkcije $f(x) = \dfrac{2023}{x^2 - a^2 - x - a}$.

Jednadžba $$(x^2 + ax + b)(x^2 + ax + c) = 0$$ ima četiri različita realna rješenja i to su $a$, $b$, $c$ i $-1$. Odredi brojeve $a$, $b$ i $c$.

Odredi sve uređene trojke $(m,n,p)$ gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost za koje vrijedi $$25^n + 2 \cdot 5^n = p^m + 8.$$

Unutar paralelograma $ABCD$ odabrana je točka $T$ tako da vrijedi $|TC| = |BC|$. Neka su $P$ i $M$ redom polovišta dužina $\overline{CD}$ i $\overline{AT}$. Dokaži da je pravac $BT$ okomit na pravac $PM$.

Žaba Žana nalazi se ishodištu brojevnog pravca, te u svakom koraku skače za jedan ulijevo, za jedan udesno ili ostaje na mjestu. Lina i Dina izabrale su relativno proste brojeve $m$ i $n$, gdje je $m > n$. Nakon svakih $n$ koraka Lina zapovijeda: „Lijevo!", a nakon svakih $m$ koraka Dina zapovijeda: „Desno!" Žana miruje dok ne čuje prvu zapovijed, a nakon toga počinje (ili nastavlja) skakati u smjeru prema zapovijedi. Zaustavlja se u prvom koraku u kojem čuje obje zapovijedi. U ovisnosti o brojevima $m$ i $n$ odredi na kojoj se udaljenosti od ishodišta Žana zaustavila.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$1225 \cdot 5^{x^2 - 3x} = 7^{x + 1}.$$

Ovisno o realnom parametru $p$ odredi broj rješenja jednadžbe $\cos 2x = p(\sin x + \cos x)$ na intervalu $[0, 2\pi]$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $\measuredangle ACB = 60^\circ$, $|AC| = \sqrt{3} - 1$ i $|BC| = 2$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle ACM$.

Odredi sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi $$x \cdot \lfloor x \rfloor \cdot (x - \lfloor x \rfloor) = 254.$$

Za racionalni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ najveći je cijeli broj koji nije veći od $t$. Na primjer, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$.

Dana je ploča $n \times n$, obojana poput šahovske, pri čemu je gornje lijevo polje crne boje. Azra u svakom koraku bira šest polja ploče koja tvore $2 \times 3$ ili $3 \times 2$ pravokutnik i sadrže točno tri bijela polja, te ta tri polja zacrni. Za koje $n$ Azra može postići da sva polja budu crne boje?

Odredi sve brojeve $a, b \in \mathbb{N}_0$ i $n \in \mathbb{N}$ za koje vrijedi $$2^a + 3^b + 1 = n!.$$

Za svaki prirodan broj $n$ neka su $a_n$ i $b_n$ realni brojevi takvi da je $(\sqrt{3} + i)^n = a_n + ib_n$. Dokaži da izraz $$\frac{a_n b_{n+1} - a_{n+1} b_n}{a_{n+1} a_n + b_{n+1} b_n}$$ poprima istu vrijednost za sve $n \in \mathbb{N}$ te odredi tu vrijednost.

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti cijeli brojevi i $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ polinom takav da je $P(a) = a^3$ i $P(b) = b^3$. Odredi $P(1)$.

Dvije kružnice sijeku se u točkama $A$ i $B$, a pritom manja kružnica prolazi središtem veće. Tangente na manju kružnicu u točkama $A$ i $B$ sijeku veću kružnicu ponovno u točkama $A_1$ i $B_1$. Dokaži da je pravac $A_1B$ simetrala kuta $\measuredangle AA_1B_1$.

Nikola je zamislio deveteroznamenkasti broj $\overline{a_1a_2a_3\ldots a_9}$ u čijem se dekadskom prikazu svaka od znamenaka od 1 do 9 pojavljuje točno jednom. Zatim je izračunao 6 zbrojeva $$\overline{a_1a_2a_3} + \overline{a_2a_3a_4}, \quad \overline{a_2a_3a_4} + \overline{a_3a_4a_5}, \quad \overline{a_3a_4a_5} + \overline{a_4a_5a_6},$$ $$\overline{a_4a_5a_6} + \overline{a_5a_6a_7}, \quad \overline{a_5a_6a_7} + \overline{a_6a_7a_8}, \quad \overline{a_6a_7a_8} + \overline{a_7a_8a_9}$$ i napisao na papir najveći od njih. Koji je najmanji broj koji je mogao zapisati na papir?