Search

Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ trokuta $ABC$. Neka su $E$ i $F$ točke na dužinama $\overline{BD}$ i $\overline{BC}$ redom, takve da je $\measuredangle BAE = \measuredangle CAF$. Neka su $P$ i $Q$ točke na dužinama $\overline{BC}$ i $\overline{BD}$ redom, takve da je $EP \parallel CD$ i $FQ \parallel CD$. Dokaži da je $\measuredangle BAP = \measuredangle CAQ$.

Zadan je šiljastokutni trokut $ABC$. Neka su točke $B'$ i $C'$ simetrične točkama $B$ i $C$ u odnosu na pravce $AC$ i $AB$ redom. Ako se kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku još u točki $P$, dokaži da pravac $AP$ prolazi središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Neka je $ABC$ trokut u kojem je $|AB| < |CA| < |BC|$ i neka su $D$ i $E$ redom točke na polupravcima $BA$ i $BC$ takve da je $|BD| = |BE| = |AC|$. Opisana kružnica trokuta $BDE$ siječe dužinu $\overline{AC}$ u točki $P$, a pravac $BP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točki $Q$ ($Q \neq B$). Dokaži da je $|AQ| + |QC| = |BP|$.

Unutar trokuta $ABC$ dana je točka $P$ takva da je

$$\measuredangle ABP = \measuredangle PCA = \frac{1}{3} (\measuredangle ABC + \measuredangle BCA).$$

Dokaži da je $\frac{|AB|}{|AC| + |PB|} = \frac{|AC|}{|AB| + |PC|}$.

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $OT \perp AT$. Neka je $A'$ drugo sjecište pravca $AT$ i kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je točka $D$ sjecište pravaca $BA'$ i $AC$, a točka $E$ sjecište pravaca $CA'$ i $AB$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ADE$ leži na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Neka je $k$ upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ sa središtem u točki $I$, a $k_c$ pripisana kružnica istog trokuta nasuprot kuta $\angle BCA$. Ako je točka $D$ diralište stranice $\overline{AB}$ i kružnice $k_c$, a točka $S$ sjecište pravca $DI$ s kružnicom $k_c$ (različito od točke $D$), dokaži da je pravac $DI$ simetrala kuta $\angle ASB$.

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ dana je točka $S$ takva da je $\measuredangle SAB = \measuredangle SBC = \measuredangle SCA$. Pravci $AS$, $BS$, $CS$ sijeku redom kružnice opisane trokutima $SBC$, $SCA$, $SAB$ u točkama $A_1$, $B_1$, $C_1$. Dokaži nejednakost $$P(A_1CB) + P(B_1AC) + P(C_1BA) \geq 3P(ABC).$$

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut takav da je $|AD| = |BD|$ i neka je $M$ sjecište njegovih dijagonala. Nadalje, neka je $N$ drugo sjecište dijagonale $\overline{AC}$ s kružnicom koja prolazi točkama $B$, $M$ i središtem kružnice upisane trokutu $BCM$.

Dokaži da vrijedi $|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|$.

Neka su točke $M$ i $N$ redom dirališta upisane kružnice raznostraničnog trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$, a točke $P$ i $Q$ redom dirališta pripisanih kružnica nasuprot vrhova $B$ i $C$ s pravcem $BC$. Dokaži da je četverokut $MNPQ$ tetivan ako i samo ako je trokut $ABC$ pravokutan s pravim kutom pri vrhu $A$.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Neka je $D$ točka takva da je četverokut $AHCD$ paralelogram. Neka je $p$ okomica na pravac $AB$ kroz polovište $A_1$ stranice $\overline{BC}$. Označimo sjecište pravaca $p$ i $AB$ s $E$, a polovište dužine $\overline{A_1E}$ s $F$. Točku u kojoj paralela s pravcem $BD$ kroz točku $A$ siječe $p$ označimo s $G$. Dokaži da je četverokut $AFA_1C$ tetivan ako i samo ako pravac $BF$ prolazi polovištem dužine $\overline{CG}$.

U trokutu $ABC$ kut pri vrhu $B$ iznosi $120°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ redom točke na stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, takve da su $AA_1, BB_1, CC_1$ simetrale kutova trokuta $ABC$. Odredi kut $\measuredangle A_1B_1C_1$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $P$ na stranici $\overline{AC}$ i točka $Q$ na stranici $\overline{BC}$ odabrane su tako da je $|AP| + |BQ| = |PQ|$. Paralela s pravcem $BC$ kroz polovište dužine $\overline{PQ}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $N$. Kružnica opisana trokutu $PNQ$ siječe pravac $AC$ u točkama $P$ i $K$, a pravac $BC$ u točkama $Q$ i $L$. Ako je točka $R$ sjecište pravaca $PL$ i $QK$, dokaži da je pravac $PQ$ okomit na pravac $CR$.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $|AB| > |AC|$. Neka je $P$ polovište stranice $\overline{BC}$, a $S$ točka u kojoj simetrala kuta $\measuredangle BAC$ sijeće tu stranicu. Paralela s pravcem $AS$ kroz točku $P$ sijeće pravce $AB$ i $AC$ redom u točkama $X$ i $Y$. Neka je $Z$ točka takva da je $Y$ polovište dužine $\overline{XZ}$ te neka se pravci $BY$ i $CZ$ sijeku u točki $D$.

Dokaži da je simetrala kuta $\measuredangle BDC$ paralelna s pravcem $AS$.

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$. Polupravci $AI$ i $BI$ sijeku opisanu kružnicu $k$ trokuta $ABC$ u točkama $D$ i $E$ redom. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CA}$ sijeku se u točki $F$, pravac kroz točku $E$ paralelan s pravcem $FI$ siječe kružnicu $k$ još u točki $G$, a pravci $FI$ i $DG$ sijeku se u točki $H$.

Dokaži da pravci $CA$ i $BH$ dodiruju opisanu kružnicu trokuta $DFH$ u točkama $F$ i $H$ redom.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$, u kojem je $|AC| < |BC|$, točke $M$ i $N$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$. Kružnica sa središtem $O$ opisana trokutu $ABC$ i kružnica sa središtem $S$ opisana trokutu $MNC$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Ako je točka $P$ polovište dužine $\overline{AB}$, dokaži da točke $P, O, S$ i $D$ leže na istoj kružnici.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$. Neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $N$ nožište visine iz vrha $B$, a $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $CHN$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Dokaži da točke $B$, $D$, $N$ i $P$ leže na istoj kružnici.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| > |BC|$, a točke $A_1$ i $C_1$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $C$. Neka je $D$ drugo sjecište kružnica opisanih trokutima $ABC$ i $A_1BC_1$ (različito od $B$). Neka je $Z$ sjecište tangenata na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $A$ i $C$, te neka se pravci $ZA$ i $A_1C_1$ sijeku u točki $X$, a pravci $ZC$ i $A_1C_1$ u točki $Y$.

Dokaži da točka $D$ leži na kružnici opisanoj trokutu $XYZ$.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a točka $D$ na stranici $\overline{AC}$ takva da je $|AB| = |DB|$. Upisana kružnica trokuta $BCD$ dodiruje pravce $AC$ i $BD$ redom u točkama $E$ i $F$. Dokaži da pravac $EF$ raspolavlja dužinu $\overline{DI}$.

Pretpostavimo da je $P$ točka unutar trokuta $ABC$ takva da vrijedi

$$\frac{|AP| + |BP|}{|AB|} = \frac{|BP| + |CP|}{|BC|} = \frac{|CP| + |AP|}{|CA|}.$$

Neka pravci $AP, BP, CP$ ponovno sijeku trokutu $ABC$ opisanu kružnicu redom u točkama $A', B', C'$. Dokaži da trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ imaju zajedničku upisanu kružnicu.

Točka $O$ je središte kružnice opisane šiljastokutnom trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ redom su odabrane na dužinama $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ tako da je $|BE| = |OF|$. Ako su $M$ i $N$ redom polovišta kružnih lukova $\widehat{EOA}$ i $\widehat{AOF}$, dokaži da je $\measuredangle ENO + \measuredangle OMF = 2\measuredangle BAC$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| < |BC|$. Točka $I$ je središte kružnice upisane tom trokutu. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $N$ polovište luka $\widehat{AC}$ opisane kružnice tog trokuta koji sadrži točku $B$. Dokaži da je

$$\measuredangle IMA = \measuredangle INB.$$

Točka $M$ se nalazi u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Pravac $AM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $MBC$ još jednom u točki $D$, pravac $BM$ kružnicu opisanu trokutu $MCA$ još jednom u točki $E$, a pravac $CM$ kružnicu opisanu trokutu $MAB$ još jednom u točki $F$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AD|}{|MD|} + \frac{|BE|}{|ME|} + \frac{|CF|}{|MF|} \geqslant \frac{9}{2}.$$

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Neka je $\overline{AD}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$. Na pravcu $AD$ nalaze se međusobno različite točke $E$ i $F$ takve da vrijedi $|DE| = |DF|$ i pritom je točka $E$ u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $BEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $M$. Kružnica opisana trokutu $CEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $L$ i $N$.

Dokaži da se pravci $AD$, $KM$ i $LN$ sijeku u jednoj točki.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$. Točka $D$ je polovište kraćeg luka $\widehat{BC}$ njegove opisane kružnice. Točka $I$ je središte njegove upisane kružnice, a točka $J$ je osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $BC$. Pravac $DJ$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $E$ koja pripada luku $\widehat{AB}$.

Dokaži da vrijedi $|AI| = |IE|$.

Upisana kružnica trokuta $ABC$ ima središte $I$ te dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$, $F$. Neka je $k$ kružnica sa središtem $A$ koja prolazi kroz točku $E$. Drugo sjecište pravca $DE$ s kružnicom $k$ je točka $K$. Paralela s pravcem $DF$ kroz točku $I$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $P$. Točka $L$ je sjecište pravca $CP$ i kružnice $k$ takvo da se $P$ nalazi između točaka $C$ i $L$. Točka $O$ je središte opisane kružnice trokuta $DKL$.

Dokaži da su pravci $AI$ i $OD$ paralelni.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ te neka je $P$ točka različita od $A$ takva da je $PA \parallel BC$. Točke $X$ i $Y$ nalaze se redom na polupravcima $PB$ i $PC$, tako da je točka $B$ između $P$ i $X$, točka $C$ između $P$ i $Y$ te vrijedi $\measuredangle PXM = \measuredangle PYM$. Dokaži da su točke $A$, $P$, $X$ i $Y$ konciklične.

Neka je $T$ točka unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke osnosimetrične točki $T$ u odnosu na pravce $BC$, $CA$ i $AB$, redom. Pravci $A_1T$, $B_1T$ i $C_1T$ sijeku kružnicu $k$ opisanu trokutu $A_1B_1C_1$ ponovno u točkama $A_2$, $B_2$ i $C_2$, redom.

Dokaži da se pravci $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ sijeku u jednoj točki koja leži na kružnici $k$.

Dirališta upisane kružnice trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su redom točke $D$ i $E$. Dirališta pripisane kružnice nasuprot vrha $A$ s pravcima $AB$ i $AC$ su redom točke $F$ i $G$.

Neka simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $DE$ u točkama $X$ i $Y$ redom te neka vanjske simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $FG$ u točkama $Z$ i $W$ redom.

Dokaži da je četverokut $XYZW$ tetivan.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| < |AC|$. Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$, redom su dane točke $P$ i $Q$ takve da su pravci $AQ$ i $CP$ okomiti, a kružnica upisana trokutu $ABC$ dira dužinu $\overline{PQ}$. Pravac $CP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $C$ i $T$.

Ako se pravci $CA$, $PQ$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, dokaži da je kut $\measuredangle CAB$ pravi.

Dana je kružnica promjera $\overline{AB}$. Na toj kružnici, s različitih strana pravca $AB$, nalaze se točke $C$ i $D$ takve da vrijedi $|AC| < |BC|$ i $|AC| < |AD|$. Točka $P$ pripada dužini $\overline{BC}$ te vrijedi $\measuredangle CAP = \measuredangle ABC$. Okomica iz točke $C$ na pravac $AB$ siječe pravac $BD$ u točki $Q$. Pravci $PQ$ i $AD$ sijeku se u točki $R$, a pravci $PQ$ i $CD$ u točki $T$.

Ako je $|AR| = |RQ|$, dokaži da su pravci $AT$ i $PQ$ međusobno okomiti.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Neka su $k_B$ i $k_C$ kružnice upisane trokutima $BDF$ i $CDE$, redom. Kružnica $k_B$ dodiruje dužinu $\overline{DF}$ u točki $M$, a kružnica $k_C$ dužinu $\overline{DE}$ u točki $N$. Pravac $MN$ siječe kružnicu $k_B$ u točkama $M$ i $P$, a kružnicu $k_C$ u točkama $N$ i $Q$.

Dokaži da je $|MP| = |NQ|$.

Dan je jednakostraničan trokut na čijoj se svakoj stranici označeno po $9$ točaka koje dijele tu stranicu na $10$ sukladnih dijelova. Te su točke spojene s ukupno $27$ dužina paralelnih stranicama trokuta. Na taj način trokut je podijeljen na $100$ malih jednakostraničnih trokuta. Područje između dvije susjedne paralelne dužine nazivamo prugom.

Koliko najviše malih trokuta možemo odabrati tako da unutar nijedne pruge ne budu dva odabrana trokuta?

Neka je $ABC$ trokut. Kružnica $k$ prolazi točkom $A$, siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$ i $E$ (različitim od $A$), a stranicu $\overline{BC}$ u točkama $F$ i $G$ i pritom je $F$ između $B$ i $G$. Tangenta opisane kružnice trokuta $BDF$ u točki $F$ i tangenta opisane kružnice trokuta $CEG$ u točki $G$ sijeku se u točki $T$, različitoj od $A$.

Dokaži da su pravci $AT$ i $BC$ međusobno paralelni.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| = |BC|$ i točka $D$ na stranici $\overline{AB}$ takva da je $|AD| < |BD|$. Točke $P$ i $Q$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$. Simetrala dužine $\overline{PQ}$ siječe $\overline{CP}$ u točki $E$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $PQC$ sijeku se u točkama $C$ i $F$.

Ako su točke $E$, $F$ i $Q$ kolinearne, dokaži da je $\measuredangle ACB$ pravi kut.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojem je $|AB| < |AC|$ te neka je kružnica $k$ sa središtem $O$ njegova opisana kružnica. Neka su $P$ i $Q$ točke redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ takve da je $AQPO$ paralelogram. Neka su $K$ i $L$ sjecišta simetrale dužine $\overline{OP}$ s kružnicom $k$, pri čemu je $K$ na kraćem luku $\widehat{AB}$. Neka je $M$ drugo sjecište pravca $KQ$ i kružnice $k$. Dokaži da točka $A$ pripada simetrali kuta $\measuredangle QLM$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| \neq |AC|$ i upisana kružnica dira stranice $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Okomica iz točke $D$ na pravac $EF$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $G$, a kružnice opisane trokutima $AEF$ i $ABC$ se sijeku u točkama $A$ i $T$.

Dokaži da su pravci $TG$ i $TF$ okomiti.

Neka je $ABC$ raznostraničan šiljastokutan trokut. Točka $N$ je polovište duljeg luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je $k$ kružnica promjera $\overline{BC}$.

Simetrala kuta $\measuredangle BAC$ siječe kružnicu $k$ u točkama $D$ i $E$, a $D_1$ i $E_1$ su točke takve da su $\overline{DD_1}$ i $\overline{EE_1}$ promjeri kružnice $k$.

Dokaži da polovište dužine $\overline{BC}$ pripada kružnici opisanoj trokutu $NE_1D_1$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|BC| : |AC| = 3 : 2$. Neka je $D$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $P$ polovište dužine $\overline{BD}$. Na pravcu $AC$ dana je točka $X$ tako da je $|AX| = |BC|$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$. Pravac $XP$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u $E$. Pravac $DE$ siječe pravac $AP$ u $Y$. Dokaži da točke $A, X, Y, E$ leže na jednoj kružnici ako i samo ako je $|AB| = |BC|$.

Neka je $T$ težište raznostraničnog trokuta $ABC$. Označimo sa $A_1, B_1, C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$, a sa $A_2, B_2, C_2$ polovišta dužina $\overline{AT}$, $\overline{BT}$ i $\overline{CT}$ redom. Dokaži da se kružnice opisane trokutima $A_1B_2C_2$, $A_2B_1C_2$ i $A_2B_2C_1$ sijeku u jednoj točki.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$ i neka je $D$ točka na dužini $\overline{AC}$ takva da vrijedi $|BC| = |CD|$. Označimo s $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AB$. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i neka je $r$ njen polumjer. Na pravcu $DN$ odabrana je točka $P$ tako da vrijedi $|PD| = r$, a $D$ se nalazi između $N$ i $P$. Neka je $Q$ drugo sjecište pravca $BD$ s kružnicom $k$. Okomica iz točke $A$ na pravac $CP$ i okomica iz točke $B$ na pravac $PQ$ sijeku se u točki $K$. Dokaži da je točka $K$ na kružnici $k$.

Neka je $ABC$ raznostranični šiljastokutni trokut u kojem je $|AB| > |BC|$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $X$. Na toj kružnici nalazi se točka $Y$ takva da je $CA$ simetrala kuta $\measuredangle YCB$. Neka je $D$ nožište okomice iz $B$ na $AY$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{XY}$ sijeku se u točki $E$, a dužine $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ u točki $K$. Ako je $T$ točka na stranici $\overline{AB}$ takva da je $TK$ simetrala kuta $\measuredangle ETD$, dokaži da je $TK$ okomito na $AB$.

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u kojem je $|BC| > |AC|$, te neka je $N$ nožište okomice iz točke $A$ na dužinu $\overline{CM}$. Neka je $P$ točka na pravcu $AN$ takva da je $PB$ okomito na $CB$.

Ako vrijedi $\measuredangle CPB = \measuredangle CBA$, dokaži da je $\measuredangle BAC = 90°$.

Neka je $I$ središte upisane kružnice, $O$ središte opisane kružnice te $H$ ortocentar trokuta $ABC$ u kojem je kut $\measuredangle CBA$ manji od kuta $\measuredangle ACB$. Upisana kružnica dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pretpostavimo da su pravci $AO$ i $HD$ paralelni. Neka se pravci $OD$ i $AH$ sijeku u točki $E$ i neka je $F$ polovište dužine $\overline{CI}$. Dokaži:

a) Pravci $OI$ i $BC$ su paralelni.

b) Točke $E$, $F$, $I$ i $O$ pripadaju istoj kružnici.

In a given right triangle $ABC$, the hypotenuse $BC$, of length $a$, is divided into $n$ equal parts ($n$ an odd integer). Let $\alpha$ be the acute angle subtending, from $A$, that segment which contains the midpoint of the hypotenuse. Let $h$ be the length of the altitude to the hypotenuse of the triangle. Prove: $$\tan\alpha=\frac{4nh}{(n^{2}-1)a}.$$

Construct triangle $ABC$, given $h_{a}, h_{b}$ (the altitudes from $A$ and $B$) and $m_{a}$, the median from vertex $A$.

Let $a, b, c$ be the sides of a triangle, and $T$ its area. Prove: $a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}T$. In what case does equality hold?

Consider triangle $P_1P_2P_3$ and a point $P$ within the triangle. Lines $P_1P, P_2P, P_3P$ intersect the opposite sides in points $Q_1, Q_2, Q_3$ respectively. Prove that, of the numbers $$\frac{P_1P}{PQ_1}, \frac{P_2P}{PQ_2}, \frac{P_3P}{PQ_3}$$ at least one is $\leq 2$ and at least one is $\geq 2$.

Construct triangle $ABC$ if $AC = b$, $AB = c$ and $\measuredangle AMB = \omega$, where $M$ is the midpoint of segment $BC$ and $\omega < 90°$. Prove that a solution exists if and only if $$b \tan \frac{\omega}{2} \leq c < b.$$ In what case does the equality hold?