Croatian School-Level Competitions

Izračunaj $$2 \cdot \frac{2027^{3} + 2025^{3}}{2^{2} + 2027 \cdot 2025} - 4052 \cdot \frac{2027^{3} - 2025^{3}}{4052^{2} - 2027 \cdot 2025}.$$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s katetama duljina $|AC| = 4$ i $|BC| = 3$. Neka je $D$ točka na hipotenuzi $\overline{AB}$ takva da trokuti $ADC$ i $BCD$ imaju jednake opsege. Koliko iznosi površina trokuta $BCD$?

Neka su $a, b, c$ i $d$ realni brojevi takvi da vrijedi $abcd \neq 0$ i da je $$a = b - c, \quad b = c - d, \quad c = d - a.$$

Odredi vrijednost izraza $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je broj $n^2 + 1$ djeljiv brojem $n + 13$.

Spremajući se za natjecanje iz matematike, Marta je u pet dana riješila ukupno $31$ zadatak. Svakog je dana riješila više zadataka nego prethodnog, a petog je dana riješila točno tri puta više zadataka nego prvog. Koliko je zadataka mogla riješiti četvrtog dana?

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2 = b(b + 7)$.

U svako polje tablice $5 \times 5$ upisan je po jedan cijeli broj pri čemu se u pojedinom retku ili stupcu isti broj nalazi najviše tri puta. Razlika bilo koja dva broja u istom retku ili stupcu iznosi najviše $2$. U tablici se nalazi broj $0$, ali ne i broj $4$. Odredi najveći mogući zbroj svih brojeva u tablici.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\frac{3 - 2\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 2} - 2} \geqslant \sqrt{x + 6}.$$

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

$$a^2 + b^2 = 10 \quad \text{i} \quad a^4 + b^4 = 82.$$

Odredite vrijednost izraza $\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3}$.

Dokažite da je broj $2030^{12} - 2020^{12}$ djeljiv s brojem $2025$.

Jedan kut pravokutnog trokuta $\Delta ABC$ iznosi $30^\circ$, a kraća kateta duljine je $3$ cm. U polovištu $S$ hipotenuze $\overline{AB}$ podignuta je okomica na hipotenuzu i njezino sjecište s duljom katetom označeno je s $D$. Odredite duljinu dužine $\overline{SD}$.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Koliko ima brojeva u skupu $S = \{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$, $5$ i $7$?

Lukin broj pratitelja na društvenoj mreži svake godine raste za $50$, dok Markov broj pratitelja raste za $20$. Trenutačno Luka ima tri puta više pratitelja nego što je Marko imao u trenutku kada je Lukin broj pratitelja bio jednak trenutačnom broju Markovih pratitelja. Pretpostavlja se da će Marku trebati $5$ godina da dostigne trenutačan broj Lukinih pratitelja. Koliko pratitelja Luka i Marko imaju trenutačno?

Koji je broj veći, $$A = 2022 \cdot (2024^2 - 2024 + 1) \quad \text{ili} \quad B = 2024^3 - 3 \cdot 2024^2 + 3 \cdot 2024?$$

Neka su $a, b, c, d$ međusobno različiti cijeli brojevi takvi da vrijedi $$(a - 2024)(b - 2024)(c - 2024)(d - 2024) = 9.$$ Odredi $a + b + c + d$.

Farmer Ivan na svojoj farmi ima kokoši, svinje i ovce. Njegove životinje imaju ukupno $46$ glava i $124$ noge. Kada bi udvostručio broj kokoši i utrostručio broj ovaca na farmi, uz isti broj svinja, ukupan broj nogu svih životinja na farmi bio bi $232$. Koliko bi u tom slučaju bilo glava?

Odredi najmanji prirodni broj kojem je zbroj znamenaka djeljiv sa $7$ te ima svojstvo da je zbroj znamenaka njegovog sljedbenika također djeljiv sa $7$.

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $P$ točka takva da je kut $\measuredangle ABP$ je pravi, da vrijedi $|BP| = |BC|$ te da su točke $P$ i $C$ su na suprotnim stranama pravca $AB$. Dokaži da je pravac $CP$ okomit na simetralu kuta $\measuredangle BAC$.

Dan je trokut $ABC$ površine $1$. Točka $D$ polovište je dužine $\overline{BC}$, točka $E$ polovište je dužine $\overline{AD}$, točka $F$ polovište je dužine $\overline{BE}$ te je točka $G$ polovište dužine $\overline{CF}$. Odredi površinu trokuta $EFG$.

Koliko ima peteroznamenkastih prirodnih brojeva kojima je umnožak znamenaka jednak $900$?

Otac Matko prije $10$ godina imao je pet puta više godina nego njegova dva sina Josip i Kristijan zajedno. Tada je Josip bio dvostruko stariji od Kristijana. S druge strane, za $14$ će godina Josip i Kristijan zajedno imati jednako godina kao i njihov otac. Koliko su sada stari Matko, Josip i Kristijan?

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$, $M$ polovište hipotenuze i $L$ sjecište simetrale pravog kuta s hipotenuzom. Ako mjera kuta $\measuredangle LCN$ iznosi $15°$, odredi mjeru kuta $\measuredangle MCL$.

Dokaži da je za sve prirodne brojeve $n$ broj $n^4 - n^2$ djeljiv s $12$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi različiti od nule za koje vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$$ Dokaži da je $abc < 0$.

Na ploči su napisana $2023$ različita realna broja. Ako svaki broj na ploči (istovremeno) zamijenimo zbrojem svih ostalih brojeva, na ploči će biti ista $2023$ broja kao i na početku. Koje sve vrijednosti može poprimiti umnožak svih brojeva na ploči u nekom trenutku?

Neka je $ABCDE$ konveksan peterokut kojemu su sve stranice sukladne, a kutovi pri vrhovima $C$ i $D$ pravi. Ako je $P$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$, dokaži da je $|PA| = |PD|$.

Neka su $1 = d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5 < d_6 = n$ svi prirodni djelitelji broja $n$ takvi da je $d_5 = 289$ i $d_3 - d_2 = 10$. Odredi $n$.

Dokaži da je broj $6^{2022} - 2^{2022}$ djeljiv s $2^{2025}$.

Tea je umijesila tijesto od tri sastojka: brašna, vode i jaja. Masa brašna u tijestu prema masi vode odnosi se kao $7:2$, dok se masa vode prema masi jaja odnosi kao $5:2$. Ukupna masa tijesta je $1470$ grama. Odredi mase svakog od sastojaka.

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi $a + b + c = 0$ i $abc = 4$. Odredi vrijednost izraza $a^3 + b^3 + c^3$.

Na stolu se nalazi hrpa s $1001$ kamenčićem. U svakom koraku Matko odabire neku hrpu koja sadrži više od tri kamenčića, uklanja jedan kamenčić i podijeli ostatak kamenčića na dvije (ne nužno jednake) hrpe. Može li Matko nizom ovakvih koraka postići da u svakoj hrpi budu točno tri kamenčića?

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ vrijedi $|AT| = |BC|$ i $\measuredangle BCT = 30°$. Odredi $|CT| : |AT|$.

Odredi sve parove $(m, n)$ prirodnih brojeva za koje je $m(m - 4n) = n - 4$.

Put koji povezuje mjesto $A$ s mjestom $B$ u prvom je dijelu ravan, a ostatak je nizbrdica. Biciklist je iz mjesta $A$ u mjesto $B$ stigao za $1$ sat i $15$ minuta. Pri povratku mu je trebalo pola sata više. Na ravnome dijelu ceste vozio je brzinom za $4$ km/h većom od brzine na uzbrdici. Vozeći nizbrdo dvostruko je brži nego kad ide uzbrdo i za $50\%$ brži nego na ravnom dijelu ceste. Kolika je udaljenost mjesta $A$ i $B$?

Točke $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$ povezane su dužinama kao na slici. Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ sijeku dužinu $\overline{DE}$ redom u točkama $F$ i $G$. Ako je $\measuredangle ABC = 20^{\circ}$ i ako je $\measuredangle DFA = \measuredangle CGE$, odredi $\measuredangle EAB + \measuredangle DEA$.

Svaki od trojice prijatelja popisao je svojih deset omiljenih računalnih igara. Na sva tri popisa zajedno našlo se $15$ različitih igara. Uspoređujući svoje popise uočili su da svaka dvojica imaju po $6$ istih igara na popisu. Koliko se igara nalazi na sva tri popisa?

Na ploči su napisani brojevi $1, 2, 3, \ldots, 2021$. Je li moguće brojeve brisati jednog po jednog sve dok na ploči ne ostane samo jedan broj, tako da nakon svakog brisanja zbroj svih preostalih brojeva bude složen broj?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s $3$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $2$, $4$, $6$ ni $9$?

U koordinatnom sustavu u ravnini dana su dva pravca koja se sijeku pod pravim kutom u točki $A(6, 8)$. Sjecišta $P$ i $Q$ tih pravaca s osi $y$ su simetrična u odnosu na ishodište. Odredi površinu trokuta $APQ$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.

Odredi zbroj svih znamenaka dekadskog zapisa broja $(10^{2020} + 2020)^2$.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $x + y = 1$ i $x^3 + y^3 = 13$. Koliko je $x^2 + y^2$?

Dino, Pino i Tino idu u isti vrtić. Za igru svaki dječak treba dvije kockice iste boje, ali nije nužno da kockice koje imaju različiti dječaci budu različite boje. Odgojiteljica u jednoj ladici ima crvene, plave i zelene kockice. Ako izvlači bez gledanja, koliko najmanje kockica treba izvući iz ladice da bi bila sigurna da će od tih kockica svaki dječak moći uzeti dvije istobojne kockice?

U posudi $A$ nalazi se četiri kilograma grickalica, od čega je $45\%$ kikiriki. U posudi $B$ nalazi se pet kilograma grickalica, od čega je $48\%$ kikiriki. U posudi $C$ se nalazi jedan kilogram grickalica. Iz te posude se određeni dio prebaci u posudu $A$, a ostatak u posudu $B$, i to tako da je udio kikirikija u oba dijela jednak i iznosi $k\%$. Nakon toga je i u posudi $A$ i u posudi $B$ točno $50\%$ kikirikija. Odredi $k$.

Neka je $ABCDE$ pravilni peterokut i neka je $F$ točka unutar njega takva da je trokut $ABF$ jednakostraničan. Odredi kutove trokuta $DEF$.

Na dvije nasuprotne strane kocke dimenzija $1 \times 1 \times 1$ nalazi se po jedna točka, na druge dvije nasuprotne strane po dvije točke, a na preostale dvije strane po tri točke. Od osam takvih identičnih kocki napravljena je kocka dimenzija $2 \times 2 \times 2$. Matija je izbrojio ukupan broj točaka na svakoj od strana te kocke i zaključio "dobili smo šest uzastopnih prirodnih brojeva". Je li Matija u pravu? Obrazloži odgovor.

Duljine kateta pravokutnog trokuta su $a$ i $b$, a duljina njegove hipotenuze je $c$. Ako su sve tri duljine prirodni brojevi, te $a$ k tome neparan prost broj, dokaži da je broj $2(a + b + 1)$ kvadrat nekog prirodnog broja.