Croatian School-Level Competitions

Lukas je odlučio napraviti snjegovića od tri kugle čiji su polumjeri $30$ cm, $26$ cm i $18$ cm. Dvije veće kugle prerezao je tako da oba presjeka budu krugovi polumjera $24$ cm, te je odbacio manje dijelove, a veće dijelove stavio jedan na drugi, spajajući ih duž tog kruga. Na kraju je na vrh položio najmanju kuglu. Kolika je ukupna visina Lukasovog snjegovića?

Za realne brojeve $a$, $b$, $c$, $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_b a \cdot \log_d c = 1$. Odredi vrijednost izraza $$\frac{a^{\log_b c} \cdot b^{\log_c d} \cdot c^{\log_d a} \cdot d^{\log_a b}}{abcd}.$$

Polja pravokutne ploče s $2026$ redaka i $100$ stupaca obojena su naizmjence crno i bijelo, kao na šahovskoj ploči. Skakavac koji se nalazi na nekom polju ploče može skočiti na bilo koje polje iste boje u istom retku, ili bilo koje polje različite boje u istom stupcu. Koliko se najviše skakavaca može rasporediti na toj ploči tako da niti jedan skakavac ne može skočiti na polje na kojem se već nalazi neki drugi skakavac?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako vrijedi $|\measuredangle ACB| = 2|\measuredangle BAC|$ i $|AI| = |BC|$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$\frac{(2 + \sqrt{2})^n - (2 - \sqrt{2})^n}{\sqrt{2}}$$ također prirodan.

Mjera šiljastog kuta jednakokračnog trapeza iznosi $75^\circ$, a duljine osnovica odnose se kao $2 : 1$. Ako je duljina kraka tog trapeza $5$, kolika mu je površina?

Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da je $a_1 = 1$ i $a_{n+1}^2 + a_{n+1} = a_n$ za sve $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je $a_n \geqslant \frac{1}{n}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Dan je valjak s visinom duljine $10$ cm. Na obodima njegovih osnovki su točke $A$ i $B$ takve da je $\overline{AB}$ paralelno s osi valjka. Spojimo li točke $A$ i $B$ najkraćom linijom koja jednom obilazi oko valjka po plaštu, njezina će duljina biti $15$ cm. Kolika je duljina najkraće linije koja dva puta obilazi oko valjka i spaja točke $A$ i $B$?

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Može li se broj

$$\sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2025}$$

zapisati u obliku $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ za neke prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$?

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredite sve moguće vrijednosti prostog broja $p \geq 5$ za koje postoji barem jedan par prirodnih brojeva $(x, y)$ koji je rješenje jednadžbe

$$\frac{16}{x} + \frac{25}{y} = p.$$

Odredi sva realna rješenja nejednadžbe $$\log_9 x^2 - \log_3 (x + 8) \leqslant \log_{\frac{1}{3}} (x - 3) - 1.$$

Ako je $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x + 1}{\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x + 2} = \frac{4}{9}$, odredi $\sin x \cos x$.

Dan je trokut $ABC$ površine $5$. Ako za duljine stranica tog trokuta vrijedi jednakost $|AB|^2 + |AC|^2 = 17 + |BC|^2$, odredi tangens kuta $\measuredangle CAB$.

Na školskom natjecanju iz matematike sudjelovalo je $1200$ učenika. Broj bodova koje učenik može ostvariti je cijeli broj između $0$ i $50$. Računalnom greškom svim je učenicima koji su ostvarili $3$ ili manje bodova zapisan rezultat $0$ bodova, a svim učenicima koji su ostvarili $47$ ili više bodova zapisano je $50$ bodova. Zbog te greške, prosječni rezultat na natjecanju prema podacima u računalu veći je za $0.1$ od stvarnog.

Dokaži da postoje brojevi $a$ i $b$ takvi da se broj učenika koji su ostvarili točno $a$ bodova i broj učenika koji su ostvarili točno $b$ bodova razlikuje za barem $20$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je vrijednost izraza $$\frac{n^2 - 22 + \log_2 n}{n - 5}$$ cijeli broj.

Kružnice $k_1$, $k_2$ i $k_3$ sa središtima $S_1$, $S_2$, $S_3$ i polumjerima duljina $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, $r_3 = 3$, redom, međusobno se dodiruju izvana tako da je $A$ diralište kružnica $k_1$ i $k_2$, $B$ diralište kružnica $k_2$ i $k_3$ te $C$ diralište kružnica $k_3$ i $k_1$. Odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi proste brojeve $p, q, r$ i prirodni broj $n$ za koje vrijedi $$p^2 = q^2 + r^n.$$ Nađi sva rješenja.

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Odredi najmanji prirodan broj koji se može prikazati u obliku $50a^4$ i u obliku $3b^3$ za neke prirodne brojeve $a$ i $b$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje postoji realan broj $y$ takav da je $$\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)} = 4 \sin(x + y) \cos(x - y).$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$\log_{2023 - 2(a + b)} b = \frac{1}{3 \log_b a}?$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Dokaži da vrijedi $$|AH|^2 + |BC|^2 = |BH|^2 + |CA|^2 = |CH|^2 + |AB|^2.$$

Na početku je zadan prirodan broj $n$. Jurica odabire dva prirodna broja $a$ i $b$ čiji je umnožak broj $n$, a zatim ponavlja postupak s brojem $a + b$ umjesto $n$.

Odredi, u ovisnosti o broju $n$, najmanji mogući prirodan broj koji Jurica može dobiti kao rezultat nakon konačno mnogo koraka.

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da vrijedi $|AB| = 4$, $|AD| = 3$, te je mjera kuta pri vrhu $A$ jednaka $60°$. Kružnica $k_1$ dira stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ dok kružnica $k_2$ dira stranice $\overline{CB}$ i $\overline{CD}$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ su sukladne i dodiruju se izvana. Odredi duljinu polumjera tih kružnica.

Ako je $\cos x + \sin x = 0.3$, odredi $\cos^3 x + \sin^3 x$.

Odredi realne brojeve $a$ i $b$ tako da skup vrijednosti funkcije $f(x) = 2022^{-2(x-2a)(x+a)} + 1$ bude interval $\langle b, 2023]$.

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

Za koliko je prirodnih brojeva $n$ vrijednost razlomka $$\frac{n + 2022}{n - 3}$$ cijeli broj?

Kocka $ABCDA'B'C'D'$ stranice duljine $1$ presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $\overline{AD}$ takva da je $|AS| = \sqrt{3} - 1$. Sfera prolazi točkama $C$ i $D'$, te siječe bridove $\overline{AB}$ i $\overline{AA'}$.

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica trokuta nasuprot kutova veličina $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Ako vrijedi $9a^2 + 9b^2 = 19c^2$, odredi $\dfrac{\mathrm{ctg}\,\gamma}{\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\beta}$.

Na koliko načina se u tablicu $3 \times 3$ mogu upisati brojevi od $1$ do $9$ tako da zbrojevi brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali budu djeljivi s $3$?

Ako je $2\sin x - 3\cos y = a$ i $2\cos x + 3\sin y = b$, koliko je $\sin(x - y)$?

Ako za pozitivne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi $$4^{x+y} = z, \quad z^{1/x} \cdot z^{1/y} = 1024,$$ odredi vrijednost izraza $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.

Sve točke prostora čija udaljenost od dužine $\overline{AB}$ iznosi najviše $3$ čine tijelo obujma $216\pi$. Odredi duljinu dužine $\overline{AB}$.

Polja ploče dimenzija $300 \times 300$ iste su veličine kao i $14$ kvadratića od kojih se sastoji lik prikazan na slici. Koliko je najviše takvih likova moguće postaviti na tu ploču bez preklapanja? Likove se može rotirati i prevrtati.

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih sa $7$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $1$, $2$ ni $7$?

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^b - b^a + 2^a = 17a^4 - 2b^2 + 52.$$

Odredi najmanju i najveću vrijednost koju izraz $\sin^2 x \cos 2x$ postiže za $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Koliko ima četveroznamenkastih prirodnih brojeva u čijem su zapisu točno dvije različite znamenke od kojih se svaka pojavljuje dvaput?

Trapezu s krakovima duljina $4$ i $5$ može se upisati kružnica, a zbroj veličina kutova uz dulju osnovicu iznosi $120°$. Izračunaj površinu tog trapeza.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe

$$\log_2 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_8 x + \cdots + \log_{2^{2019}} x \cdot \log_{2^{2020}} x = \frac{2019}{2020}.$$

Za prirodni broj $n \geqslant 2$ neka je $D(n)$ najveći prirodni djelitelj broja $n$ različit od $n$. Na primjer, $D(12) = 6$ i $D(13) = 1$.

Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da je $D(n) = 35$.

Posuda oblika uspravnog stošca sadrži određenu količinu vode. Kada je stožac postavljen osnovkom na ravnu površinu vrhom prema gore, razina vode je $8$ cm ispod vrha stošca. Ako stožac preokrenemo, razina vode je $2$ cm ispod osnovke stošca.

Kolika je visina posude?

Dani su prosti brojevi $p$, $q$, $r$ i $s$ takvi da je $5 < p < q < r < s < p + 10$.

Dokaži da je zbroj tih četiriju brojeva djeljiv sa $60$.