Croatian County-Level Competitions 2020

U ovisnosti o realnom parametru $m$ odredi za koje realne brojeve $x$ vrijedi

$$\frac{x - m}{x^2} + x \geqslant 2 \left(1 - \frac{m}{x}\right) + m.$$

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a \leqslant b \leqslant c$ i

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{abc}.$$

Neka su $x$, $y$ i $z$ različiti realni brojevi od kojih nijedan nije jednak nuli, takvi da vrijedi

$$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}.$$

Odredi vrijednost izraza $x^2 y^2 z^2$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Koliko najmanje brojeva treba ukloniti iz skupa $\{1,2,3,\ldots,2020\}$ tako da nastali skup ne sadrži umnožak svojih dvaju različitih elemenata?

Odredi sve uređene trojke $(x,y,z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$x ^ {2} + y ^ {2} = 5, \qquad x z + y = 7, \qquad y z - x = 1.$$

Odredi sve uređene parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takve da je $V(a,b) - D(a,b) = \dfrac{ab}{5}$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$3 \sqrt [ 3 ]{(14 - x) ^ {2}} - 2 \sqrt [ 3 ]{(14 + x) ^ {2}} = 5 \sqrt [ 3 ]{x ^ {2} - 196}.$$

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$, a $P$ polovište stranice $\overline{AC}$. Pravac kroz točku $T$ paralelan s pravcem $BC$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $E$.

Dokaži da jednakost $\measuredangle AEC = \measuredangle PTC$ vrijedi ako i samo ako vrijedi $\measuredangle ACB = 90^{\circ}$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Na koliko se načina u polja ploče dimenzija $2 \times n$ mogu upisati brojevi $1,2,\ldots,2n$ tako da uzastopni brojevi budu u poljima sa zajedničkom stranicom?

Duljina jedne stranice trokuta jednaka je aritmetičkoj sredini duljina drugih dviju stranica. Dokaži da mjera srednjeg (po veličini) kuta tog trokuta nije veća od $60^{\circ}$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

U trokutu $ABC$, kut u vrhu $C$ je tupi, a točka $D$ je nožište visine iz vrha $C$. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na dužini $\overline{AB}$ i vrijedi $\measuredangle PCB = \measuredangle ACQ = 90^{\circ}$. Dokaži da je

$$| A P | \cdot | D Q | = | P D | \cdot | Q B |.$$

Odredi sve uređene parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje je $(a + b^{2})(a^{2} + b)$ potencija broja $2$.

Baza piramide je pravilni $n$-terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant 4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.

Za $n \in \mathbb{N}$ definiramo kompleksan broj

$$a_n = (1 + i) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\right) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{3}}\right) \cdots \left(1 + \frac{i}{\sqrt{n}}\right).$$

Izračunaj

$$\left| a_1 - a_2 \right| + \left| a_2 - a_3 \right| + \cdots + \left| a_{2019} - a_{2020} \right|.$$

Skup svih točaka $(x, y)$ za koje vrijedi $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ dijeli ravninu na nekoliko dijelova od kojih je samo jedan omeden. Odredi površinu tog dijela ravnine.

Na kocki stranice duljine $1$ istaknuta je mreža koja se sastoji od $14$ točaka i $36$ dužina. Točke su vrhovi kocke i središta njezinih strana. Dužine su svi bridovi kocke i još po četiri dužine na svakoj strani kocke koje spajaju središte te strane s njezinim vrhovima.

Kolika je duljina najkraćeg puta po toj mreži koji prolazi kroz svih $14$ točaka?

Dani su cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$. Dokaži da je broj parova $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $x^2 + ax + b = y^2 + cy + d$ beskonačan ako i samo ako je $a^2 - 4b = c^2 - 4d$.

U prostoriji se nalazi $n$ kutija visina $1, 2, 3, \ldots, n$ koje treba nekim poretkom smjestiti uz zid. Mačak Fiko može skočiti s jedne kutije na sljedeću ako je sljedeća kutija niža (nije bitno koliko) od one na kojoj se nalazi ili je za najviše $1$ viša od one na kojoj se trenutno nalazi. Na koliko načina se kutije mogu poredati tako da Fiko može krenuti s prve kutije u nizu i skočiti redom na svaku iduću kutiju?