Croatian County-Level Competitions 2018

Marko je nacrtao pravokutnik s dvije plave stranice duljine $24$ i dvije crvene stranice duljine $36$. Svaku točku unutar pravokutnika je obojio bojom stranice koja je najbliža toj točki. Točke koje su jednako udaljene od plave i crvene stranice je obojio crno. Odredi površinu crvenog dijela pravokutnika.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je

$$n^2 - 6n = m^2 + m - 10.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti pozitivni realni brojevi takvi da je $(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \neq 0$. Dokaži da barem jedan od brojeva

$$\frac{a + b}{a + b - c}, \quad \frac{b + c}{b + c - a}, \quad \frac{c + a}{c + a - b}$$

pripada intervalu $\langle 1,2\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{CD}$. Pravci $BM$ i $AC$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|CE|: |AC|$.

Dano je $599$ žutih i $301$ plava kuglica. Može li se te kuglice poredati u niz tako da je broj kuglica između bilo koje dvije plave kuglice različit od $2$ i od $5$?

Neka je $z$ kompleksni broj za koji vrijedi

$$|z - 5| = |z - 1| + 4.$$

Dokaži da je $z$ realni broj.

Kvadrat $ABCD$ ima stranicu duljine 1. Neka je točka $X$ na stranici $\overline{AB}$, a točka $Y$ na stranici $\overline{AD}$ tako da je $\measuredangle CXY = 90°$. Odredi položaj točke $X$ za koji je površina trokuta $CDY$ najmanja moguća.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje kvadratna jednadžba

$$x^2 - 3nx + n + 3 = 0$$

ima cjelobrojna rješenja.

Dane su dvije kružnice koja se ne sijeku, polumjera $r_1$ i $r_2$. Udaljenost dirališta zajedničke unutarnje tangente na te kružnice iznosi $12$, a udaljenost dirališta zajedničke vanjske tangente na te kružnice iznosi $16$. Odredi umnožak $r_1r_2$.

Unutarnja tangenta (je ona zajednička tangenta koja) siječe dužinu koja spaja središta kružnica.

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj. Dokaži da među bilo kojih $n$ brojeva iz skupa

$$\{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$$

postoji nekoliko brojeva čiji je zbroj djeljiv s $2n$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takvih da je $x,y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ za koje vrijedi

$$\frac{2 \sin^2 x + 2}{\sin x + 1} = 3 + \cos (x + y).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{3} ab, \quad a^2 - b^2 + c^2 = \sqrt{2} ac.$$

Odredi omjer $b : c$.

Odredi sve prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva i u čijem su dekadskom zapisu dvije znamenke različite od $0$, a jedna od te dvije je $3$.

U četverokutu $ABCD$ je $\measuredangle DBC = \measuredangle DCB = 50°$ i $\measuredangle DAB = \measuredangle ABC = \measuredangle BDC$. Dokaži da je $AC \perp BD$.

Neka je $n$ prirodni broj. Niz od $2n$ realnih brojeva je dobar ako za svaki prirodni broj $1 \leqslant m \leqslant 2n$ vrijedi da je zbroj prvih $m$ ili zbroj zadnjih $m$ članova niza cijeli broj. Odredi najmanji mogući broj cijelih brojeva u dobrom nizu.

Prirodni broj zovemo babilonskim ako je veći od $9$ i ako je njegov zapis u sustavu s bazom $60$ jednak njegovom dekadskom zapisu bez vodeće znamenke. Npr. broj $123$ je babilonski jer je $123 = (23)_{60}$. Koliko ima babilonskih brojeva manjih od $10\,000$?

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3n + 1} > 1.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut takav da je $|BC| > |AC|$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $P$, a pravac $AC$ u točki $Q$. Točka $R$ je nožište okomice iz točke $P$ na stranicu $\overline{AC}$, a točka $S$ je nožište okomice iz točke $Q$ na pravac $BC$.

Dokaži da pravac $RS$ raspolavlja dužinu $\overline{AB}$.

Ploča $P$ je dobivena uklanjanjem tri polja u kutovima ploče $7 \times 7$. U svako od $46$ polja ploče $P$ upisan je neki prirodni broj. Razlika brojeva u bilo koja dva polja koja imaju zajedničku stranicu je najviše $4$. Dokaži da su u neka dva polja upisani isti brojevi.

Neka je $d$ prirodni broj te $(a_n)$ aritmetički niz prirodnih brojeva s razlikom $d$. Ako je $d \leqslant 2018$, dokaži da najviše $11$ uzastopnih članova niza $(a_n)$ mogu biti prosti brojevi.