Croatian County-Level Competitions 2021

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$m(m - n)^2(m + n) = m^4 + mn^3 - 99n.$$

Izabela je sedam dana zaredom rješavala po jedan matematički test. Na svakom je testu ostvarila različit broj bodova – najmanje 91, a najviše 100. Nakon svakog testa prosjek njenih dotadašnjih rezultata bio je prirodan broj, a na sedmom testu je ostvarila 95 bodova.

Koliko je ukupno bodova Izabela ostvarila na svih sedam testova? Koliko je bodova ostvarila na šestom testu?

Za realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{30}$ vrijedi

$$20^3 x_1 + 21^3 x_2 + \cdots + 49^3 x_{30} = 13,$$

$$21^3 x_1 + 22^3 x_2 + \cdots + 50^3 x_{30} = 1,$$

$$22^3 x_1 + 23^3 x_2 + \cdots + 51^3 x_{30} = 19.$$

Koliko iznosi $21x_1 + 22x_2 + \cdots + 50x_{30}$?

Točka $M$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $N$ na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ odabrane su tako da vrijedi $\measuredangle BAM = \measuredangle MAC = \measuredangle NCB$. Dokaži da je

$$|AM|^2 = |AC| \cdot |AN| + |MC|^2.$$

Svakom od $12$ bridova kocke Martin pridružuje po jedan od brojeva $1$ ili $-1$. Zatim svakoj od šest strana te kocke pridružuje umnožak $4$ broja na bridovima te strane. Na kraju Martin zbraja svih $18$ brojeva pridruženih bridovima i stranama kocke.

Koliki je najmanji zbroj koji Martin može postići?

Odredi sve parove realnih brojeva $(a, b)$ koji zadovoljavaju sustav:

$$a^2 + b^2 = 25,$$

$$3(a + b) - ab = 15.$$

Odredi sve trojke prostih brojeva čiji je zbroj kvadrata umanjen za $1$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Dane su dvije kvadratne funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$.

Funkcija $f_1(x)$ postiže najmanju vrijednost za $x = -1$, a jedna nultočka joj je $x = 3$. Funkcija $f_2(x)$ postiže najveću vrijednost za $x = 3$, a jedna nultočka joj je $x = -1$.

Odredi sve vrijednosti $x$ za koje umnožak $f_1(x)f_2(x)$ postiže najveću vrijednost.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $D$ točka na luku $\widehat{CA}$ tom trokutu opisane kružnice koji ne sadrži točku $B$. Neka je $E$ točka takva da je $D$ polovište dužine $\overline{AE}$. Ako je $\measuredangle ECA = 90°$ i $\measuredangle IEC = 40°$, odredi $\measuredangle BAC$.

Neka je $n$ prirodni broj. Ako pravilan $n$-terokut podijelimo na $n-2$ trokuta povlačenjem $n-3$ dijagonala koje nemaju zajedničkih unutarnjih točaka kažemo da smo dobili triangulaciju. Triangulacija $n$-terokuta kojem su neki od vrhova crveni je dobra ako svaki od tih $n-2$ trokuta ima barem dva crvena vrha.

Odredi najmanji prirodni broj $k$, u ovisnosti o $n$, takav da možemo obojiti $k$ vrhova pravilnog $n$-terokuta crveno tako da postoji barem jedna dobra triangulacija.

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$(4^x + 1)(9^y + 1) + 70 = 10(2^x + 1)(3^y + 1).$$

Središte $I$ upisane kružnice i središte $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ su osnosimetrične točke u odnosu na pravac $AB$. Točka $D$ je drugo sjecište pravca $AO$ i opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da vrijedi $|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AO|$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $2^m - 63$ kub nekog cijelog broja.

U nekom arhipelagu je $n$ otoka među kojima prometuju dvosmjerne brodske i avionske linije. Između svaka dva otoka postoji točno jedna direktna linija – ili brodka, ili avionska. Kažemo da je arhipelag uredno povezan ako svako kružno turističko putovanje koje počinje i završava na istom otoku koristi paran broj avionskih linija.

Za koje prirodne brojeve $n$ svaki uredno povezan arhipelag s $n$ otoka ima paran broj avionskih linija?

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $m! + 8$ potencija nekog prostog broja.

Neka je $w = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3})$. Odredi najveći broj $n \in \mathbb{N}_0$ za koji postoje kompleksni brojevi $a, b, c$ tako da za svaki $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ vrijedi

$$a + b w^{k} + c w^{2k} = k.$$

Za tako određeni $n$ nađi sve trojke $(a,b,c)$ koje zadovoljavaju gornje jednakosti.

Neka su $x, y$ i $z$ realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 1$. Neka je

$$S = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}.$$

a) Ako su $x, y$ i $z$ pozitivni brojevi, dokaži da je $S < 1$.

b) Dokaži da je $S < 1$ ako i samo ako su brojevi $x, y$ i $z$ istog predznaka.

U nogometnom klubu je $n$ igrača koji imaju dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$. Na kraju sezone igrač s brojem 1 završava karijeru. Uprava bira jednog od ostalih igrača kojeg prodaje nekom drugom klubu, dok svih preostalih $n - 2$ igrača dobiva dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$.

Na koliko načina uprava može odabrati igrača za prodaju i preostalima dati brojeve tako da nijedan igrač nema veći broj od onog koji je imao ove sezone?

Neka je $ABC$ trokut i $O$ središte njegove opisane kružnice. Pravac $p$ okomit je na simetralu kuta $\measuredangle BAC$, prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$ te polovištem dužine $\overline{AO}$. Odredi veličinu kuta $\measuredangle BAC$.