Croatian County-Level Competitions 2017

Izračunaj zbroj $$\frac{1}{2\sqrt{1} + 1\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}.$$

Gargamel je uhvatio $N$ Štrumpfova i raspodijelio ih u tri vreće. Kad je Papu Štrumpfa iz prve vreće premjestio u drugu, Mrguda iz druge u treću, a Štrumpfetu iz treće u prvu, prosječna visina Štrumpfova u prvoj vreći se smanjila za $8$ milimetara, a prosječne visine Štrumpfova u drugoj i trećoj vreći su se povećale redom za $5$ milimetara i $8$ milimetara. Ako je u prvoj vreći bilo devet Štrumpfova, odredi $N$.

Odredi sve troznamenkaste prirodne brojeve $n$ za koje brojevi $n$ i $n^2$ imaju jednake zadnje tri znamenke.

Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $\measuredangle BMA = \measuredangle NMC = 60°$. Odredi kut $\measuredangle MAN$.

Karlo i Lovro igraju sljedeću igru. Karlo će razrezati papir dimenzija $9 \times 9$ na pravokutnike cjelobrojnih dimenzija kojima je barem jedna dimenzija $1$. Nakon toga će Lovro odabrati prirodni broj $k \in \{1, \ldots, 9\}$ i Karlo će mu dati onoliko novčića koliko iznosi ukupna površina svih pravokutnika dimenzija $1 \times k$ i $k \times 1$. Lovro će odabrati $k$ tako da od Karla dobije što više novčića, a Karlo bi želio uštedjeti i pritom dati Lovri što manje novčića.

Odredi najmanji mogući broj novčića koje će Karlo dati Lovri.

Neka je $p$ prost broj. Odredi sve parove $(a, b)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$p(a - 2) = a(b - 1).$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je omjer imaginarnog dijela pete potencije broja $z$ i pete potencije imaginarnog dijela broja $z$ najmanji mogući.

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ pozitivnih realnih brojeva koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} 3\lfloor x \rfloor - \{y\} + \{z\} &= 20.3 \\ 3\lfloor y \rfloor + 5\lfloor z \rfloor - \{x\} &= 15.1 \\ \{y\} + \{z\} &= 0.9. \end{aligned}$$

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$, a $\{t\}$ njegov decimalni dio, tj. $\{t\} = t - \lfloor t \rfloor$. Npr. ako je $t = 15.1$, onda je $\lfloor t \rfloor = 15$ i $\{t\} = 0.1$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AC| > |AB|$, a točka $O$ je središte opisane kružnice. Simetrala kuta $\measuredangle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pravac okomit na pravac $AD$ koji prolazi kroz točku $B$ siječe pravac $AO$ u točki $E$.

Dokaži da točke $A$, $B$, $D$ i $E$ leže na istoj kružnici.

Koliko najviše elemenata može imati podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,2017\}$ tako da za svaka dva elementa $a$ i $b$ tog podskupa broj $a + b$ nije djeljiv brojem $a - b$?

U trokutu $ABC$ simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Neka su $a$ i $b$ redom duljine stranica $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$, redom. Ako vrijedi $|CD| = \dfrac{ab}{a + b}$, odredi $\measuredangle ACB$.

Postoji li prirodni broj $m$ takav da $7$ dijeli $2^{m^2} - 4$?

Izračunaj umnožak $(1 + \tan 1°)(1 + \tan 2°)\ldots (1 + \tan 45°)$.

Dan je tetraedar kojem je jedan brid duljine $3$, a svi ostali duljine $2$. Odredi obujam tog tetraedra.

Koliko najviše cijelih brojeva može sadržavati konačni skup $S$ takav da među svaka tri elementa skupa $S$ postoje dva različita broja čiji zbroj je također u $S$?

U prostoriji se nalazi sedam osoba. Četiri od njih poznaju točno po jednu osobu, a preostale tri osobe poznaju točno po dvije osobe. Sva poznanstva su uzajamna.

Kolika je vjerojatnost da se dvije slučajno odabrane osobe međusobno ne poznaju?

Koliko ima prirodnih brojeva $c \leqslant 1\,000\,000$ koji se mogu prikazati u obliku $$c = a^2 + 3b^2 - 4ab$$ za neke cijele brojeve $a$ i $b$ različite od $0$?

Dan je niz pozitivnih realnih brojeva $a_0, a_1, a_2, \ldots$ takvih da vrijedi $$a_1 = 1 - a_0, \quad a_{n+1} = 1 - a_n(1 - a_n) \text{ za } n \geqslant 1.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi $$a_0a_1 \cdots a_n\left(\frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) = 1.$$

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$. Tangente u točkama $A$ i $B$ na kružnicu opisanu tom trokutu sijeku se u točki $M$. Paralela sa stranicom $\overline{BC}$ kroz točku $M$ siječe stranicu $\overline{CA}$ u točki $N$. Dokaži da je $|BN| = |CN|$.

Na kružnici je označeno $3000$ točaka. U jednoj od tih točaka nalazi se skakavac. Skakavac svakim skokom preskače jednu ili dvije označene točke u smjeru kazaljke na satu i staje na sljedeću označenu točku. Odredi koliko je najmanje skokova skakavac napravio ako je na svaku označenu točku stao barem jednom i vratio se u točku iz koje je krenuo.