Neka je $D$ točka unutar trokuta $ABC$ i neka je $E$ točka na dužini $\overline{AD}$ različita od $A$ i $D$. Opisane kružnice trokuta $BDE$ i $CDE$ sijeku stranicu $\overline{BC}$ redom u točkama $F$ i $G$. Neka je $X$ sjecište pravaca $DG$ i $AB$, a $Y$ sjecište pravaca $DF$ i $AC$.

Dokaži da su pravci $XY$ i $BC$ paralelni.

Za različite prirodne brojeve $m$ i $n$ kažemo da su prijatelji ako postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji nisu djeljivi sa 101 takvi da je $$\frac{(m!)^n}{(n!)^m} = \frac{a}{b}.$$

Postoji li prosti broj koji ima točno 12 prijatelja?

Neka je $$A = \frac{\sin 1°}{\cos 0° \cos 1°} + \frac{\sin 5°}{\cos 2° \cos 3°} + \cdots + \frac{\sin 177°}{\cos 88° \cos 89°}$$ i $$B = \operatorname{tg} 91° + \operatorname{tg} 92° + \cdots + \operatorname{tg} 179° + \operatorname{tg} 180°.$$ Izračunaj $A + B$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\left(2 + \sqrt{5}\right)^{x^2 - 4x + 2} + \left(\sqrt{5} - 2\right)^{x^2 - 4x + 2} = 18.$$

Postoje li prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da su $$\log_a (bc + 1), \quad \log_b (ca + 1) \quad \mathrm{i} \quad \log_c (ab + 1)$$ također prirodni brojevi?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|BC| < |CA|$. Središte njegove upisane kružnice je točka $I$, a $k$ mu je opisana kružnica. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta kraćih lukova nad tetivama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ kružnice $k$. Pravac kroz $C$ paralelan s $MN$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $P$. Pravac $PI$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $T$. Dokaži da vrijedi $$|MP| \cdot |MT| = |NP| \cdot |NT|.$$

Na pravcu $p$ označeno je 2026 točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal{T}$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$.

Josip može brisati točke skupa $\mathcal{T}$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal{T}$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova.

Odredi broj Josipovih točaka.

Koristeći niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definirana su dva nova niza, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ i $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tako da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $$b_n = a_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad c_n = a_{n+2} - a_{n+1}.$$

Ako je niz $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ aritmetički, dokaži da je $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ geometrijski niz.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x) - y^2) = yf(x^2).$$

Za prirodan broj $n$ neka je $T(n)$ broj uređenih trojki prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ čiji je opseg jednak $n$.

a) Dokaži da je $T(2024) = T(2021)$.

b) Dokaži da je $T(2023) > T(2020)$.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojemu je $|AB| > |AC|$, točka $I$ središte njemu upisane kružnice, a $P$ polovište dužine $\overline{BC}$. Neka je $K$ polovište luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$ koji sadrži točku $A$. Dokaži da vrijedi $\measuredangle BIP + \measuredangle CIK = 180°$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Dokaži da je broj $$102^{102} - 100^{100}$$ djeljiv sa $101^2$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x)) + f(y) = 2y + f(x - y).$$

Neka je $n$ prirodan broj. Za prirodni broj $m$, neka $f_{m}(n)$ označava broj djelitelja broja $n^{m+1}$ koji su veći od $n^m$. Dokaži da postoji prirodni broj $K$ takav da za svaki $m \geqslant K$ vrijedi $f_{m}(n) = f_{m+1}(n)$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ sa stranicama duljina $|AB| = |AC| = 5$ te $|BC| = 6$. Točka $D$ odabrana je na stranici $\overline{AC}$, a točka $P$ na dužini $\overline{BD}$ tako da je $\measuredangle CPA = 90^\circ$. Ako je $\measuredangle PBA = \measuredangle PCB$, odredi omjer $$\frac{|AD|}{|DC|}.$$

Dana je ploča dimenzija $9 \times 9$ čija su sva polja bijela. Odredi najveći broj polja koja je moguće obojiti u crveno tako da svaki dio ploče dimenzija $2 \times 2$ sadržava najviše dva crvena polja.

Neka je $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ nekonstantan aritmetički niz realnih brojeva takav da postoji prirodni broj $r$ za koji je $$a_{r+1} + a_{r+2} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{3r+2}.$$ Dokaži da niti jedan član tog niza nije jednak 0.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$. Kružnica sa središtem u $C$ polumjera $|CD|$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $E$ i $F$. Pravac $EF$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $P$. Dokaži da je $P$ polovište dužine $\overline{CD}$.

Za uređenu trojku prirodnih brojeva $(a, b, c)$ kažemo da je morska ako su $a$, $b$ i $c$ međusobno različiti, te je broj $ac$ djeljiv brojevima $a + b$ i $b + c$. Dokaži da

a) za svaki prirodni broj $d > 1$ postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = d$.

b) ne postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = 1$.

Napomena. $M(a, b, c)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $a$, $b$ i $c$.

Odredi koliko ima polinoma s realnim koeficijentima $f(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \ldots + a_1x + a_0$ takvih da je $f(2026) = 0$ i da postoji polinom $g(x)$ s realnim koeficijentima takav da jednakost $$(f(x + 1) - f(x)) \cdot g(x) = f(x)$$ vrijedi za svaki realan broj $x$.

Za arhipelag od 2026 otoka kažemo da je dobro povezan ako među svakih pet različitih otoka, postoje tri takva da između svaka dva od njih postoji dvosmjerna brodska linija. Odredi najveći prirodni broj $N$ takav da u svakom dobro povezanom arhipelagu postoji niz od barem $N$ različitih otoka takav da su svaka dva uzastopna, te prvi i posljednji otok u nizu povezani brodskom linijom.