Croatian County-Level Competitions 2024

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB| = 2\,\mathrm{m}$ i $|BC| = 1\,\mathrm{m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Ako za realne brojeve $a, b, c$ vrijedi $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3$, dokaži da je $$(a + b)^2 ab + (b + c)^2 bc + (c + a)^2 ca + 4abc(a + b + c) = 0.$$

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{x^2 + x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 1.$$

Neka je $a$ realan broj. Ako jednadžba $x^2 - ax + a = 0$ ima dva (ne nužno različita) realna rješenja $x_1$ i $x_2$, dokaži da vrijedi $x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2(x_1 + x_2)$.

Odredi sve uređene trojke $(m, n, p)$, pri čemu su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost broj, za koje vrijedi $$(2m + 3)(4n + 1) = pmn.$$

Polukrug promjera $\overline{PQ}$ upisan je u pravokutnik $ABCD$ i dira njegove stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$. Pritom se točka $P$ nalazi na stranici $\overline{BC}$, a točka $Q$ na stranici $\overline{CD}$. Ako je $|BP| = 2$ i $|DQ| = 1$, odredi $|PQ|$.

Koliko ima prirodnih brojeva čiji zapis u dekadskome sustavu sadržava svaku od deset znamenaka $0, 1, 2, ..., 9$ točno jednom, a svaka je znamenka, osim znamenke $9$, manja od barem jedne njoj susjedne znamenke?

Za koje realne brojeve $x$ vrijedi $$5^{2x} + 4^x < 29 \cdot 10^{x-1}?$$

Neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke na opisanoj kružnici šiljastokutnog trokuta $ABC$ takve da su $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$ i $\overline{CC_1}$ promjeri te kružnice. Dokaži da vrijedi $$|A_1B| \cdot |B_1B| + |B_1C| \cdot |C_1A| = |AC| \cdot |BC|.$$

Odredi sve uređene trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje je $2^a + 2^b + 2^c + 3$ kvadrat nekoga prirodnog broja.

Dokaži da je zbroj $$\frac{\cos 3^\circ}{\cos 6^\circ - \cos 2^\circ} + \frac{\cos 5^\circ}{\cos 10^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos(2n + 1)^\circ}{\cos(4n + 2)^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos 89^\circ}{\cos 178^\circ - \cos 2^\circ}$$ jednak $$\frac{\sin 2^\circ - 1}{4 \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ}.$$

Na karticama su zapisani svi prirodni brojevi od 1 do $2024^2$. Zbroj svih tih brojeva iznosi $2024A$. Manuel je odabrao $2024$ kartice s brojevima čiji je zbroj jednak $A$. Dokaži da Neva može preostale kartice rasporediti u $2023$ skupine tako da u svakoj skupini budu po $2024$ kartice i da zbroj brojeva na karticama u svakoj skupini bude jednak $A$.

Dokaži da svi članovi niza $$a_1 = 4 \cdot 2024^1 - 2024, \quad a_2 = 4 \cdot 2024^2 - 20244, \quad \ldots, \quad a_n = 4 \cdot 2024^n - \underbrace{2024\ldots4}_{n \text{ puta}}, \text{ za } n \in \mathbb{N},$$ daju ostatak 11 pri dijeljenju s 19.

Neka su $x_1$, $x_2$ i $x_3$ različite nultočke polinoma $P(x) = x^3 - 3x + 1$. Odredi $$\frac{1}{x_1^2 - 3} + \frac{1}{x_2^2 - 3} + \frac{1}{x_3^2 - 3}.$$

Neka je $ABCDE$ peterokut upisan u kružnicu sa središtem $O$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{EB}$ sijeku se u točki $P$, a dužine $\overline{BD}$ i $\overline{EC}$ u točki $Q$. Ako su pravci $PQ$ i $AD$ međusobno paralelni, dokaži da je pravac $EO$ okomit na ta dva pravca.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoji točno pet prirodnih brojeva $n$ takvih da je $n + p \mid n^3 + p^2$.

Odredi (ako postoji) najveći prirodni broj koji se ne može prikazati kao zbroj nekih, ne nužno različitih, elemenata skupa $\{135, 136, 137, \ldots, 144\}$.