Grade 12

Odredi sve nenegativne realne brojeve $x$ takve da su $\lfloor x \rfloor$, $\{x\}$ i $x$ uzastopni članovi aritmetičkog niza (ne nužno u tom poretku).

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$, a $\{t\}$ njegov decimalni dio, tj. $\{t\} = t - \lfloor t \rfloor$. Na primjer, $\lfloor 15.1 \rfloor = 15$ i $\{15.1\} = 0.1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da je broj $$\frac{6z^2 + 5z + 6}{3z^2 + 10z + 3}$$ realan. Dokaži da je $z$ realan broj ili da vrijedi $|z| = 1$.

Na kružnici je označeno $3000$ točaka. Muha koja se u početku nalazi na jednoj od točaka kreće se isključivo skokovima u smjeru kazaljke na satu za $2$ ili $3$ mjesta. Koliko joj je najmanje skokova potrebno za obilazak svih točaka i povratak na početnu točku?

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da vrijedi:

• $\sqrt{a_k + 1}$ je prirodan broj za sve $k = 1, 2, \ldots, n$

• $\sqrt{a_k + 1}$ je djelitelj broja $a_{k+1}$ za sve $k = 1, 2, \ldots, n-1$

• $a_n - a_1 = 20$.

Neka je $ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu $C$ i $|AC| > |BC|$. Neka je $k$ polukružnica s promjerom $\overline{AC}$ koja se nalazi s iste strane pravca $AC$ kao i točka $B$. Neka je $P$ točka na $k$ takva da je $|CP| = |CB|$ i neka je $Q$ točka na $\overline{AC}$ takva da je $|AP| = |AQ|$. Dokaži da polovište dužine $\overline{BQ}$ pripada polukružnici $k$.

Dani su aritmetički niz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ i geometrijski niz $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ takvi da su im svi članovi pozitivni realni brojevi i da vrijedi

$$a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad \text{i} \quad a_{10} = b_3.$$

Dokaži da se svaki član niza $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ pojavljuje u nizu $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Za koje realne brojeve $a$ sustav

$$\left\{ \begin{array}{l} (1 + i) \cdot z + (1 - i) \cdot \bar{z} = 2a \\ |z + 1 - i| = \sqrt{2} \end{array} \right.$$

ima točno jedno rješenje u skupu kompleksnih brojeva?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$n \cdot 2^m + m = m \cdot 2^n + n.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABH$ u točki $A$ siječe pravac $CH$ u točki $K$, a tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AHC$ u točki $A$ siječe pravac $BH$ u točki $L$. Dokaži da točke $B, C, K$ i $L$ pripadaju istoj kružnici.

Za neparni prirodan broj $n > 1$ na ploči su napisani brojevi $n, n+1, \ldots, 2n-1$. Dokaži da se s ploče može izbrisati jedan broj tako da zbroj preostalih brojeva na ploči ne bude djeljiv nijednim od preostalih brojeva na ploči.

Dokaži da svi članovi niza $$a_1 = 4 \cdot 2024^1 - 2024, \quad a_2 = 4 \cdot 2024^2 - 20244, \quad \ldots, \quad a_n = 4 \cdot 2024^n - \underbrace{2024\ldots4}_{n \text{ puta}}, \text{ za } n \in \mathbb{N},$$ daju ostatak 11 pri dijeljenju s 19.

Neka su $x_1$, $x_2$ i $x_3$ različite nultočke polinoma $P(x) = x^3 - 3x + 1$. Odredi $$\frac{1}{x_1^2 - 3} + \frac{1}{x_2^2 - 3} + \frac{1}{x_3^2 - 3}.$$

Neka je $ABCDE$ peterokut upisan u kružnicu sa središtem $O$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{EB}$ sijeku se u točki $P$, a dužine $\overline{BD}$ i $\overline{EC}$ u točki $Q$. Ako su pravci $PQ$ i $AD$ međusobno paralelni, dokaži da je pravac $EO$ okomit na ta dva pravca.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoji točno pet prirodnih brojeva $n$ takvih da je $n + p \mid n^3 + p^2$.

Odredi (ako postoji) najveći prirodni broj koji se ne može prikazati kao zbroj nekih, ne nužno različitih, elemenata skupa $\{135, 136, 137, \ldots, 144\}$.

Odredi sve brojeve $a, b \in \mathbb{N}_0$ i $n \in \mathbb{N}$ za koje vrijedi $$2^a + 3^b + 1 = n!.$$

Za svaki prirodan broj $n$ neka su $a_n$ i $b_n$ realni brojevi takvi da je $(\sqrt{3} + i)^n = a_n + ib_n$. Dokaži da izraz $$\frac{a_n b_{n+1} - a_{n+1} b_n}{a_{n+1} a_n + b_{n+1} b_n}$$ poprima istu vrijednost za sve $n \in \mathbb{N}$ te odredi tu vrijednost.

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti cijeli brojevi i $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ polinom takav da je $P(a) = a^3$ i $P(b) = b^3$. Odredi $P(1)$.

Dvije kružnice sijeku se u točkama $A$ i $B$, a pritom manja kružnica prolazi središtem veće. Tangente na manju kružnicu u točkama $A$ i $B$ sijeku veću kružnicu ponovno u točkama $A_1$ i $B_1$. Dokaži da je pravac $A_1B$ simetrala kuta $\measuredangle AA_1B_1$.

Nikola je zamislio deveteroznamenkasti broj $\overline{a_1a_2a_3\ldots a_9}$ u čijem se dekadskom prikazu svaka od znamenaka od 1 do 9 pojavljuje točno jednom. Zatim je izračunao 6 zbrojeva $$\overline{a_1a_2a_3} + \overline{a_2a_3a_4}, \quad \overline{a_2a_3a_4} + \overline{a_3a_4a_5}, \quad \overline{a_3a_4a_5} + \overline{a_4a_5a_6},$$ $$\overline{a_4a_5a_6} + \overline{a_5a_6a_7}, \quad \overline{a_5a_6a_7} + \overline{a_6a_7a_8}, \quad \overline{a_6a_7a_8} + \overline{a_7a_8a_9}$$ i napisao na papir najveći od njih. Koji je najmanji broj koji je mogao zapisati na papir?

Odredi sve polinome $P$ trećeg stupnja koji imaju sljedeća tri svojstva:

(i) $P(x)$ pri dijeljenju s $x^2 - 1$ daje ostatak $2x + 1$,

(ii) zbroj nultočaka polinoma $P$ iznosi $-2$,

(iii) graf polinoma $P$ prolazi točkom $(0, 3)$.

Početni član niza $(a_n)$ je $a_0 = 2022$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$, broj $a_n$ jednak je zbroju broja $a_{n-1}$ i najvećeg djelitelja tog broja manjeg od njega samog. Odredi $a_{2022}$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $2^n + 5 \cdot 3^m$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Dan je pravilni $2022$-kut $A_1A_2 \ldots A_{2022}$. Koliko najviše vrhova pravilnog $2022$-kuta možemo odabrati tako da nikoje četiri odabrane točke ne čine vrhove pravokutnika?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s težištem $T$. Neka je $\overline{CN}$ njegova visina, $\overline{CP}$ težišnica i $K$ polovište te težišnice. Simetrala dužine $\overline{PC}$ siječe pravac $AB$ u točki $L$. Kružnica opisana trokutu $LNT$ siječe pravac $PC$ u točkama $T$ i $M$. Dokaži da pravac $AK$ raspolavlja dužinu $\overline{BM}$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $m! + 8$ potencija nekog prostog broja.

Neka je $w = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3})$. Odredi najveći broj $n \in \mathbb{N}_0$ za koji postoje kompleksni brojevi $a, b, c$ tako da za svaki $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ vrijedi

$$a + b w^{k} + c w^{2k} = k.$$

Za tako određeni $n$ nađi sve trojke $(a,b,c)$ koje zadovoljavaju gornje jednakosti.

Neka su $x, y$ i $z$ realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 1$. Neka je

$$S = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}.$$

a) Ako su $x, y$ i $z$ pozitivni brojevi, dokaži da je $S < 1$.

b) Dokaži da je $S < 1$ ako i samo ako su brojevi $x, y$ i $z$ istog predznaka.

U nogometnom klubu je $n$ igrača koji imaju dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$. Na kraju sezone igrač s brojem 1 završava karijeru. Uprava bira jednog od ostalih igrača kojeg prodaje nekom drugom klubu, dok svih preostalih $n - 2$ igrača dobiva dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$.

Na koliko načina uprava može odabrati igrača za prodaju i preostalima dati brojeve tako da nijedan igrač nema veći broj od onog koji je imao ove sezone?

Neka je $ABC$ trokut i $O$ središte njegove opisane kružnice. Pravac $p$ okomit je na simetralu kuta $\measuredangle BAC$, prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$ te polovištem dužine $\overline{AO}$. Odredi veličinu kuta $\measuredangle BAC$.

Za $n \in \mathbb{N}$ definiramo kompleksan broj

$$a_n = (1 + i) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\right) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{3}}\right) \cdots \left(1 + \frac{i}{\sqrt{n}}\right).$$

Izračunaj

$$\left| a_1 - a_2 \right| + \left| a_2 - a_3 \right| + \cdots + \left| a_{2019} - a_{2020} \right|.$$

Skup svih točaka $(x, y)$ za koje vrijedi $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ dijeli ravninu na nekoliko dijelova od kojih je samo jedan omeden. Odredi površinu tog dijela ravnine.

Na kocki stranice duljine $1$ istaknuta je mreža koja se sastoji od $14$ točaka i $36$ dužina. Točke su vrhovi kocke i središta njezinih strana. Dužine su svi bridovi kocke i još po četiri dužine na svakoj strani kocke koje spajaju središte te strane s njezinim vrhovima.

Kolika je duljina najkraćeg puta po toj mreži koji prolazi kroz svih $14$ točaka?

Dani su cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$. Dokaži da je broj parova $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $x^2 + ax + b = y^2 + cy + d$ beskonačan ako i samo ako je $a^2 - 4b = c^2 - 4d$.

U prostoriji se nalazi $n$ kutija visina $1, 2, 3, \ldots, n$ koje treba nekim poretkom smjestiti uz zid. Mačak Fiko može skočiti s jedne kutije na sljedeću ako je sljedeća kutija niža (nije bitno koliko) od one na kojoj se nalazi ili je za najviše $1$ viša od one na kojoj se trenutno nalazi. Na koliko načina se kutije mogu poredati tako da Fiko može krenuti s prve kutije u nizu i skočiti redom na svaku iduću kutiju?

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ takve da je $b \geq 0$ i

$$a^2 + 2ab + b! = 131.$$

Za polukrug kažemo da je pravilno smješten u veći polukrug ako su im promjeri paralelni, krajevi promjera manjeg polukruga leže na polukružnici većeg polukruga i polukružnica manjeg polukruga dodiruje promjer većeg polukruga.

Dan je niz polukrugova $K_1, K_2, K_3, \ldots$, pri čemu je, za svaki $n \in \mathbb{N}$, polukrug $K_{n+1}$ pravilno smješten u polukrug $K_n$. Područje koje pripada polukrugu $K_n$ i ne pripada polukrugu $K_{n+1}$ obojeno je plavom ako je $n$ neparan, a žutom bojom ako je $n$ paran broj. Polumjer polukruga $K_1$ iznosi $1$. Odredi ukupnu površinu obojenu plavom bojom.

Neka je $n \geq 2$ prirodan broj. Ploči dimenzija $n \times n$ odstranjena su dva nasuprotna kutna polja. Na koliko načina je na tu ploču moguće postaviti $n$ figura tako da nikoje dvije ne budu u istom retku ili stupcu?

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$\begin{aligned} (x^2 + 1)y &= z^2 + 1 \\ (y^2 + 1)z &= x^2 + 1 \\ (z^2 + 1)x &= y^2 + 1. \end{aligned}$$

Na šahovskom turniru sudjelovali su dječaci i djevojčice. Svaki je natjecatelj odigrao po jednu partiju sa svakim drugim natjecateljem, a nijedna partija nije završila neodlučenim rezultatom. Odredi najmanji mogući broj natjecatelja na turniru ako je poznato da je svaka djevojčica pobijedila barem $21$ dječaka i da je svaki dječak pobijedio barem $12$ djevojčica.

Prirodni broj zovemo babilonskim ako je veći od $9$ i ako je njegov zapis u sustavu s bazom $60$ jednak njegovom dekadskom zapisu bez vodeće znamenke. Npr. broj $123$ je babilonski jer je $123 = (23)_{60}$. Koliko ima babilonskih brojeva manjih od $10\,000$?

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3n + 1} > 1.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut takav da je $|BC| > |AC|$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $P$, a pravac $AC$ u točki $Q$. Točka $R$ je nožište okomice iz točke $P$ na stranicu $\overline{AC}$, a točka $S$ je nožište okomice iz točke $Q$ na pravac $BC$.

Dokaži da pravac $RS$ raspolavlja dužinu $\overline{AB}$.

Ploča $P$ je dobivena uklanjanjem tri polja u kutovima ploče $7 \times 7$. U svako od $46$ polja ploče $P$ upisan je neki prirodni broj. Razlika brojeva u bilo koja dva polja koja imaju zajedničku stranicu je najviše $4$. Dokaži da su u neka dva polja upisani isti brojevi.

Neka je $d$ prirodni broj te $(a_n)$ aritmetički niz prirodnih brojeva s razlikom $d$. Ako je $d \leqslant 2018$, dokaži da najviše $11$ uzastopnih članova niza $(a_n)$ mogu biti prosti brojevi.

U prostoriji se nalazi sedam osoba. Četiri od njih poznaju točno po jednu osobu, a preostale tri osobe poznaju točno po dvije osobe. Sva poznanstva su uzajamna.

Kolika je vjerojatnost da se dvije slučajno odabrane osobe međusobno ne poznaju?

Koliko ima prirodnih brojeva $c \leqslant 1\,000\,000$ koji se mogu prikazati u obliku $$c = a^2 + 3b^2 - 4ab$$ za neke cijele brojeve $a$ i $b$ različite od $0$?

Dan je niz pozitivnih realnih brojeva $a_0, a_1, a_2, \ldots$ takvih da vrijedi $$a_1 = 1 - a_0, \quad a_{n+1} = 1 - a_n(1 - a_n) \text{ za } n \geqslant 1.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi $$a_0a_1 \cdots a_n\left(\frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) = 1.$$

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$. Tangente u točkama $A$ i $B$ na kružnicu opisanu tom trokutu sijeku se u točki $M$. Paralela sa stranicom $\overline{BC}$ kroz točku $M$ siječe stranicu $\overline{CA}$ u točki $N$. Dokaži da je $|BN| = |CN|$.

Na kružnici je označeno $3000$ točaka. U jednoj od tih točaka nalazi se skakavac. Skakavac svakim skokom preskače jednu ili dvije označene točke u smjeru kazaljke na satu i staje na sljedeću označenu točku. Odredi koliko je najmanje skokova skakavac napravio ako je na svaku označenu točku stao barem jednom i vratio se u točku iz koje je krenuo.