Grade 12

Neka su $a_0, a_1, \ldots, a_n$ realni brojevi takvi da je $$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n = (x + 1)^3(x + 2)^3 \cdots (x + 672)^3.$$ Odredi zbroj $$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{2016}.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geq 3$ postoji $n$ različitih prirodnih brojeva čiji je zbroj reciprocnih vrijednosti jednak $1$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$, točka $D$ leži na stranici $\overline{BC}$. Okomica iz točke $B$ na pravac $AD$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABD$ u točkama $B$ i $E$. Ako su pravci $DE$ i $AC$ međusobno okomiti, dokaži da je $AD$ simetrala kuta $\measuredangle BAC$.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$(7a - b)^2 = 2(a - 1)b^2.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Na koliko načina možemo tablicu $n \times n$ popuniti brojevima $1, 2, -1, -2$ tako da umnožak brojeva u svakom retku bude jednak $-2$ i da umnožak brojeva u svakom stupcu bude također jednak $-2$?

Neka je $a = \sqrt[2015]{2015}$ i neka je $(a_n)$ niz takav da je $a_1 = a$ i $a_{n+1} = a^{a_n}$ za $n \geqslant 1$.

Postoji li prirodni broj $n$ takav da je $a_n \geqslant 2015$?

Jedna stranica kvadrata leži na pravcu $y = 2x - 17$, a preostala dva vrha leže na paraboli $y = x^2$. Odredi površinu tog kvadrata.

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $a_0, a_1, \ldots, a_{2n} \in \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ realni brojevi takvi da je $$\tg a_k = 2^{k-n} \quad \text{za} \quad k = 0, 1, \ldots, 2n.$$

Izračunaj zbroj $a_0 + a_1 + \cdots + a_{2n}$.

Za prirodan broj kažemo da je zvrkast ako u dekadskom zapisu ima $100$ znamenaka i ako uklanjanjem bilo koje njegove znamenke nastaje $99$-znamenkasti broj djeljiv sa $7$.

Koliko ima zvrkastih prirodnih brojeva?

Ukrug je poredano konačno mnogo realnih brojeva. Svaki broj je obojan u crveno, bijelo ili plavo. Svaki crveni broj dvaput je manji od zbroja dvaju njemu susjednih brojeva, svaki bijeli broj jednak je zbroju dvaju njemu susjednih brojeva, a svaki plavi broj je dvaput veći od zbroja dvaju njemu susjednih brojeva. Neka je $b$ zbroj svih bijelih brojeva, a $p$ zbroj svih plavih brojeva, pri čemu su oba zbroja različita od $0$.

Odredi omjer $\frac{b}{p}$.