Search

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je

$$x_1 + x_2 + \cdots + x_n \geqslant n \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \geqslant n^2.$$

Dokaži da postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da je $x_i \geqslant 2$.

Odredi najmanji realni broj $D$ takav da nejednakost

$$\frac{a + b}{a + 2b} + \frac{b + c}{b + 2c} + \frac{c + a}{c + 2a} < D$$

vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 3$. Dokaži da je

$$\frac{a^4}{b^2 + c} + \frac{b^4}{c^2 + a} + \frac{c^4}{a^2 + b} \geqslant \frac{3}{2}.$$

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c = 3$ vrijedi $$\frac{a^2}{a + b^2} + \frac{b^2}{b + c^2} + \frac{c^2}{c + a^2} \geq \frac{3}{2}.$$

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$x^3 + x^2 + x = y^2 + y.$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{Z}$ vrijedi: $$f(f(a) + f(b)) = a + b - 1.$$

Nađi (jedan) cijeli broj $a$ takav da za polinom $P(x) = x^5 + ax$ tvrdnja $$\text{ako } n \mid P(k) - P(l) \text{ onda } n \mid k - l, \text{ za sve } k, l \in \mathbb{Z}$$ vrijedi samo za konačno mnogo prirodnih brojeva $n$, među kojima je i $n = 95$.

Odredi sve nizove $a: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$a_n + a_{n+1} = a_{n+2}a_{n+3} - 200.$$

Dani su pozitivni realni brojevi $x$, $y$ i $z$ takvi da je $x + y + z = 18xyz$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 2yz + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^2 + 2xz + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^2 + 2xy + 1}} \geqslant 1.$$

Zadan je niz realnih brojeva: $$x_0 = 1,$$ $$x_1 = 1,$$ $$x_n = \sqrt{\frac{n}{2} + x_{n-1}x_{n-2}}, \quad \text{za } n \geqslant 2.$$

Postoji li realni broj $A$ takav da je $An < x_n < An + 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$?

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2 + f(y)) = (f(x) + y^2)^2.$$

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(y + f(x)) - f(x + f(y)) = f(x - y)(f(x + y) - 1).$$

Za prirodni broj $n \geqslant 2$, neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi različiti od nule takvi da je $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$. Dokaži da postoje različiti prirodni brojevi $i$ i $j$ ($i, j \leqslant n$) takvi da je

$$\frac{1}{2} \leqslant \left| \frac{x_i}{x_j} \right| \leqslant 2.$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $f(1) \geqslant 0$ i da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) - f(y) \geqslant (x - y)f(x - y).$$

Za skup $A \subseteq \mathbb{Z}$ kažemo da je prihvatljiv ako za svaka dva (ne nužno različita) broja $x, y \in A$ i za svaki $k \in \mathbb{Z}$ vrijedi $x^2 + kxy + y^2 \in A$.

Nađi sve parove $(m, n)$ cijelih brojeva različitih od nule za koje je $\mathbb{Z}$ jedini prihvatljivi skup koji sadrži $m$ i $n$.

($\mathbb{Z}$ je skup svih cijelih brojeva.)

U ovisnosti o prirodnom broju $k$, odredi najmanji realni broj $D_k$ takav da je

$$(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 \leqslant D_k$$

za sve nenegativne realne brojeve $a, b, c, d$ za koje je $a^k + b^k + c^k + d^k = 4$.

Neka su $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$.

Dokaži nejednakost:

$$\frac{a_1^3}{a_1^2 + a_2 a_3} + \frac{a_2^3}{a_2^2 + a_3 a_4} + \cdots + \frac{a_{n-1}^3}{a_{n-1}^2 + a_n a_1} + \frac{a_n^3}{a_n^2 + a_1 a_2} \geqslant \frac{1}{2}.$$

Dan je realni broj $\alpha \geqslant \frac{1}{2}$. Dokaži da za pozitivne realne brojeve $x, y, z$ vrijedi nejednakost: $$x(x - y)(\alpha x - y) + y(y - z)(\alpha y - z) + z(z - x)(\alpha z - x) \geqslant 0.$$

Neka je $\alpha$ realni broj. Nađi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve $x,y\in \mathbb{R}$ vrijedi: $$f(x + \alpha + f(y)) = f(f(x)) + f(\alpha) + y.$$

Dokaži da za svaki $x \in \left[\frac{1}{111}, \frac{110}{111}\right]$ možemo odabrati brojeve $a_i \in \{-1, 1\}$, $i = 1, 2, \ldots, 101$ takve da je $$\left|x_{101} - x\right| \leqslant \frac{1}{402},$$ pri čemu je $$x_0 = 1, \quad x_k = (x_{k-1} + 1)^{a_k}, \quad \text{za} \quad k = 1, 2, \ldots, 101.$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $x$, $y$, $z$ vrijedi nejednakost $$\frac{x^2}{xy + z} + \frac{y^2}{yz + x} + \frac{z^2}{zx + y} \geqslant \frac{(x + y + z)^3}{3[x^2(y + 1) + y^2(z + 1) + z^2(x + 1)]}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi $$f(f(x))(x - f(y)) + 2xy = f(x)f(x + y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi $$f (x f (x) + f (x y)) = f \left(x ^ {2}\right) + y f (x), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb {R}.$$

Niz $a_1, a_2, \ldots$ pozitivnih realnih brojeva zadovoljava uvjet

$$a_{k+1} \geq \frac{ka_k}{a_k^2 + k - 1}$$

za svaki prirodni broj $k$. Dokaži da je

$$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n$$

za svaki $n \geq 2$.

Dan je prirodni broj $n$. Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$ vrijedi nejednakost

$$\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leq \frac{(n+1)^2}{4n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right)^2.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2) + x f(y) = f(x) f(x + f(y)).$$

Dana je funkcija $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takva da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x f (y)) + f (x ^ {2}) = f (x) (x + f (y))$$

te da je $f(2) = 3$. Odredi $f(2^{2016})$.

Odredi najmanji realni broj $C$ takav da je za sve pozitivne realne brojeve $a_1, a_2, a_3, a_4$ i $a_5$ moguće odabrati međusobno različite indekse $i, j, k, l$ tako da vrijedi

$$\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leqslant C.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$xf(x) - yf(y) = (x - y)(f(x + y) - xy).$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{3}{2} < \frac{4a + b}{a + 4b} + \frac{4b + c}{b + 4c} + \frac{4c + a}{c + 4a} < 9.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 2$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{(a - 1)^2}{b} + \frac{(b - 1)^2}{c} + \frac{(c - 1)^2}{a} \geqslant \frac{1}{4} \left( \frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{b^2 + c^2}{b + c} + \frac{c^2 + a^2}{c + a} \right).$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$f(xf(y)) = (1 - y)f(xy) + x^2y^2f(y).$$

Neka su $P(x)$ i $Q(x)$ polinomi s realnim koeficijentima takvi da je

$$P(P(x)) = (Q(x))^2$$

za svaki realni broj $x$. Postoji li nužno polinom $R(x)$, također s realnim koeficijentima, takav da je $P(x) = (R(x))^2$ za svaki realni broj $x$?

Neka su $n$, $k$, $M$ i $a_1, a_2, \ldots, a_n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = k \quad \text{i} \quad a_1a_2\cdots a_n = M.$$

Ako je $M > 1$, dokaži da ne postoji pozitivan realni broj $x$ takav da vrijedi

$$M(x + 1)^k = (x + a_1)(x + a_2)\cdots(x + a_n).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi $$\frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{a}}{b + c} + \frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{b}}{c + a} + \frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{c}}{a + b} \geq \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{a + b + c}}.$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ takve da vrijedi $$\left(x + \frac{1}{x}\right) f(y) = f(xy) + f\left(\frac{y}{x}\right), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}^+.$$

($\mathbb{R}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih realnih brojeva.)

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ takve da vrijedi $$f(x^2 (f(y))^2) = (f(x))^2 f(y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{Q}^+.$$

($\mathbb{Q}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih racionalnih brojeva.)

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1.$$

Ako je $a$ najmanji, a $b$ najveći broj među brojevima $x_1, x_2, \ldots, x_n$, dokaži da je $ab \leq -\dfrac{1}{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(x + yf(x)) = f(xf(y)) - x + f(y + f(x)).$$

Neka je $n \geq 3$ prirodni broj i neka je $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ strogo rastući niz realnih brojeva takav da je $\sum_{k=1}^n a_k = 2$. Neka je $M$ neki podskup skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ za koji je vrijednost izraza $\left|1 - \sum_{k \in M} a_k\right|$ najmanja moguća.

Dokaži da postoji strogo rastući niz realnih brojeva $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ takav da je $\sum_{k=1}^n b_k = 2$, za koji vrijedi $\sum_{k \in M} b_k = 1$.

Odredi sve periodične nizove $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva sa svojstvom da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi $$x_{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}} + x_n\right).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $ab + bc + ca = 1$.

Dokaži da je $$\frac{4}{a + b + c} \leq (a + b)(c\sqrt{3} + 1).$$

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da izraz $$P(x + 3y) + P(3x - y)$$ ima istu vrijednost za sve realne brojeve $x$, $y$ za koje je $x^2 + y^2 = 1$.

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje postoji funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takva da je $$f(x + f(y)) = f(x) + a\lfloor y\rfloor,$$ za sve realne brojeve $x$ i $y$.

Napomena: $\lfloor y\rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $y$. Npr. $\lfloor 1.7\rfloor = 1$, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$, $\lfloor 0\rfloor = 0$.

Neka je $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funkcija sa svojstvima:

(a) Postoji realan broj $M$ takav da je $|f(x)| \leq M$, za sve $x \in \mathbb{R}$.

(b) Za svaki realan broj $x$ vrijedi $$f\left(x + \frac{1}{2}\right) + f\left(x + \frac{1}{3}\right) = f(x) + f\left(x + \frac{5}{6}\right).$$

Pokaži da je funkcija $f$ periodična, odnosno da postoji pozitivan realan broj $T$ takav da je $f(x + T) = f(x)$ za sve $x \in \mathbb{R}$.

Ako je $a_1, a_2, \ldots, a_{2000}$ niz od $2000$ pozitivnih realnih brojeva, za koliko najviše indeksa $i \in \{1, 2, \ldots, 2000\}$ može vrijediti jednakost

$$a_i a_{i+3} = a_i a_{i+1} + a_{i+1} a_{i+2} + a_{i+2} a_{i+3}?$$

Smatramo da je $a_{j+2000} = a_j$ za $j \in \{1, 2, 3\}$.

Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ vrijedi nejednakost

$$\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 100} \frac{(x_j - x_i)^2}{j^2 - i^2} \geqslant \frac{1}{101} \sum_{1 \leqslant i \leqslant 50} (x_{101-i} - x_i)^2.$$

Neka je $\mathbb{R}^+$ skup svih pozitivnih, a $\mathbb{R}_0^+$ skup svih nenegativnih realnih brojeva.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}_0^+$ takve da za sve pozitivne realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) - f(x + y) = f(x^2 f(y) + x).$$

Neka je $\mathbb{Q}_0^+$ skup svih nenegativnih racionalnih brojeva.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}_0^+ \to \mathbb{Q}_0^+$ takve da za sve nenegativne racionalne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$yf(x + y) + (y - 1)f(xy) = f(y^2)f(x + 1).$$