Let $\mathbb{R}^+$ be the set of positive real numbers. Let $f\colon \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ be a function such that for all $x,y\in \mathbb{R}^{+}$ it holds that

$$y f^{2025}(x) \geq x f(y).$$

Show that there exists a positive integer $n_0$ such that for all positive integers $n \geq n_0$ and for all $x \in \mathbb{R}^+$ it holds that

$$f^n(x) \geq x.$$

Remark. Here $f^n$ denotes the function $f$ applied $n$ times, this means $f^n(x) = \underbrace{f(f(\ldots f(x)\ldots))}_{n \text{ times}}$.

On an infinite square grid, on which some unit squares are coloured red, a ruby rook is a piece which, in one move, can travel any number of squares in one direction parallel to one of the grid lines (either vertically or horizontally), while remaining on red squares at all times throughout the move.

Starting with an uncoloured infinite square grid, Alice performs the following procedure: First, she colours at most 2025 of the unit squares red. Afterwards, she places some ruby rooks on distinct red unit squares, such that the following two rules are satisfied:

• No ruby rook can reach another ruby rook in one move.
• Every ruby rook can reach every other ruby rook in two moves.

Find the maximum possible number of ruby rooks that Alice can place during this procedure.

Let $ABC$ be a triangle. Its incircle $\omega$ touches the sides $BC, CA$ and $AB$ at points $D, E$ and $F$, respectively. Let $P$ and $Q$ be points on the line $BC$ distinct from $D$ such that $PB = BD$ and $QC = CD$. Prove that the circumcircles of the triangles $PCE$ and $QBF$ and the circle $\omega$ pass through a common point.

A subset $S$ of the integers is called Saxonian if for every three pairwise different elements $a, b, c \in S$ the number $ab + c$ is the square of an integer. Prove that any Saxonian set is finite. Determine the largest possible number of elements that a Saxonian set can have.

Bob has $n$ coins with integer values $$c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_n > 0.$$

He is standing in front of a vending machine that offers $n$ candy bars with positive integer costs $b_1, b_2, \ldots, b_n$. Bob notices that for every $i \in \{1, \ldots, n\}$, it holds that $$b_1 + b_2 + \cdots + b_i \geq c_1 + c_2 + \cdots + c_i.$$

Furthermore, the total value of Bob's coins equals the sum of the costs of all the candy bars. The candy bars can be purchased in any order. In order to buy the $i$-th candy bar, Bob has to insert coins of total value at least $b_i$. However, the machine does not give him back any change.

Prove that Bob can buy at least half of the candy bars.

Let $\mathbb{R}^+$ be the set of positive real numbers. Determine all functions $f\colon \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ such that for all numbers $x,y\in \mathbb{R}^{+}$, we have $$f(xy) + f(x) = f(y)f(xf(y)) + f(x)f(y),$$

and there exists at most one number $a \in \mathbb{R}^+$ such that $f(a) = 1$.

A snake in an $n \times n$ grid is a path composed of straight line segments between centres of adjacent cells, going through the centres of all the $n^2$ grid cells, which visits each cell exactly once. Here two grid cells are considered to be adjacent if they share an edge. Note that all pieces of the snake path are parallel to grid lines. The figure shows an example of a snake in a $4 \times 4$ grid. This snake makes nine $90^\circ$ turns, marked by small black squares.

Let us now consider a snake through the 2025 cells of a $45 \times 45$ grid. What is the maximum possible number of $90^\circ$ turns that such a snake can make?

Let $n$ be a positive integer. In the province of Laplandia there are $100n$ cities, each two connected by a direct road, and each of these roads has a toll station collecting a positive amount of toll revenue. For each road, the revenue of its toll station is split equally between the two cities at the ends of the road (meaning that each of the two cities receives half of the income). For each city, the total toll revenue is given by the sum of the revenues it receives from the $100n - 1$ toll stations on its roads.

According to a new law, the revenues of some of the toll stations will be collected by the federal government instead of by the adjacent cities. The governor of Laplandia is allowed to choose those toll stations. The mayors of the cities demand that for each city, the sum of the remaining revenues it receives from the other toll stations after this change is at least $99\%$ of its former total toll revenue.

Find the largest positive integer $k$, depending on $n$, such that the governor can always choose $k$ toll stations for the federal government to collect the toll revenue, while satisfying the demand of the city mayors.

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB < AC$. Denote by $D$ the foot of the perpendicular from $A$ to $BC$. Let $E$ be the point such that $ABEC$ is a parallelogram. Let $M$ be a point inside triangle $ABC$ such that $MB = MC$. Let $F$ be the reflection of point $D$ across the tangent to the circumcircle of triangle $ADM$ at point $M$. Prove that $AF = DE$.

Let $ABC$ be an acute triangle with an interior point $D$ such that $\angle BDC = 180^{\circ} - \angle BAC$. The lines $BD$ and $AC$ intersect at the point $E$, and the lines $CD$ and $AB$ intersect at the point $F$. The points $P \neq E$ and $Q \neq F$ lie on the line $EF$ so that $BP = BE$ and $CQ = CF$. Assume that the segments $AP$ and $AQ$ intersect the circumcircle $\omega$ of $ABC$ at the points $R \neq A$ and $S \neq A$, respectively. Prove that the lines $RF$ and $SE$ intersect on $\omega$.

Let $n$ be a positive integer such that the sum of positive divisors of $n^2 + n + 1$ is divisible by 3. Prove that it is possible to partition the set of positive divisors of $n^2 + n + 1$ into three sets such that the product of all elements in each set is the same.

Determine whether the following statement is true for every polynomial $P$ of degree at least 2 with nonnegative integer coefficients:

There exists a positive integer $m$ such that for infinitely many positive integers $n$ the number $P^n(m)$ has more than $n$ distinct positive divisors.

Remark. Here $P^n$ denotes $P$ applied $n$ times, this means $P^n(x) = \underbrace{P(P(\ldots P(x)\ldots))}_{n \text{ times}}$.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz $$x + |2|x| - 1|$$ za neki realni broj $x$.

Za višeznamenkasti prirodni broj definirana je operacija tumbanje pri kojem se vodeća znamenka izbriše, a zatim ista znamenka dopiše na kraj broja, iza znamenke jedinica. Tako npr. od broja 123 nastaje broj 231, a od broja 107 broj 71. Prirodni broj je mudar ako mu je vodeća znamenka u dekadskom zapisu jednaka 1, a tumbanjem od njega nastaje triput veći broj. Odredi sve mudre brojeve.

Unutar trokuta $ABC$ stranica duljina $|AB| = 11$, $|BC| = 13$ i $|CA| = 14$ nalazi se točka $K$ takva da je $\measuredangle KBA = \measuredangle KCB = 30°$. Točke $M$ i $N$ su redom osnosimetrične slike točke $K$ s obzirom na pravce $AB$ i $BC$. Odredi udaljenost točaka $M$ i $N$.

Realni brojevi $x$, $y$ i $z$ zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x^3 &= 2y^3 + y - 2\\ y^3 &= 2z^3 + z - 2\\ z^3 &= 2x^3 + x - 2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x = y = z = 1$.

Antonija je zamislila 6 različitih realnih brojeva, a zatim je na ploču napisala sve moguće zbrojeve dvaju, ne nužno različitih, zamišljenih brojeva. Kada je Branku rekla da su najmanja dva od zamišljenih brojeva 2024 i 4048, Branko je zaključio da koji god preostali brojevi bili, broj različitih brojeva na ploči nije mogao biti manji.

a) Koliko je različitih brojeva na ploči?

b) Koliki sve može biti najveći broj koji je Antonija zamislila?

Odredi sve trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$|a + 3| + b^2 + 4c^2 - 14b - 12c + 56 = 0.$$

Odredi sve trojke realnih brojeva $(a, b, c)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$a^3 + b^2c = ac$$ $$b^3 + c^2a = ba$$ $$c^3 + a^2b = cb.$$

Odredi sve četvorke prirodnih brojeva $(a, b, k, n)$ za koje vrijedi $$k \cdot 2^{2n} - (2k - 1) \cdot 2^n + k - 1 = k \cdot 2^{a + b} - 2^b.$$

Iz ploče dimenzija $2025 \times 2025$ uklonjen je kvadrat dimenzija $7 \times 7$, a preostali dio ploče prekriva se pločicama dimenzija $1 \times 4$ (tako da svaka pločica prekriva točno četiri polja).

(a) Ako uklonimo središnji $7 \times 7$ kvadrat, dokaži da je preostali dio ploče moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

(b) Ako uklonimo $7 \times 7$ kvadrat koji sadrži jedan ugao ploče, dokaži da preostali dio ploče nije moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

Neka su $K$ i $L$ redom polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{AD}$ paralelograma $ABCD$. Za točku $T$ unutar paralelograma vrijedi $|KT| = |AK|$ i $|LT| = |CL|$. Neka je $M$ polovište dužine $\overline{BT}$. Dokaži da je $\measuredangle MAT = \measuredangle TCM$.

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} |2x + 1| + 3x - 2y &= -14 \\ |3x + 1| + x + 4y &= 25. \end{aligned}$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a \geqslant c$ i $b \geqslant c$ vrijedi nejednakost $$\sqrt{c(a - c)} + \sqrt{c(b - c)} \leqslant \sqrt{ab}.$$

Vrhovima $B$, $C$ i $D$ kvadrata $ABCD$ prolaze, redom, međusobno paralelni pravci $b$, $c$ i $d$. Ako je udaljenost pravaca $b$ i $c$ jednaka 5, a udaljenost pravaca $b$ i $d$ jednaka 7, kolika može biti površina kvadrata $ABCD$?

Ploču na slici treba prekriti pločicama dimenzija $1 \times 2$. Svaka pločica prekriva točno dva polja. Pločice se smiju rotirati i ne smiju se preklapati. Dokaži da je broj načina na koje se to može napraviti jednak zbroju kvadrata dvaju prirodnih brojeva.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ takve da vrijedi $$2^a + 2b^2 = 3^c + 67.$$

Baka Jagoda prodaje trešnje te je uočila da postoji linearna ovisnost između cijene jednog kilograma trešanja i količine prodanih trešanja u danu: svakim povećanjem cijene za 1 € po kilogramu bi u danu prodala 3 kilograma trešanja manje. Najveći iznos od prodaje trešanja bi ostvarila kada bi ih prodavala po cijeni od 3.6 € po kilogramu. Jednog dana unuka Višnja zamijenila je baku na tržnici, sama odredila cijenu kilograma trešanja i prodala trešnje za 18.6 €. Po kojoj je cijeni Višnja mogla prodavati trešnje?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje broj $$2n^4 + 19n^2 + 9$$ ima točno 6 pozitivnih djelitelja.

Neka su stepenice dio kvadratne ploče dimenzija $111 \times 111$ koji se sastoji od prvih $k$ polja u $k$-tom retku za $k = 1, 2, \ldots, 111$. Mogu li se stepenice podijeliti na 111 kvadrata?

(Kvadrati se trebaju sastojati od jediničnih polja i ne moraju biti sukladni.)

Zadan je trapez $ABCD$ kojemu su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti. Simetrala dužine $\overline{AD}$ siječe pravac $BC$ u točki $P$, a simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe pravac $AD$ u točki $Q$. Dokaži da je $\measuredangle DPA = \measuredangle BQC$.

Mihael je na ploči zapisao kvadratnu funkciju $f(x)$ s cjelobrojnim koeficijentima. Nakon toga, u svakom je koraku promijenio (povećao ili smanjio) za 1 ili koeficijent uz $x$ ili konstantni član. U zadnjem koraku je na ploči zapisana kvadratna funkcija $g(x)$.

Je li sigurno da je u nekom trenutku na ploči bila zapisana kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama ako je

a) $f(x) = x^2 + x + 2024$ i $g(x) = x^2 + 2024x + 1$?

b) $f(x) = x^2 + 2024x + 2024$ i $g(x) = x^2 - 2024x + 2024$?

Odredi sve uređene trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$\begin{aligned} xy + 1 &= 2z \\ yz + 1 &= 2x \\ zx + 1 &= 2y. \end{aligned}$$

U stožac osnovke polumjera 1 i visine duljine $2\sqrt{2}$ upisan je kvadar takav da jedna strana kvadra pripada osnovki stošca, a vrhovi suprotne strane pripadaju plaštu stošca.

Ako je strana kvadra koja pripada osnovki stošca kvadrat, koliko je najveće oplošje koje takav kvadar može imati?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(k,n)$ takve da vrijedi $$7 \cdot n^n - n^3 = (n + 8)^k.$$

Neka je $M$ točka unutar trokuta $ABC$ na simetrali kuta $\measuredangle BAC$. Pravci $AM$, $BM$ i $CM$ ponovo sijeku opisanu kružnicu trokuta $ABC$ redom u točkama $A_1$, $B_1$ i $C_1$. Neka je $P$ sjecište dužina $\overline{A_1C_1}$ i $\overline{AB}$ te $Q$ sjecište dužina $\overline{A_1B_1}$ i $\overline{AC}$.

Dokaži da su pravci $PQ$ i $BC$ paralelni.

U svako polje pravokutne ploče s 3 stupca i 14 redaka upisan je simbol $X$ ili $O$. Za ploču kažemo da je balansirana ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• svaki $3 \times 3$ kvadrat sadržava najviše 5 simbola $X$ i najviše 5 simbola $O$
• u svakom $3 \times 3$ kvadrati nijedna dijagonala ni redak ni stupac ne sadržavaju tri ista simbola.

Za balansiranu ploču $P$, centar od $P$ je ploča s 3 stupca i 12 redaka dobivena uklanjanjem prvoga i posljednjega retka iz $P$.

Među svim balansiranim pločama koliko postoji različitih centara?

Odredi najveću moguću površinu pravokutnika upisanog u pravokutni trokut s katetama duljina 5 i 12 tako da se dva vrha pravokutnika nalaze na hipotenuzi, a po jedan vrh na svakoj kateti tog trokuta.

Odredi broj različitih vrijednosti koje poprima izraz $$\frac{n^2 - 2}{n^2 - n + 2},$$ za $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 2026\}$.

Neka je $m$ prirodan broj i neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $$m^2 < a < m^2 + m \quad \text{i} \quad m^2 < b < m^2 + m.$$ Odredi sve prirodne djelitelje $d$ umnoška $ab$ za koje vrijedi $m^2 < d < m^2 + m$.

Blok je figura koja se sastoji od šest jediničnih kvadrata kao što je prikazano na slici. Odredi najveći mogući broj blokova koje je moguće postaviti na ploču dimenzija $6 \times 11$ tako da svaki prekriva točno šest polja. Blokovi se mogu rotirati i ne smiju se preklapati.

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Pravac $HM$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $A_1$ i $B_1$. Neku su $A_2$ i $B_2$ redom nožišta okomica iz $A_1$ i $B_1$ na pravac $CH$. Dokaži da se pravci $AB_2$ i $BA_2$ sijeku na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\log_2(4^x + 2^x) + \log_{(4^x + 2^x)}2 = 2.$$

Postoje li realni brojevi $x, y \in \langle 0, \frac{\pi}{2} \rangle$ takvi da su $$\frac{1}{\sin x}, \quad \frac{1}{\sin y} \quad \text{i} \quad \frac{1}{\sin(x + y)}$$ prirodni brojevi?

Dan je jednakostranični trokut $ABC$. Dužina $\overline{AD}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$, a pritom je $\measuredangle BAD = 20°$ i $|DE| = |AB|$. Odredi $\measuredangle ADB$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $1 < a < b$ i da vrijedi $$a + b \mid ab + 1 \quad \text{i} \quad b - a \mid ab - 1.$$

Dokaži da je $b < a\sqrt{3}$.

U igri za dva igrača koristi se 101 praznih kutija i dovoljna količina žetona. Igrači, Ema i Lovro, naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu, igrač stavlja po jedan žeton u sto različitih kutija. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza u jednoj od kutija bude 201 žeton. Ako Ema igra prva, koji od igrača može osigurati pobjedu?

Odredi sve parove pozitivnih realnih brojeva $(x,y)$ koji su rješenja sustava jednadžba $$x^{x+y} = y^{180}$$ $$y^{x+y} = x^{45}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Svakom je vrhu kvadrata pridružen cijeli broj. Broj pridružen vrhu može se zamijeniti zbrojem brojeva pridruženih dvama od ostalih vrhova.

Dokaži da je uvijek (neovisno o odabiru početnih brojeva pridruženih vrhovima) nizom opisanih zamjena moguće postići da brojevi pridruženi svim četirima vrhovima budu djeljivi s $n$.

Tablica dimenzija $2025 \times 2025$ popunjena je tako da se u polju u $i$-tome retku i $j$-tome stupcu nalazi broj $i + j - 1$, za sve $i, j \in \{1, 2, \ldots, 2025\}$. Odabrano je 2025 polja koja se nalaze u različitim retcima i različitim stupcima.

Koja je najmanja moguća vrijednost umnoška brojeva na odabranim poljima?