Croatian County-Level Competitions 2025

Marija i Eva vozile su se istim putom iz grada $A$ u grad $C$. Mariji je trebalo 96 minuta, a Evi 4 minute više. Točno na pola puta između gradova $A$ i $C$ nalazi se grad $B$. Marija je cijelim putom od $A$ do $C$ vozila istom brzinom, dok je Eva od grada $A$ do grada $B$ vozila $13\,\mathrm{km/h}$ sporije od Marije, a od grada $B$ do grada $C$ $13\,\mathrm{km/h}$ brže od Marije. Koliko su udaljeni gradovi $A$ i $C$?

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $A$ u šiljastokutnome trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na $AB$ i $AC$, a točke $G$ i $H$ redom su nožišta okomica iz $E$ i $F$ na $AD$. Ako je $|AH| = |HG| = |GD| = 2$, odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$, $m < n$, takve da je razlika umnoška prvih $n$ prirodnih brojeva i umnoška prvih $m$ prirodnih brojeva broj oblika $600^k$ pri čemu je $k$ prirodan broj.

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\frac{a^2 + b^2 + ab - 4a - 2b + 7}{a^2 + b^2 - 4a + 6},$$

pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi.

Na ploču dimenzija $4 \times 4$ treba rasporediti određeni broj žetona tako da se na nekim poljima nalazi po jedan žeton, a neka su polja prazna. Za raspored žetona kažemo da je siguran ako se svaki žeton nalazi na polju kojemu su sva susjedna polja prazna (dva polja smatraju se susjednima ako imaju zajedničku stranicu). Za koji najmanji prirodan broj $k$ postoji siguran raspored $k$ žetona takav da se na ploču ne može dodati nijedan žeton, a da raspored i dalje bude siguran?

Nad jednom stranicom pravokutnika kao promjerom nacrtan je polukrug. Uniju toga pravokutnika i polukruga nazivamo prozorom. Poznato je da je opseg prozora 4 m. Odredi promjer polukruga tako da površina prozora bude najveća moguća.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - y} = z - 1 \\ \sqrt{y^{2} - z} = x - 1 \\ \sqrt{z^{2} - x} = y - 1. \end{array} \right.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^{2} - ax + b = 0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^{2} - bx + (5a - 5) = 0$ dva različita složena prirodna broja.

Dan je raznostraničan trokut $ABC$. Neka je $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Okomica na pravac $CP$ u točki $P$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $X$ i $Y$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$ te $Y$ između $B$ i $C$. Pretpostavimo da vrijedi $|AX| \cdot |AC| = |BY| \cdot |BC|$. Dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Dana je ploča dimenzija $10 \times 10$. U gornjem lijevom polju ploče nalazi se muha. Muha se može kretati na dva načina – korakom i letom. Korak je pomak na polje neposredno ispod ili desno od polja na kojem se trenutno nalazi. Letom muha prelazi sa zadnjeg (krajnjeg desnog) polja na prvo (krajnje lijevo) polje u istom retku ili sa zadnjeg (donjeg) polja na prvo (gornje) polje u istom stupcu.

Koji je najmanji broj letova koje muha mora napraviti da bi posjetila svako polje ploče točno jednom?

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju

$$2 \cos^2 \left(\frac{x + 2y}{4}\right) = 2^x + 2^{-x}.$$

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\left| 8 \cdot 5^m - n^2 \right|,$$

pri čemu su $m$ i $n$ prirodni brojevi.

Dokaži da za svaki prirodan broj $n$ djeljiv s 4 vrijedi

$$\sin^2 \left(\frac{2\pi}{n}\right) + \sin^2 \left(2 \cdot \frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin^2 \left((n - 1) \cdot \frac{2\pi}{n}\right) + \sin^2 \left(n \cdot \frac{2\pi}{n}\right) = \frac{n}{2}.$$

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Simetrale šiljastih kutova sijeku nasuprotne stranice u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište visine iz vrha $C$ s dužinom $\overline{MN}$. Dokaži da je duljina $|CP|$ jednaka polumjeru upisane kružnice trokuta $ABC$.

U ravnini je dano osam točaka koje su vrhovi pravilnoga osmerokuta. Svake dvije točke spojene su dužinom. U svakome potezu odabiru se tri točke te se brišu tri dužine kojima su te točke krajnje. Koliki je najmanji mogući broj preostalih dužina u trenutku kad nije više moguće napraviti takav potez?

Dani su aritmetički niz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ i geometrijski niz $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ takvi da su im svi članovi pozitivni realni brojevi i da vrijedi

$$a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad \text{i} \quad a_{10} = b_3.$$

Dokaži da se svaki član niza $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ pojavljuje u nizu $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Za koje realne brojeve $a$ sustav

$$\left\{ \begin{array}{l} (1 + i) \cdot z + (1 - i) \cdot \bar{z} = 2a \\ |z + 1 - i| = \sqrt{2} \end{array} \right.$$

ima točno jedno rješenje u skupu kompleksnih brojeva?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$n \cdot 2^m + m = m \cdot 2^n + n.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABH$ u točki $A$ siječe pravac $CH$ u točki $K$, a tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AHC$ u točki $A$ siječe pravac $BH$ u točki $L$. Dokaži da točke $B, C, K$ i $L$ pripadaju istoj kružnici.

Za neparni prirodan broj $n > 1$ na ploči su napisani brojevi $n, n+1, \ldots, 2n-1$. Dokaži da se s ploče može izbrisati jedan broj tako da zbroj preostalih brojeva na ploči ne bude djeljiv nijednim od preostalih brojeva na ploči.