Grade 9

Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$(p^2 + p + 1)(q^2 + q + 1) \geq 9pq.$$

Kugla polumjera $R$ presječena je s dvije paralelne ravnine tako da je središte kugle izvan sloja određenog tim ravninama. Neka su $P_1$ i $P_2$ površine presjeka, a $d$ međusobna udaljenost danih ravnina. Nađite površinu presjeka kugle ravninom koja je paralelna danim ravninama i jednako od njih udaljena.

Odredite četveroznamenkasti broj oblika $\overline{aabb}$ koji je potpuni kvadrat.

Dokažite da se svaki poligon opsega $1$ može prekriti krugom polumjera $\frac{1}{4}$.

Za koje $n \in \mathbb{N}$ je izraz $\frac{\sqrt{7} + 2\sqrt{n}}{2\sqrt{7} - \sqrt{n}}$ cjelobrojan?

Nači najmanju vrijednost zbroja $$S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$$ pri čemu su $x, y, z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Za koje brojeve se ona dostiže?

Površina pravokutnog trokuta jednaka je umnošku udaljenosti krajeva hipotenuze od njezinog dirališta s upisanom kružnicom. Dokaži!

Da li jednadžba $y^2 = x^2 + 1990$ ima cjelobrojno rješenje?

Riješi sustav jednadžbi $$|x - 3| + |y + 2| = 1$$ $$|x + 1| - |y - 1| = 2, \quad x, y \in \mathbb{R}$$ i skiciraj skup rješenja u koordinatnoj ravnini.