Grade 11

Neka je $$A = \frac{\sin 1°}{\cos 0° \cos 1°} + \frac{\sin 5°}{\cos 2° \cos 3°} + \cdots + \frac{\sin 177°}{\cos 88° \cos 89°}$$ i $$B = \operatorname{tg} 91° + \operatorname{tg} 92° + \cdots + \operatorname{tg} 179° + \operatorname{tg} 180°.$$ Izračunaj $A + B$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\left(2 + \sqrt{5}\right)^{x^2 - 4x + 2} + \left(\sqrt{5} - 2\right)^{x^2 - 4x + 2} = 18.$$

Postoje li prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da su $$\log_a (bc + 1), \quad \log_b (ca + 1) \quad \mathrm{i} \quad \log_c (ab + 1)$$ također prirodni brojevi?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|BC| < |CA|$. Središte njegove upisane kružnice je točka $I$, a $k$ mu je opisana kružnica. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta kraćih lukova nad tetivama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ kružnice $k$. Pravac kroz $C$ paralelan s $MN$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $P$. Pravac $PI$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $T$. Dokaži da vrijedi $$|MP| \cdot |MT| = |NP| \cdot |NT|.$$

Na pravcu $p$ označeno je 2026 točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal{T}$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$.

Josip može brisati točke skupa $\mathcal{T}$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal{T}$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova.

Odredi broj Josipovih točaka.

Odredi sve parove pozitivnih realnih brojeva $(x,y)$ koji su rješenja sustava jednadžba $$x^{x+y} = y^{180}$$ $$y^{x+y} = x^{45}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Svakom je vrhu kvadrata pridružen cijeli broj. Broj pridružen vrhu može se zamijeniti zbrojem brojeva pridruženih dvama od ostalih vrhova.

Dokaži da je uvijek (neovisno o odabiru početnih brojeva pridruženih vrhovima) nizom opisanih zamjena moguće postići da brojevi pridruženi svim četirima vrhovima budu djeljivi s $n$.

Tablica dimenzija $2025 \times 2025$ popunjena je tako da se u polju u $i$-tome retku i $j$-tome stupcu nalazi broj $i + j - 1$, za sve $i, j \in \{1, 2, \ldots, 2025\}$. Odabrano je 2025 polja koja se nalaze u različitim retcima i različitim stupcima.

Koja je najmanja moguća vrijednost umnoška brojeva na odabranim poljima?

Neka je $D$ točka unutar trokuta $ABC$ i neka je $E$ točka na dužini $\overline{AD}$ različita od $A$ i $D$. Opisane kružnice trokuta $BDE$ i $CDE$ sijeku stranicu $\overline{BC}$ redom u točkama $F$ i $G$. Neka je $X$ sjecište pravaca $DG$ i $AB$, a $Y$ sjecište pravaca $DF$ i $AC$.

Dokaži da su pravci $XY$ i $BC$ paralelni.

Za različite prirodne brojeve $m$ i $n$ kažemo da su prijatelji ako postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji nisu djeljivi sa 101 takvi da je $$\frac{(m!)^n}{(n!)^m} = \frac{a}{b}.$$

Postoji li prosti broj koji ima točno 12 prijatelja?

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\log_2(4^x + 2^x) + \log_{(4^x + 2^x)}2 = 2.$$

Postoje li realni brojevi $x, y \in \langle 0, \frac{\pi}{2} \rangle$ takvi da su $$\frac{1}{\sin x}, \quad \frac{1}{\sin y} \quad \text{i} \quad \frac{1}{\sin(x + y)}$$ prirodni brojevi?

Dan je jednakostranični trokut $ABC$. Dužina $\overline{AD}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$, a pritom je $\measuredangle BAD = 20°$ i $|DE| = |AB|$. Odredi $\measuredangle ADB$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $1 < a < b$ i da vrijedi $$a + b \mid ab + 1 \quad \text{i} \quad b - a \mid ab - 1.$$

Dokaži da je $b < a\sqrt{3}$.

U igri za dva igrača koristi se 101 praznih kutija i dovoljna količina žetona. Igrači, Ema i Lovro, naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu, igrač stavlja po jedan žeton u sto različitih kutija. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza u jednoj od kutija bude 201 žeton. Ako Ema igra prva, koji od igrača može osigurati pobjedu?

Koliko ima prirodnih brojeva $n$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina

$$3, \quad \log_2 n \quad \text{i} \quad \log_4 n \quad ?$$

Označimo s $\tau(n)$ broj prirodnih djelitelja broja $n$. Prirodni brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju jednakost

$$a + \tau(a) = b^2 + 2.$$

Dokaži da je broj $a + b$ paran.

Dan je trokut $ABC$. Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ sjecište simetrale kuta $\measuredangle CBA$ s nasuprotnom stranicom. Ako je $\measuredangle BEA = 45°$, odredi $\measuredangle EDC$.

Odredi najmanji prirodan broj $n$ za koji postoje realni brojevi $x_1, \ldots, x_n \in [1, 4]$ koji zadovoljavaju nejednakosti:

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + \ldots + x_n &\geq \frac{7}{3} n, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} &\geq \frac{2}{3} n. \end{aligned}$$

Na ploči dimenzija $3 \times 2023$ koja je na početku prazna igra se igra za dva igrača koji naizmjence vuku poteze. U pojedinom potezu igrač odabire dva prazna polja koja se nalaze u istom retku ili istom stupcu te stavlja po jedan žeton na ta polja. Gubi igrač koji ne može odigrati dopušteni potez.

Ako Kristina igra prva, a Ana druga, koja od njih može osigurati svoju pobjedu?

Odredi sve realne brojeve $a$ takve da nejednakost $$\cos(2x) + 2a\cos x + 7 \geq 0$$ vrijedi za sve realne brojeve $x$.

Odredi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da je $$a^2 = 4b + 3 \cdot V(a, b),$$ pri čemu $V(m,n)$ označava najmanji zajednički višekratnik brojeva $m$ i $n$.

Na stranici $\overline{AB}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $D$. Neka su $X$ i $Y$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ADC$ i $BCD$. Dokaži da vrijedi $$P(XDY) \geq \frac{1}{4} P(ABC),$$ gdje je $P(KLM)$ površina trokuta $KLM$. Kada vrijedi jednakost?

U ravnini kvadrata $ABCD$, ali izvan njega, nalazi se točka $P$. Ako je $$|PA| = \sqrt{5}, \quad |PB| = \sqrt{26} \quad \text{i} \quad |PD| = \sqrt{20},$$ odredi duljinu stranice kvadrata.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje ne postoje prirodni brojevi $a, b, c$ takvi da je $n = a^2 + b^3 + c^6$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ među čijim djeliteljima postoje djelitelji $a$ i $b$ takvi da je $$a + b = n - 1.$$

Neka je $\alpha = \frac{2\pi}{2021}$. Izračunaj $$\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \ldots \cdot \cos 1010\alpha.$$

Na kraćem luku $\widehat{CD}$ kružnice opisane kvadratu $ABCD$ nalazi se točka $M$. Neka su $P$ i $Q$ redom sjecišta pravca $AM$ s $\overline{BD}$ i $\overline{CD}$ te neka su $R$ i $S$ redom sjecišta pravca $BM$ s $\overline{AC}$ i $\overline{CD}$. Dokaži da su dužine $\overline{PS}$ i $\overline{QR}$ međusobno okomite.

Zapisan je niz od $n$ realnih brojeva među kojima je barem jedan pozitivan. Od članova tog niza označeni su

(a) svi pozitivni brojevi te

(b) svi brojevi kojima započinje neki niz uzastopnih članova tog niza pozitivnog zbroja.

Dokaži da je zbroj svih označenih brojeva pozitivan.

U raznostraničnom trokutu $ABC$ duljine dviju visina jednake su duljinama dviju težišnica. Koliki je omjer duljina preostale visine i preostale težišnice?

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a + b = cd, \quad ab = c + d.$$

Dana su četiri različita realna broja iz intervala $\langle 0, 1\rangle$. Dokaži da među njima postoje dva broja, $x$ i $y$, takva da vrijedi $$0 < x\sqrt{1 - y^2} - y\sqrt{1 - x^2} < \frac{1}{2}.$$

Za točku $L$ koja se nalazi unutar trokuta $ABC$ vrijedi $$\measuredangle LBC = \measuredangle LCA = \measuredangle LAB = \measuredangle CAL.$$

Dokaži da je umnožak duljina dviju stranica tog trokuta jednak kvadratu duljine treće stranice.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0, 0)$, $(A, 0)$, $(A, B)$ i $(0, B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n, k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AC| = 5$. Označimo $\alpha = \measuredangle BAC$. Izračunaj

$$\sin^6 \frac{\alpha}{2} + \cos^6 \frac{\alpha}{2}.$$

Četvorku prirodnih brojeva $(a, b, c, d)$ zovemo zelenom ako vrijedi

$$b = a^2 + 1, \quad c = b^2 + 1, \quad d = c^2 + 1$$

i $D(a) + D(b) + D(c) + D(d)$ je neparan, pri čemu je $D(k)$ broj pozitivnih djelitelja prirodnog broja $k$.

Koliko ima zelenih četvorki čiji su svi članovi manji od 1 000 000?

Na ploču dimenzija $20 \times 19$ postavljene su pločice dimenzija $3 \times 1$ tako da prekrivaju točno tri polja ploče, a međusobno se ne preklapaju i ne dodiruju, čak ni u vrhovima.

Odredi najveći mogući broj pločica $3 \times 1$ na toj ploči.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2a - 1} + \frac{b^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2b - 1} + \frac{c^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2c - 1} \leq 3.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ takav da je $|BC| < |CA| < |AB|$. Neka su $D$, $E$ i $F$ redom nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$. Pravac točkom $F$ paralelan s $DE$ siječe pravac $BC$ u točki $M$, a simetrala kuta $\measuredangle MFE$ siječe pravac $DE$ u točki $N$.

Dokaži da je točka $F$ središte kružnice opisane trokutu $DMN$ ako i samo ako je točka $B$ središte kružnice opisane trokutu $FMN$.

Dokaži da za svaki realni broj $x$ vrijedi $$\cos^3 \frac{x}{3} + \cos^3 \frac{x + 2\pi}{3} + \cos^3 \frac{x + 4\pi}{3} = \frac{3}{4} \cos x.$$

Neka je $S = \{0,95\}$. U svakom koraku Lucija proširuje skup $S$ tako da odabire neki polinom s koeficijentima iz $S$, različit od nulpolinoma, te skupu $S$ dodaje sve cjelobrojne nultočke tog polinoma. Postupak nastavlja odabirom drugog polinoma s koeficijentima iz tako proširenog skupa $S$ dok god na taj način može dobiti nove nultočke.

Dokaži da Lucija može konačnim nizom koraka proširiti skup $S$ do skupa koji nije moguće dalje proširiti. Koliko elemenata tada ima skup $S$?

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a,b)$ za koje $a^2b$ dijeli $b^2 + 3a$.

Zadan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom. Neka je $P$ sjecište pravca $AN$ s opisanom kružnicom trokuta $AMC$, različito od $A$. Pravac kroz točku $P$ paralelan s $BC$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $B_1$ i $C_1$. Dokaži da je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan.

Dva igrača naizmjence zapisuju po jednu znamenku, redom slijeva nadesno. Igrač gubi ako je nakon njegovog poteza napisan niz znamenaka $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ za koji postoji prirodni broj $k$ takav da je broj $\overline{a_k a_{k+1} \ldots a_n}$ djeljiv s 11.

Koji igrač može pobijediti neovisno o igri protivnika?

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$$

za neke realne brojeve $x$, $y$ i $z$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi različite parnosti. Dokaži da broj $(a + 3b)(5a + 7b)$ nije kvadrat prirodnog broja.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da za sve realne brojeve $x$ vrijedi

$$P(x^2) + 2P(x) = (P(x))^2 + 2.$$

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ s visinama $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ te ortocentrom $H$. Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{AD}$ sijeku se u točki $G$. Dužina $\overline{AK}$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABC$ i siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $M$. Dokaži da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.

Neka je $C$ prirodni broj manji od 2017. Točno $C$ vrhova pravilnog 2017-erokuta je crveno, a svi ostali vrhovi su plavi. Dokaži da broj jednakokračnih trokuta čija su sva tri vrha iste boje ne ovisi o rasporedu crvenih i plavih vrhova.