Grade 11

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $|AD| = |CD|$ i $\measuredangle ADC = 90°$. Ako je $|AB| = a$, $|BC| = b$, $|BD| = d$, $\measuredangle ABC = \beta$, dokaži da vrijedi $$2d^2 = a^2 + b^2 + 2ab \sin \beta.$$

Dokaži da ne postoji prirodni broj $k$ takav da su $$k + 4 \quad \text{i} \quad k^2 + 5k + 2$$ kubovi nekih prirodnih brojeva.

Neka su $x$, $y$ i $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $xyz = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x^6 + 2}{x^3} + \frac{y^6 + 2}{y^3} + \frac{z^6 + 2}{z^3} \geqslant 3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right).$$

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $ABH$ ima središte $S$ i siječe dužinu $\overline{BC}$ u točkama $B$ i $D$. Neka je $P$ presjek pravca $DH$ i dužine $\overline{AC}$, te neka je $Q$ središte opisane kružnice trokuta $ADP$. Dokaži da je četverokut $BDQS$ tetivan.

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|BC| + |AC| = 2|AB|$ i $\measuredangle BAC - \measuredangle CBA = 90^\circ$.

Odredi kosinus kuta $\measuredangle ACB$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$2^m p^2 + 1 = n^5.$$

U nekoj državi između svaka dva grada postoji ili izravna autobusna ili izravna željeznička veza (sve veze su dvosmjerne i ne prolaze ni kroz jedan drugi grad).

Dokaži da je gradove u toj državi moguće rasporediti u dva disjunktna skupa tako da je sve gradove u jednom skupu moguće obići putujući samo željeznicom tako da se nijedan grad ne posjeti dvaput, a sve gradove u drugom skupu putujući samo autobusom tako da se nijedan grad ne posjeti dvaput.

Na stranici $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $D$ i $E$ tako da je točka $D$ između $C$ i $E$. Neka je $F$ sjecište kružnice opisane trokutu $ABD$ s pravcem koji prolazi kroz točku $E$ i paralelan je s $BC$ tako da se točke $E$ i $F$ nalaze s različitih strana pravca $AB$. Neka je $G$ sjecište kružnice opisane trokutu $BCD$ s pravcem koji prolazi kroz točku $E$ i paralelan je s $AB$ tako da se točke $E$ i $G$ nalaze s različitih strana pravca $BC$.

Dokaži da točke $D$, $E$, $F$ i $G$ leže na istoj kružnici.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c \geqslant 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a - bc}{a + bc} + \frac{b - ca}{b + ca} + \frac{c - ab}{c + ab} \leqslant \frac{3}{2}.$$

Neka je $ABC$ jednakostranični trokut sa stranicama duljine $1$. Točka $X$ na polupravcu $AB$ i točka $Y$ na polupravcu $AC$ odabrane su tako da su $|AX|$ i $|AY|$ prirodni brojevi. Može li polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$ biti $\sqrt{2014}$?

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $P$ takva da je

$$\measuredangle APB = \measuredangle CBA + \measuredangle ACB, \quad \measuredangle BPC = \measuredangle ACB + \measuredangle BAC.$$

Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AC| \cdot |BP|}{|BC|} = \frac{|BC| \cdot |AP|}{|AB|}.$$

Postoje li prirodni brojevi $m$ i $n$ za koje su $m^2 + n$ i $n^2 + m$ kvadrati prirodnih brojeva?

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} \geqslant \frac{3a + 2b - c}{4}.$$

Na kružnici duljine $6N$ označeno je $3N$ točaka koje dijele tu kružnicu na ukupno $3N$ lukova: $N$ lukova duljine $1$, $N$ lukova duljine $2$ i $N$ lukova duljine $3$.

Dokaži da među označenim točkama postoje dvije koje su krajnje točke nekog promjera te kružnice.

Odredi nenegativni realni broj $a$ tako da vrijednost izraza

$$a^3 - a^2 - 2\sqrt{a}$$

bude najmanja moguća.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoje prirodni brojevi $x$ i $y$ takvi da vrijedi

$$\left\{ \begin{aligned} p + 1 &= 2x^2 \\ p^2 + 1 &= 2y^2. \end{aligned} \right.$$

Dokaži da je među bilo koja četiri broja iz intervala $\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ moguće odabrati dva broja, nazovimo ih $x$ i $y$, tako da vrijedi

$$8 \cos x \cos y \cos (x - y) + 1 > 4 \left(\cos^2 x + \cos^2 y\right).$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i $H$ njegov ortocentar. Pravac kroz točku $A$ okomit na $\overline{AC}$ i pravac kroz točku $B$ okomit na $\overline{BC}$ sijeku se u točki $D$. Kružnica sa središtem u točki $C$ koja prolazi točkom $H$ sijeće kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $E$ i $F$.

Dokaži da vrijedi $|DE| = |DF| = |AB|$.

Na natjecanju je sudjelovalo $n$ učenika i svaki učenik je riješio točno tri zadatka. Za svaka dva učenika postoji točno jedan zadatak koji su obojica riješila, a svaki zadatak je riješilo točno $k$ učenika. Za koje vrijednosti prirodnih brojeva $n$ i $k$ je to moguće?

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n \geqslant 2$ takav da je funkcija $$f(x) = \cos(x\sqrt{1}) + \cos(x\sqrt{2}) + \cdots + \cos(x\sqrt{n})$$ periodična.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ i $E$ točka na dužini $\overline{BD}$ tako da vrijedi $\measuredangle ABC = \measuredangle DAE = \measuredangle AED$. Dokaži da je $|BE| = 2|CD|$.

Za dani prosti broj $p$ odredi sve cijele brojeve $n$ takve da je $\sqrt{n^2 + pn}$ cijeli broj.

Duljine stranica četverokuta su cjelobrojne, a svaka od njih je djelitelj zbroja preostalih triju duljina. Dokaži da su bar dvije stranice tog četverokuta sukladne.

Na ploči su zapisani neki cijeli brojevi. U svakom koraku odabiremo brojeve $a$ i $b$ koji se nalaze na ploči, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve $3a - b$ i $13a - 3b$.

Ako su na početku na ploči brojevi $1, 2, 3, 4, \ldots, 2011, 2012$, mogu li se nakon konačnog broja koraka na ploči nalaziti brojevi $2, 4, 6, 8, \ldots, 4022, 4024$?

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$, u kojem je $M$ polovište katete $\overline{BC}$. Dokaži da je $\sin(\measuredangle MAB) \leqslant \dfrac{1}{3}$. Kada se postiže jednakost?

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu

$$x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1.$$

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $|AD| < |CD|$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\measuredangle APC$ pravi kut. Ako je $\measuredangle ABP = \measuredangle BCP$, odredi $|AD| : |CD|$.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i $k$ prirodan broj takav da vrijedi

$$ab + bc + ca \geqslant 3k^2 - 1.$$

Dokaži da je $\frac{1}{3}(a^3 + b^3 + c^3) \geqslant abc + 3k$.

Svako polje ploče $1000 \times 1000$ obojano je crnom ili bijelom bojom. Ukupan broj crnih polja na ploči je za $2012$ veći od ukupnog broja bijelih polja. Dokaži da postoji kvadrat $2 \times 2$ koji sadrži tri polja jedne boje i jedno polje druge boje.

Neka je točka $S$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ s kutovima $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$. Neka pravac $CS$ siječe pravac $AB$ u točki $D$ koja se nalazi između točaka $A$ i $B$. Dokaži da vrijedi $$\frac{|SD|}{|SC|} = \left| \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} \right|.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $x$ i $y$ za koje je $\dfrac{xy^2}{x + y}$ prosti broj.

Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $AB$ i $AC$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $|AC| = 2|OP|$, dokaži da vrijedi $|AB| = 2|OQ|$.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n$ vrijedi nejednakost: $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_i + \cdots + x_n)^2 \geqslant n (x_1 x_2 + x_2 x_3 + \cdots + x_i x_{i+1} + \cdots + x_n x_1).$$

Na natjecanju je bilo $30$ strijelaca. Svaki natjecatelj gađa $16$ puta metu koja je podijeljena na dva dijela, A i B. Ako pogodi u dio A natjecatelj dobiva $10$ bodova, a ako pogodi u dio B dobiva $5$ bodova. Na kraju natjecanja utvrđeno je da je broj pogodaka u dio B veći od polovine ukupnog broja odapetih strelica te da je ukupan broj promašaja jednak ukupnom broju pogodaka u dio A.

Dokaži da su barem dva natjecatelja ostvarila isti broj bodova.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $6^m + 2^n + 2$ potpun kvadrat.

Neka je $ABC$ trokut u kojem vrijedi $|AC| > |BC|$. Izrazi površinu trokuta određenog stranicom $\overline{AB}$, simetralom stranice $\overline{AB}$ i simetralom kuta $\measuredangle ACB$ pomoću duljina stranica trokuta $ABC$.

Neka je $ABC$ trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ i neka je $P$ točka u njegovoj unutrašnjosti. Neka pravac $AP$ ponovno siječe kružnicu opisanu trokutu $BCP$ u točki $A'$ i neka su $B'$ i $C'$ točke definirane analogno. Dokaži da za opseg $O$ šesterokuta $AB'CA'BC'$ vrijedi $$O \geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}).$$

Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2}.$$

Dokaži da za svaki $m \in \{1, 2, \ldots, n\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ čiji je zbroj barem $m$.

U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.

Duljine stranica trokuta su tri uzastopna prirodna broja, a jedan od kutova trokuta je dvaput veći od jednog od preostalih dvaju kutova. Odredi duljine stranica trokuta.

Neka su $x_1$, $x_2$, ..., $x_{n-1}$, $x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n} x_i = 1$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x_1^2}{x_1 + x_2} + \frac{x_2^2}{x_2 + x_3} + \ldots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1} + x_n} + \frac{x_n^2}{x_n + x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

Bočni brid pravilne trostrane piramide je $b = 1$, a njezin obujam je $V = \dfrac{1}{6}$. Koliki je kut pri vrhu bočne strane?

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

U trokutu $ABC$ s kutom $\measuredangle BAC = 120^{\circ}$ simetrale kutova $\measuredangle BAC$, $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle BCA$ sijeku nasuprotne stranice u točkama $D$, $E$ i $F$ redom. Dokažite da kružnica s promjerom $\overline{EF}$ prolazi kroz $D$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ udaljenosti od vrha $A$ do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut $\alpha = \measuredangle BAC$.

Deset brojeva $1$, $4$, $7$, ..., $28$ (razlika dvaju uzastopnih je $3$) raspoređeno je u krug. Sa $N$ označimo najveću od deset suma koje dobivamo tako da svaki od brojeva zbrojimo s dva njemu susjedna broja. Koja je najmanja vrijednost broja $N$ koju možemo postići?

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c = \dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $a > b$. Dokaži da za kutove $\alpha$ i $\beta$, nasuprotne stranicama $a$ i $b$, vrijedi $\alpha - \beta = 90°$.