Grade 11

U pravokutnom trokutu $ABC$ stranica $AB$ je hipotenuza, a težišnice $AA'$ i $BB'$ se sijeku u težištu $T$. Dokažite da je $\cos \angle ATB' \ge \dfrac{4}{5}$ i da jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut jednakokračan.

Unutar kružnice polumjera $R$ nalazi se $n$ manjih kružnica polumjera $r_1, r_2, \ldots, r_n$ takvih da je $r_1 + r_2 + \ldots + r_n > 4R$. Dokažite da postoji pravac koji siječe barem $5$ manjih kružnica.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \ge 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Brojevi $1, 2, 7$ imaju svojstvo $1 \cdot 2 + 2 = 2^2$, $1 \cdot 7 + 2 = 3^2$, $2 \cdot 7 + 2 = 4^2$. Dokažite da ne postoje četiri različita prirodna broja sa svojstvom da je produkt svaka dva među njima uvećan za $2$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Neka su $z$ i $w$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z| = |w| = |z - w|$. Izračunajte $\left(\dfrac{z}{w}\right)^{1992}$.

Dva sukladna pravokutnika postavljena su tako da se njihovi rubovi sijeku u $8$ točaka. Dokažite da je površina njihovog presjeka veća od polovine površine svakog od njih.

Defektna $d \times d$ šahovska ploča je $d \times d$ šahovska ploča s uklonjenim jednim kvadratićem (bilo kojim). Dokažite da se svaka defektna $2^n \times 2^n$, $n \in \mathbb{N}$ šahovska ploča može pokriti trionimima, figurama od tri polja u obliku slova L.