Grade 12

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(xy + 1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2.$$

U jednom retku redom su napisani brojevi $1, 2, \dots, 2016$. U svakom idućem retku napisani su redom zbrojevi dvaju susjednih brojeva. Npr. u drugom retku su napisani brojevi $3, 5, \dots, 4031$. U zadnjem retku je samo jedan broj. Koji je to broj?

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $$\measuredangle BAC = 48°, \quad \measuredangle CAD = 66°, \quad \measuredangle CBD = \measuredangle DBA.$$ Odredi kut $\measuredangle BDC$.

Nađi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ takve da vrijedi $3^m + 7^n = k^2$.

U utrci sudjeluje 200 biciklista. Na početku utrke biciklisti su poredani jedan iza drugoga. Kažemo da neki biciklist pretječe ako mijenja mjesto s biciklistom neposredno ispred sebe. Tijekom utrke poredak se mijenja samo kad neki biciklist pretječe.

Neka je $A$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao točno jednom, te neka je $B$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao najviše jednom. Dokaži da vrijedi $$2A = B.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x y) (x + f (y)) = x ^ {2} f (y) + y ^ {2} f (x).$$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka su $A'$, $B'$, $C'$ redom nožišta okomica povučenih iz težišta trokuta $ABC$ na pravce $BC$, $CA$, $AB$. Odredi omjer površina trokuta $A'B'C'$ i $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji djelitelj $d$ broja $n$ takav da

$$d n + 1 \mid d ^ {2} + n ^ {2}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve pozitivne realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\frac {2 ^ {2}}{x + 1} + \frac {3 ^ {2}}{x + 2} + \dots + \frac {(n + 1) ^ {2}}{x + n} + n x ^ {2} = n x + \frac {n (n + 3)}{2}.$$

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljaju se tromino-pločice oblika slova L (vidi sliku) tako da svaka tromino-pločica prekriva točno tri polja ploče, a međusobno se ne prekrivaju.

Koliko je najmanje tromino-pločica potrebno postaviti na ploču ako želimo da se nakon toga više ne može postaviti nijedna dodatna tromino-pločica?

Za prirodni broj $n$ označimo sa $s(n)$ zbroj njegovih pozitivnih djelitelja, a sa $d(n)$ broj njegovih pozitivnih djelitelja. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da vrijedi

$$s(n) = n + d(n) + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) f(y) = f(x + y) + xy.$$

Dano je $2014$ žetona koji su s jedne strane crne, a s druge bijele boje i ploča dimenzija $2014 \times 1$. Na početku se na svakom polju ploče nalazi po jedan žeton, okrenut na crnu ili na bijelu stranu. U svakom potezu dozvoljeno je ukloniti jedan žeton okrenut na crnu stranu i istovremeno preokrenuti žetone na susjednim poljima (ako nisu već uklonjeni).

Odredi sve početne rasporede žetona za koje je nizom takvih poteza moguće ukloniti sve žetone.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta opsega $1$. Dokaži da vrijedi

$$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut takav da vrijedi

$$\measuredangle BAD = 90^\circ, \quad \measuredangle BAC = 2\measuredangle BDC \quad \text{i} \quad \measuredangle DBA + \measuredangle DCB = 180^\circ.$$

Odredi mjeru kuta $\measuredangle DBA$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak svih pozitivnih djelitelja broja $n$ jednak $n^3$. Prikaži ih u kanonskom obliku, tj. pomoću rastava na proste faktore.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_1 = 2$, $a_n = 2(n + a_{n-1})$ za $n \geqslant 2$.

Dokaži da je $a_n < 2^{n+2}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi. Poznato je da parabola $y = ax^2 + b$ siječe krivulju $y = x + \dfrac{1}{x}$ u točno tri točke. Dokaži da vrijedi $3ab < 1$.

Neka su $k_1$ i $k_2$ kružnice s promjerima $\overline{AP}$ i $\overline{AQ}$. Neka je $T$ drugo sjecište kružnica $k_1$ i $k_2$. Neka je $Q'$ drugo sjecište kružnice $k_1$ i pravca $AQ$, a $P'$ drugo sjecište kružnice $k_2$ i pravca $AP$. Kružnica $k_3$ prolazi točkama $T$, $P$ i $P'$, a kružnica $k_4$ točkama $T$, $Q$ i $Q'$.

Dokaži da pravac na kojem leži zajednička tetiva kružnica $k_3$ i $k_4$ prolazi točkom $A$.

Dokaži da bilo koji $2001$-člani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,3000\}$ sadrži tri elementa od kojih su svaka dva međusobno relativno prosta.

a) Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi. Dokaži da je broj $x^n + y^n$ cijeli za svaki prirodni broj $n$.

b) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi.

c) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^3 + y^3$ cijeli, ali $x^4 + y^4$ nije cijeli broj.

Neka su $p_1$ i $q_1$ cijeli brojevi takvi da jednadžba $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ definiramo brojeve $p_{n+1}$ i $q_{n+1}$ formulama $$p_{n+1} = p_n + 1, \quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2} p_n.$$

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2 + p_nx + q_n = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja.

Dan je trokut s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$. Ako je mjera jednog kuta trokuta $60^\circ$, dokaži da je simetrala tog kuta okomita na pravac $OH$.

Neka su $n$ i $d$ prirodni brojevi takvi da $d$ dijeli $2n^2$. Dokaži da broj $n^2 + d$ nije potpun kvadrat.

Za dva polja tablice $10 \times 10$ kažemo da su prijateljska ako imaju barem jedan zajednički vrh. U svako polje tablice upisan je po jedan prirodni broj manji ili jednak $10$, tako da su brojevi u prijateljskim poljima relativno prosti. Dokaži da postoji broj koji se pojavljuje u toj tablici barem $17$ puta.

Dokaži da je za svaki $k \in \mathbb{N}_0$ moguće odabrati $4 \cdot 2^k$ različitih prirodnih brojeva koji nisu veći od $5 \cdot 3^k$, tako da među njima ne postoje tri uzastopna člana aritmetičkog niza.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi:

$$f(x^2 + f(y)) = y - x^2.$$

Na koliko načina se broj $\dfrac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\dfrac{n + 1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.

Upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Središte te kružnice je točka $S$, a pravac $DS$ siječe dužinu $\overline{EF}$ u točki $P$. Ako je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$, dokaži da su točke $A$, $P$ i $M$ kolinearne.

Neka je $P_1, P_2, \ldots, P_{2n}$ permutacija vrhova pravilnog $2n$-terokuta. Dokaži da zatvorena poligonalna linija koja se sastoji od dužina

$$\overline{P_1P_2}, \overline{P_2P_3}, \ldots, \overline{P_{2n-1}P_{2n}}, \overline{P_{2n}P_1}$$

sadrži barem jedan par paralelnih dužina.

a) Neka je $k$ prirodni broj. Dokaži da aritmetički niz čija je razlika prirodni broj ili ne sadrži niti jednu $k$-tu potenciju prirodnog broja ili ih sadrži beskonačno mnogo.

b) Postoji li aritmetički niz čija je razlika prirodni broj koji sadrži beskonačno mnogo kubova prirodnih brojeva, ali ne sadrži niti jedan kvadrat prirodnog broja?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ za koje vrijede sljedeća dva uvjeta:

i) $f(n)f(-n) = f(n^{2})$ za sve $n \in \mathbb{Z}$,

ii) $f(m + n) = f(m) + f(n) + 2mn$ za sve $m, n \in \mathbb{Z}$.

Za dani prirodni broj $n$ neka je $M(n)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M(n)}\in \{2,3,\ldots ,n\}$ tako da vrijedi:

Za svaka dva različita broja $i,j\in \{1,2,\ldots ,M(n)\}$ brojevi $2^{x_i} - 1$ i $2^{x_j} - 1$ su relativno prosti.

Ako je $M(k) = M(k - 1)$ za neki prirodni broj $k > 1$, dokaži da je $k$ složen.

Konveksni četverokut podijeljen je dijagonalama na četiri trokuta čije su upisane kružnice sukladne. Dokaži da je taj četverokut romb.

U tablicu $n \times n$, $n \geqslant 2$, potrebno je upisati brojeve $1$, $2$, $3$ i $4$ tako da svaka četiri polja koja imaju jedan zajednički vrh sadrže četiri različita broja.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Neka je $\overline{CH}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$, a točka $O$ središte njemu opisane kružnice. Ako je $T$ nožište okomice iz točke $C$ na pravac $AO$, dokaži da pravac $TH$ prolazi polovištem dužine $\overline{BC}$.

Dani su realni brojevi $x_0 > x_1 > x_2 > \cdots > x_n$. Dokaži da je $$x_0 - x_n + \frac{1}{x_0 - x_1} + \frac{1}{x_1 - x_2} + \cdots + \frac{1}{x_{n-1} - x_n} \geq 2n.$$

Kada vrijedi jednakost?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $$f(x) = \max_{y \in \mathbb{R}} \left(2xy - f(y)\right)$$ za svaki $x \in \mathbb{R}$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$, $m,n > 1$, za koje je $n^3 - 1$ djeljivo s $mn - 1$.

Unutar kvadrata stranice duljine $38$ smješteno je $100$ konveksnih mnogokuta, pri čemu je površina svakog od njih najviše $\pi$, a opseg najviše $2\pi$. Dokaži da unutar tog kvadrata postoji krug polumjera $1$ koji ne siječe niti jedan od danih $100$ mnogokuta.

Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve $m$ i $n$ vrijedi nejednakost

$$\frac{1}{\sqrt[m]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.$$

Odredi formulu za zbroj

$$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{n^2 - 1} \rfloor.$$

Tu je $\lfloor r\rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

Nad stranicama $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL$, $BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajedničku stranicu).

a) Ako je $D$ točka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokaži da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.

b) Dokaži da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{KN}$ i središta kvadrata $ABKL$, $BCMN$ vrhovi kvadrata.

U prostoru je dano šest različitih točaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$. Dokaži da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\measuredangle T_iOT_j \leq 90^\circ$.

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$\begin{aligned} a_0 &= 3 \\ a_n &= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1}, \quad n \geq 1. \end{aligned}$$

a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi.

b) Odredite $a_{2007}$.

Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nadite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|} + \frac{1}{|OB_1|} + \frac{1}{|OC_1|} \geq 6.$$

Dokaži da sjecište pravaca koji sadrže visine trokuta, kojeg tvore tri tangente parabole, leži na ravnalici te parabole.