Grade 12

Ako su $k$ i $n$ prirodni brojevi, dokaži da je izraz $$(n^4 - 1)(n^3 - n^2 + n - 1)^k + (n + 1)n^{4k-1},$$ djeljiv s $n^5 + 1$.

Kružnice $\mathcal{C}_1$ i $\mathcal{C}_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $\mathcal{C}_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $\mathcal{C}_1$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\measuredangle CAD$, siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $M$, kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.

Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka $A$, $B$, $C$ i $D$ i poduzeće čiji brodovi plove na linijama $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow A$).

Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$, $$a_n = a_1 \cdots a_{n-1} + 1, \quad \text{za } n \geq 2.$$ Odredite najmanji realni broj $M$ takav da je $$\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_n} < M \quad \text{za svaki } m \in \mathbb{N}.$$

Neka je $P$ polinom $n$-tog stupnja čiji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeći i slobodni koeficijent jednaki su $1$. Uz pretpostavku da su sve nultočke od $P$ realni brojevi, dokažite da za svaki $x \geq 0$ vrijedi $P(x) \geq (x + 1)^n$.

Dokažite da postoji točno jedan prirodni broj koji se u dekadskom sustavu zapisuje samo znamenkama $2$ i $5$, ima $2005$ znamenaka i djeljiv je s $2^{2005}$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut i neka su $P$ i $Q$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\measuredangle BAP = \measuredangle DAQ$. Dokažite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.

Neka je $n$ prirodan broj i neka su $z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_n$ kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ iz skupa $\{-1,1\}$ vrijedi $$|\varepsilon_1 z_1 + \ldots + \varepsilon_n z_n| \leq |\varepsilon_1 w_1 + \ldots + \varepsilon_n w_n|.$$

Dokažite da je $$|z_1|^2 + \ldots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \ldots + |w_n|^2.$$

Unutar trokuta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajućim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje točke $P$ i $Q$ takve da vrijedi $$\measuredangle BPC = \measuredangle CPA = \measuredangle APB = 120°,$$ $$\measuredangle BQC = 60° + \alpha, \quad \measuredangle CQA = 60° + \beta, \quad \measuredangle AQB = 60° + \gamma.$$

Dokažite da vrijedi jednakost $$(|AP| + |BP| + |CP|)^3 \cdot |AQ| \cdot |BQ| \cdot |CQ| = (abc)^2.$$

Nizovi realnih brojeva $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$, $n \in \mathbb{N}$, definirani su formulama $$x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n^2 - 1}, \quad y_{n+1} = \frac{2y_n}{y_n^2 - 1}, \quad z_{n+1} = \frac{2z_n}{z_n^2 - 1},$$

a početni članovi su $x_1 = 2$, $y_1 = 4$ i $z_1$ takav da vrijedi $x_1 y_1 z_1 = x_1 + y_1 + z_1$.

a) Provjerite da su za svaki $n \in \mathbb{N}$ zadovoljeni uvjeti: $x_n^2 \neq 1$, $y_n^2 \neq 1$, $z_n^2 \neq 1$.

b) Da li postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $x_k + y_k + z_k = 0$?

Odredite sve realne brojeve $\alpha$ sa svojstvom da su svi brojevi u nizu $$\cos \alpha, \cos 2\alpha, \cos 2^2\alpha, \ldots, \cos 2^n\alpha, \ldots$$ negativni.

Neka je $I$ točka na simetrali kuta $\measuredangle BAC$ trokuta $ABC$, a $M$ i $N$ redom točke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, takve da je $\measuredangle ABI = \measuredangle NIC$ i $\measuredangle ACI = \measuredangle MIB$. Dokažite da je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$ ako i samo ako su točke $M$, $N$ i $I$ kolinearne.

Niz realnih brojeva $(a_n)_{n \geq 0}$ ima svojstvo da za sve $m \geq n \geq 0$ vrijedi $$a_{m+n} + a_{m-n} = \frac{1}{2}(a_{2m} + a_{2n}).$$ Odredite $a_{2003}$ ako je $a_1 = 1$.

Prirodni brojevi od $1$ do $2003$ poredani su u niz. Na nizu vršimo ovu operaciju: ako je prvi broj u nizu jednak $k$, okrenemo poredak prvih $k$ brojeva. Dokazati da se nakon konačno uzastopnih primjena ove operacije broj $1$ pojavi na prvom mjestu, nezavisno od početnog rasporeda.

Dokažite da je $$\binom{n}{p} - \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$$ djeljivo s $p$, za svaki prost broj $p$ i svaki prirodan broj $n \geq p$.

Izračunajte beskonačni zbroj $s = 1 + 4x + 9x^2 + \ldots + n^2 x^{n-1} + \ldots$, gdje je $|x| < 1$.

Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem $O$ su u točkama $A(1,1,1)$, $A'(-1,-1,-1)$, $B(-1,1,1)$, $B'(1,-1,-1)$, $C(-1,-1,1)$, $C'(1,1,-1)$, $D(1,-1,1)$, $D'(-1,1,-1)$. Točka $O$ je središte kocki opisane sfere. Neka točka $T$ nije na toj sferi i $d = |OT|$. Označimo $s$ $\alpha = \measuredangle ATA'$, $\beta = \measuredangle BTB'$, $\gamma = \measuredangle CTC'$ i $\delta = \measuredangle DTD'$. Dokažite da je $$\mathrm{tg}^2 \alpha + \mathrm{tg}^2 \beta + \mathrm{tg}^2 \gamma + \mathrm{tg}^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2 - 3)^2}.$$

Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.

Neka je $(a_n)$, $n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.

Na slici su unutar kružnice sa središtem $O$ i polumjerom $1$ nacrtani lukovi još šest kružnica istog polumjera. U području između dvije susjedne "latice" upisan je niz kružnica s polumjerima $r_1, r_2, r_3, \ldots$, koje se s početnom kružnicom i susjednim kružnicama u nizu dodiruju redom u točkama $D_1, D_2, D_3, \ldots$. Za svaki $n$ izračunajte polumjer $r_n$ i duljinu $d_n = |OD_n|$.

Papir oblika kvadrata s vrhovima $F$, $B$, $H$ i $D$ ima stranicu duljine $a$. Na njegovim stranicama $\overline{FB}$ i $\overline{BH}$, označene su točke $G$ i $A$, odnosno $E$ i $C$, takve da je $|FG| = |GA| = |AB|$ i $|BE| = |EC| = |CH|$. Papir je presavinut po dužinama $\overline{DG}$, $\overline{DA}$, $\overline{DC}$ i $\overline{AC}$ tako da se točka $G$ poklopi s $B$, a točke $F$ i $H$ s točkom $E$. Odredite volumen tako nastale trostrane piramide $ABCD$.

Dan je broj $n = p_1p_2p_3p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$

Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznato je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\dfrac{n}{2}\left(1 + \sqrt{4n - 3}\right)$.

Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadzbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0'$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0T_0'}$ na osi parabole $\mathcal{P}$. Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$, različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0'$ na pravac $T_0T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T'$. Što opisuje točka $T'$?

Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = \left(\frac{1}{2}|BC|\right)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

Na kružnici je zapisano $n \geq 3$ prirodnih brojeva tako da svaki od njih dijeli zbroj dva njemu susjedna broja. Označimo $$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_3}{a_2} + \ldots + \frac{a_{n-2} + a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}.$$ Odredite najveću i najmanju vrijednost od $S_n$.

Neka je $S = \{k \in \mathbf{N} : a \in \mathbf{N}, a^2 | k \Rightarrow a = 1\}$ i $n \in \mathbf{N}$. Dokažite da je $$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Polovištem svakog brida tetraedra položena je ravnina okomito na suprotni brid. Dokažite da se svih šest ravnina siječe u točki koja je simetrična središtu opisane sfere tetraedra u odnosu na njegovo težište.

Neka je $n$ pozitivan cijeli broj veći od $1$. Koliko ima permutacija $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ brojeva $1, 2, \ldots, n$ takvih da postoji točno jedan indeks $i \in \{1, 2, \ldots, n-1\}$ za koji je $a_i > a_{i+1}$?

Izračunajte sumu $$\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + \ldots + \frac{a_k}{2^k} + \ldots$$ gdje je $(a_n)$ niz brojeva definiran na ovaj način: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad \text{za } n > 2.$$

U ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1,0)$, $T_2 = (0,1)$, $T_3 = (-1,0)$ i $T_4 = (0,-1)$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ polovište dužine $\overline{T_n T_{n+1}}$. Uz pretpostavku da niz točaka $T_n$ $(n \to \infty)$ ima graničnu točku, nađite koordinate te točke.

Dokažite da sve tetive parabole $y^2 = 4ax$, koje su hipotenuze pravokutnog trokuta s pravim kutom u ishodištu, prolaze istom točkom.

Neka su $a$ i $m$ prirodni brojevi, $p$ neparan prost broj, takav da $p^m \mid a - 1$ i $p^{m+1} \nmid a - 1$. Dokažite da

a) $p^{m+n} \mid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbf{N}$,

b) $p^{m+n+1} \nmid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbf{N}$.

Neka je $A = \{1,2,3,\dots,2n\}$ i funkcija $g: A \to A$ definirana sa $g(k) = 2n - k + 1$. Da li postoji funkcija $f: A \to A$ takva da je $f(k) \neq g(k)$ za svaki $k \in A$ i $f(f(f(k))) = g(k)$ za svaki $k \in A$, ako je

a) $n = 999$,

b) $n = 1000$?

Osam žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacije biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno.

Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

Nadite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$.

U ravnini je dana kružnica $k$ i točka $K$. Za bilo koje dvije različite točke $P$ i $Q$ na $k$, kružnica $k'$ prolazi kroz točke $P$, $Q$ i $K$. Neka je $M$ sjecište tangente na kružnicu $k'$ u točki $K$ i pravca $PQ$. Opišite geometrijsko mjesto točaka $M$ kada $P$ i $Q$ prolaze svim točkama kružnice $k$.

Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1) = 1, \quad f(2) = 2,$$ $$f(n + 2) = f(n + 2 - f(n + 1)) + f(n + 1 - f(n)), \quad (n \geq 1).$$

(a) Pokažite da je $f(n + 1) - f(n) \in \{0, 1\}$ za svaki $n \geq 1$.

(b) Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n + 1) = f(n) + 1$.

(c) Za dani prirodan broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n) = 2^{k-1} + 1.$$

Neka je $k$ prirodan broj. Odredite broj nesukladnih trokuta kojima su vrhovi u vrhovima zadanog pravilnog $6k$-terokuta.

Postoji li rješenje jednadžbe $$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345?$$

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Za koje vrijednosti $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$$ realna? Odredite ta rješenja.

Odredite funkcije $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, neprekidne u nuli, koje zadovoljavaju ovu relaciju $$f(x) - 2f(tx) + f(t^2x) = x^2, \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R},$$ gdje je $t \in (0,1)$ dani fiksan broj.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.

Zadan je trokut $A_0B_0C_0$ s kutovima $\alpha = 40°, \beta = 60°, \gamma = 80°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ nožišta visina tog trokuta. Na isti način se polazeči od trokuta $A_1B_1C_1$ konstruira trokut $A_2B_2C_2$, zatim redom trokuti $A_3B_3C_3, \ldots$. Dokažite da je trokut $A_{1995}B_{1995}C_{1995}$ sličan trokutu $A_0B_0C_0$.

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2, \quad a \neq c, \quad b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

Sve točke ravnine su na bilo koji način podijeljene na dva disjunktna skupa. Dokažite da postoji trokut čiji vrhovi pripadaju istom skupu, najmanja stranica mu ima duljinu $1$ i kutovi mu se odnose kao $1 : 2 : 3$.

Zadan je niz $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$, $x_{n+3} = x_{n+2} + x_{n+1} + x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.

Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3 - z}$.

(a) Odredite skup $\{w : z = 2 + iy, y \in \mathbf{R}\}$ u kompleksnoj ravnini.

(b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w - 1}{w - 2} = \lambda \frac{z - 1}{z - 2}$.

(c) Neka je $z_0 = \frac{1}{2}$ i niz $(z_n)$ definiran sa $$z_n = \frac{2}{3 - z_{n-1}}, \quad n \geq 1.$$ Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.

Odredite polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da za neki $n \in \mathbf{N}$ vrijedi $$xP(x - n) = (x - 1)P(x), \quad \forall x \in \mathbf{R}.$$