Grade 12

U ravnini je dano pet točaka $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i, P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.

Zadan je niz $\{a_n\}$ rekurzivnom formulom $$a_{n+1} = \frac{a_n^2 + b}{2}, \quad 0 < b \leq 1, \; a_0 = 0.$$ Pokažite da je niz konvergentan i izračunajte mu limes.

Unutar kružnice polumjera $R$ nalazi se $n$ manjih kružnica polumjera $r_1, r_2, \ldots, r_n$ takvih da je $r_1 + r_2 + \ldots + r_n > 4R$. Dokažite da postoji pravac koji siječe barem $5$ manjih kružnica.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \geq 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Osnovka trostrane piramide je trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$. Nasuprotni bridovi su duljina $m$, $n$ i $p$. Dokažite da udaljenost vrha piramide od težišta osnovke iznosi $$\frac{1}{3}\sqrt{3(m^2 + n^2 + p^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}.$$

Nadite sve prirodne brojeve $n$ za koje polinom $P(x) = x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n$ posjeduje barem jednu cjelobrojnu nul-točku.

Neka je $A = \{z_1, \ldots, z_n\}$ skup od $n$ kompleksnih brojeva, $n \geq 2$ i neka je za svaki $i$ $\{z_i z_1, z_i z_2, \ldots, z_i z_n\} = A$. a) Dokažite da je za svaki $i$ ispunjeno $|z_i| = 1$. b) Dokažite da iz $z \in A$ slijedi i $\overline{z} \in A$.

Odredite geometrijski niz realnih brojeva ako je poznato da je zbroj prva četiri člana jednak $15$, a zbroj njihovih kvadrata je $85$.