Croatian County-Level Competitions

Odredi sve nenegativne realne brojeve $x$ takve da su $\lfloor x \rfloor$, $\{x\}$ i $x$ uzastopni članovi aritmetičkog niza (ne nužno u tom poretku).

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$, a $\{t\}$ njegov decimalni dio, tj. $\{t\} = t - \lfloor t \rfloor$. Na primjer, $\lfloor 15.1 \rfloor = 15$ i $\{15.1\} = 0.1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da je broj $$\frac{6z^2 + 5z + 6}{3z^2 + 10z + 3}$$ realan. Dokaži da je $z$ realan broj ili da vrijedi $|z| = 1$.

Na kružnici je označeno $3000$ točaka. Muha koja se u početku nalazi na jednoj od točaka kreće se isključivo skokovima u smjeru kazaljke na satu za $2$ ili $3$ mjesta. Koliko joj je najmanje skokova potrebno za obilazak svih točaka i povratak na početnu točku?

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da vrijedi:

• $\sqrt{a_k + 1}$ je prirodan broj za sve $k = 1, 2, \ldots, n$

• $\sqrt{a_k + 1}$ je djelitelj broja $a_{k+1}$ za sve $k = 1, 2, \ldots, n-1$

• $a_n - a_1 = 20$.

Neka je $ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu $C$ i $|AC| > |BC|$. Neka je $k$ polukružnica s promjerom $\overline{AC}$ koja se nalazi s iste strane pravca $AC$ kao i točka $B$. Neka je $P$ točka na $k$ takva da je $|CP| = |CB|$ i neka je $Q$ točka na $\overline{AC}$ takva da je $|AP| = |AQ|$. Dokaži da polovište dužine $\overline{BQ}$ pripada polukružnici $k$.

Dani su aritmetički niz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ i geometrijski niz $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ takvi da su im svi članovi pozitivni realni brojevi i da vrijedi

$$a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad \text{i} \quad a_{10} = b_3.$$

Dokaži da se svaki član niza $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ pojavljuje u nizu $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Za koje realne brojeve $a$ sustav

$$\left\{ \begin{array}{l} (1 + i) \cdot z + (1 - i) \cdot \bar{z} = 2a \\ |z + 1 - i| = \sqrt{2} \end{array} \right.$$

ima točno jedno rješenje u skupu kompleksnih brojeva?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$n \cdot 2^m + m = m \cdot 2^n + n.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABH$ u točki $A$ siječe pravac $CH$ u točki $K$, a tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AHC$ u točki $A$ siječe pravac $BH$ u točki $L$. Dokaži da točke $B, C, K$ i $L$ pripadaju istoj kružnici.

Za neparni prirodan broj $n > 1$ na ploči su napisani brojevi $n, n+1, \ldots, 2n-1$. Dokaži da se s ploče može izbrisati jedan broj tako da zbroj preostalih brojeva na ploči ne bude djeljiv nijednim od preostalih brojeva na ploči.

Dokaži da svi članovi niza $$a_1 = 4 \cdot 2024^1 - 2024, \quad a_2 = 4 \cdot 2024^2 - 20244, \quad \ldots, \quad a_n = 4 \cdot 2024^n - \underbrace{2024\ldots4}_{n \text{ puta}}, \text{ za } n \in \mathbb{N},$$ daju ostatak 11 pri dijeljenju s 19.

Neka su $x_1$, $x_2$ i $x_3$ različite nultočke polinoma $P(x) = x^3 - 3x + 1$. Odredi $$\frac{1}{x_1^2 - 3} + \frac{1}{x_2^2 - 3} + \frac{1}{x_3^2 - 3}.$$

Neka je $ABCDE$ peterokut upisan u kružnicu sa središtem $O$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{EB}$ sijeku se u točki $P$, a dužine $\overline{BD}$ i $\overline{EC}$ u točki $Q$. Ako su pravci $PQ$ i $AD$ međusobno paralelni, dokaži da je pravac $EO$ okomit na ta dva pravca.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoji točno pet prirodnih brojeva $n$ takvih da je $n + p \mid n^3 + p^2$.

Odredi (ako postoji) najveći prirodni broj koji se ne može prikazati kao zbroj nekih, ne nužno različitih, elemenata skupa $\{135, 136, 137, \ldots, 144\}$.

Odredi sve brojeve $a, b \in \mathbb{N}_0$ i $n \in \mathbb{N}$ za koje vrijedi $$2^a + 3^b + 1 = n!.$$

Za svaki prirodan broj $n$ neka su $a_n$ i $b_n$ realni brojevi takvi da je $(\sqrt{3} + i)^n = a_n + ib_n$. Dokaži da izraz $$\frac{a_n b_{n+1} - a_{n+1} b_n}{a_{n+1} a_n + b_{n+1} b_n}$$ poprima istu vrijednost za sve $n \in \mathbb{N}$ te odredi tu vrijednost.

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti cijeli brojevi i $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ polinom takav da je $P(a) = a^3$ i $P(b) = b^3$. Odredi $P(1)$.

Dvije kružnice sijeku se u točkama $A$ i $B$, a pritom manja kružnica prolazi središtem veće. Tangente na manju kružnicu u točkama $A$ i $B$ sijeku veću kružnicu ponovno u točkama $A_1$ i $B_1$. Dokaži da je pravac $A_1B$ simetrala kuta $\measuredangle AA_1B_1$.

Nikola je zamislio deveteroznamenkasti broj $\overline{a_1a_2a_3\ldots a_9}$ u čijem se dekadskom prikazu svaka od znamenaka od 1 do 9 pojavljuje točno jednom. Zatim je izračunao 6 zbrojeva $$\overline{a_1a_2a_3} + \overline{a_2a_3a_4}, \quad \overline{a_2a_3a_4} + \overline{a_3a_4a_5}, \quad \overline{a_3a_4a_5} + \overline{a_4a_5a_6},$$ $$\overline{a_4a_5a_6} + \overline{a_5a_6a_7}, \quad \overline{a_5a_6a_7} + \overline{a_6a_7a_8}, \quad \overline{a_6a_7a_8} + \overline{a_7a_8a_9}$$ i napisao na papir najveći od njih. Koji je najmanji broj koji je mogao zapisati na papir?

Duljina jedne stranice trokuta jednaka je aritmetičkoj sredini duljina drugih dviju stranica. Dokaži da mjera srednjeg (po veličini) kuta tog trokuta nije veća od $60^{\circ}$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

U trokutu $ABC$, kut u vrhu $C$ je tupi, a točka $D$ je nožište visine iz vrha $C$. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na dužini $\overline{AB}$ i vrijedi $\measuredangle PCB = \measuredangle ACQ = 90^{\circ}$. Dokaži da je

$$| A P | \cdot | D Q | = | P D | \cdot | Q B |.$$

Odredi sve uređene parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje je $(a + b^{2})(a^{2} + b)$ potencija broja $2$.

Baza piramide je pravilni $n$-terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant 4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.

Riješi jednadžbu

$$\cos(2x) + \cos(2y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y = 4.$$

Četiri sfere polumjera $R$ leže na bazi stošca tako da svaka dodiruje dvije od preostalih sfera te plašt stošca. Peta sfera istog polumjera dodiruje prve četiri sfere i plašt stošca. Odredi volumen tog stošca.

Odredi sve uređene parove $(m,n)$ prirodnih brojeva za koje postoji prost broj $p$ takav da vrijedi

$$9^m + 3^m - 2 = 2p^n.$$

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $T$ takva da vrijedi $|AT| = 56$, $|BT| = 40$, $|CT| = 35$. Nožišta okomica iz točke $T$ na stranice trokuta $ABC$ vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi kut $\measuredangle ABC$.

Za par brojeva $\{a, b\}$ kažemo da ima težinu $|a - b|$. Na koliko se načina skup $\{1, 2, \ldots, 12\}$ može razdijeliti na šest parova tako da ukupan zbroj težina tih parova bude $30$?

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takvih da je $x,y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ za koje vrijedi

$$\frac{2 \sin^2 x + 2}{\sin x + 1} = 3 + \cos (x + y).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{3} ab, \quad a^2 - b^2 + c^2 = \sqrt{2} ac.$$

Odredi omjer $b : c$.

Odredi sve prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva i u čijem su dekadskom zapisu dvije znamenke različite od $0$, a jedna od te dvije je $3$.

U četverokutu $ABCD$ je $\measuredangle DBC = \measuredangle DCB = 50°$ i $\measuredangle DAB = \measuredangle ABC = \measuredangle BDC$. Dokaži da je $AC \perp BD$.

Neka je $n$ prirodni broj. Niz od $2n$ realnih brojeva je dobar ako za svaki prirodni broj $1 \leqslant m \leqslant 2n$ vrijedi da je zbroj prvih $m$ ili zbroj zadnjih $m$ članova niza cijeli broj. Odredi najmanji mogući broj cijelih brojeva u dobrom nizu.

U trokutu $ABC$ simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Neka su $a$ i $b$ redom duljine stranica $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$, redom. Ako vrijedi $|CD| = \dfrac{ab}{a + b}$, odredi $\measuredangle ACB$.

Postoji li prirodni broj $m$ takav da $7$ dijeli $2^{m^2} - 4$?

Izračunaj umnožak $(1 + \tan 1°)(1 + \tan 2°)\ldots (1 + \tan 45°)$.

Dan je tetraedar kojem je jedan brid duljine $3$, a svi ostali duljine $2$. Odredi obujam tog tetraedra.

Koliko najviše cijelih brojeva može sadržavati konačni skup $S$ takav da među svaka tri elementa skupa $S$ postoje dva različita broja čiji zbroj je također u $S$?

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$. Dokaži da vrijedi $$\sin(3x) + \sin(3y) \leq \frac{26}{27}.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da vrijedi $$a^3 - 3b = 15,$$ $$b^2 - a = 13.$$

Jednakokračni trokut $ABC$ ($|AB| = |AC|$) upisan je u kružnicu $k$. Neka je $D$ točka na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta, $k_1$ kružnica opisana trokutu $ABD$ i $E$ točka na kružnici $k_1$. Pretpostavimo da pravac $AE$ siječe kružnicu $k$ u točkama $A$ i $F$ tako da $F$ leži između $A$ i $E$. Ako se pravci $DE$ i $BF$ sijeku u točki $G$, dokaži da vrijedi $|EG| = |GF|$.

Neka je $k$ kružnica s promjerom $\overline{AB}$ i $t$ tangenta kružnice $k$ s diralištem u točki $A$. Neka je $P$ bilo koja točka na kružnici $k$ i neka je $N$ ortogonalna projekcija točke $P$ na pravac $t$. Odredi kut $\measuredangle ABP$ za koji izraz $|PB| + |PN|$ ima najveću moguću vrijednost.

Promatramo sve pravokutne ploče čija je polja moguće obojati tako da u svakom retku bude točno $14$ plavih polja, u svakom stupcu točno $10$ crvenih polja i da na cijeloj ploči budu točno $3$ polja koja nisu ni crvena ni plava.

Odredi dimenzije takve ploče koja ima najmanji ukupan broj polja.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$.

Ako je $|AI| = |BC|$ i $\measuredangle ACB = 2\measuredangle BAC$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Za realni broj $x$, neka $\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$11 \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{2} \right\rfloor = 9x.$$

Neka je $n$ prirodni broj veći od $1$ takav da su $2n - 1$ i $3n - 2$ kvadrati prirodnih brojeva.

Dokaži da je broj $10n - 7$ složen.

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $\measuredangle BAD = 50°$, $\measuredangle ADB = 80°$ i $\measuredangle ACB = 40°$.

Ako je $\measuredangle DBC = 30° + \measuredangle BDC$, izračunaj $\measuredangle BDC$.

Marko ima $2n$ kartica ($n \in \mathbb{N}$), po dvije kartice sa svakim od brojeva $1,2,\ldots,n$. Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki $k$ iz skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ između dviju kartica s brojem $k$ nalazi točno $k$ drugih kartica.

Dokaži da je broj $n^2 + n$ djeljiv s $4$.