Grade 12

Neka je $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ nekonstantan aritmetički niz realnih brojeva takav da postoji prirodni broj $r$ za koji je $$a_{r+1} + a_{r+2} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{3r+2}.$$ Dokaži da niti jedan član tog niza nije jednak 0.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$. Kružnica sa središtem u $C$ polumjera $|CD|$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $E$ i $F$. Pravac $EF$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $P$. Dokaži da je $P$ polovište dužine $\overline{CD}$.

Za uređenu trojku prirodnih brojeva $(a, b, c)$ kažemo da je morska ako su $a$, $b$ i $c$ međusobno različiti, te je broj $ac$ djeljiv brojevima $a + b$ i $b + c$. Dokaži da

a) za svaki prirodni broj $d > 1$ postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = d$.

b) ne postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = 1$.

Napomena. $M(a, b, c)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $a$, $b$ i $c$.

Odredi koliko ima polinoma s realnim koeficijentima $f(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \ldots + a_1x + a_0$ takvih da je $f(2026) = 0$ i da postoji polinom $g(x)$ s realnim koeficijentima takav da jednakost $$(f(x + 1) - f(x)) \cdot g(x) = f(x)$$ vrijedi za svaki realan broj $x$.

Za arhipelag od 2026 otoka kažemo da je dobro povezan ako među svakih pet različitih otoka, postoje tri takva da između svaka dva od njih postoji dvosmjerna brodska linija. Odredi najveći prirodni broj $N$ takav da u svakom dobro povezanom arhipelagu postoji niz od barem $N$ različitih otoka takav da su svaka dva uzastopna, te prvi i posljednji otok u nizu povezani brodskom linijom.

Dokaži da je broj $$102^{102} - 100^{100}$$ djeljiv sa $101^2$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x)) + f(y) = 2y + f(x - y).$$

Neka je $n$ prirodan broj. Za prirodni broj $m$, neka $f_{m}(n)$ označava broj djelitelja broja $n^{m+1}$ koji su veći od $n^m$. Dokaži da postoji prirodni broj $K$ takav da za svaki $m \geqslant K$ vrijedi $f_{m}(n) = f_{m+1}(n)$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ sa stranicama duljina $|AB| = |AC| = 5$ te $|BC| = 6$. Točka $D$ odabrana je na stranici $\overline{AC}$, a točka $P$ na dužini $\overline{BD}$ tako da je $\measuredangle CPA = 90^\circ$. Ako je $\measuredangle PBA = \measuredangle PCB$, odredi omjer $$\frac{|AD|}{|DC|}.$$

Dana je ploča dimenzija $9 \times 9$ čija su sva polja bijela. Odredi najveći broj polja koja je moguće obojiti u crveno tako da svaki dio ploče dimenzija $2 \times 2$ sadržava najviše dva crvena polja.

Koristeći niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definirana su dva nova niza, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ i $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tako da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $$b_n = a_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad c_n = a_{n+2} - a_{n+1}.$$

Ako je niz $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ aritmetički, dokaži da je $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ geometrijski niz.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x) - y^2) = yf(x^2).$$

Za prirodan broj $n$ neka je $T(n)$ broj uređenih trojki prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ čiji je opseg jednak $n$.

a) Dokaži da je $T(2024) = T(2021)$.

b) Dokaži da je $T(2023) > T(2020)$.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojemu je $|AB| > |AC|$, točka $I$ središte njemu upisane kružnice, a $P$ polovište dužine $\overline{BC}$. Neka je $K$ polovište luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$ koji sadrži točku $A$. Dokaži da vrijedi $\measuredangle BIP + \measuredangle CIK = 180°$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Za realni broj $c \neq 0$ i prirodni broj $n$, neka je $a_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + cx)^n$, a $b_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + 2cx)^n$. Poznato je da su $a_1$, $a_3$ i $a_4$ uzastopni članovi geometrijskog niza, te da su $b_1$, $2b_2$ i $2b_3$ uzastopni članovi aritmetičkog niza. Odredi brojeve $c$ i $n$.

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Postoje li medusobno različiti pozitivni realni brojevi $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2023}$ takvi da se od

jednog kvadrata stranice duljine $a_1$,

tri kvadrata stranica duljine $a_3, \ldots,$

$k$ kvadrata stranice duljine $a_k, \ldots,$

2023 kvadrata stranica duljine $a_{2023}$

može sastaviti kvadrat?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem je $|AC| < |BC|$. Njegove visine $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ sijeku se u ortocentru $H$. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CH}$ sijeku u točki $I$, a pravci $DE$ i $AB$ u točki $X$. Neka je $H_1$ ortocentar trokuta $XAC$, a $H_2$ ortocentar trokuta $XIC$.

Ako je $|AH_1| = |IH_2|$, dokaži da je $|AI| = |DH_2|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $f(a) \neq b$ vrijedi

$$f(a) - b \mid f(a)^2 + 2b + 1 - f(b)^2.$$

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ takve da je $2^{n!} = m^3 + 37$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ takve da za sve $x \in \mathbb{N}_0$, $y \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$(f(x) + 1)(f(y) + 1) = (x + 1)(f(y - 1) + 1) + f(x + 1).$$

Dani su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ za koje polinom $$P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ ima svojstvo da je apsolutna vrijednost svake njegove nultočke jednaka 1.

Dokaži da i polinom $$Q(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c|$$ ima isto svojstvo.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Pravac koji prolazi točkom $Q$ siječe kružnice $k_1$ i $k_2$ još u točkama $R$ i $S$, redom. Pravac $SP$ siječe kružnicu $k_1$ još u točki $M$, a pravac $RP$ siječe kružnicu $k_2$ još u točki $N$. Neka je $T$ sjecište pravaca $RM$ i $SN$.

Dokaži da je trokut $TMN$ jednakostraničan ako i samo ako je pravac $MN$ zajednička tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$.

Dana je ploča dimenzija $2020 \times 2022$. Za dva polja te ploče kažemo da su susjedna ako imaju zajedničku stranicu ili se nalaze na početku i kraju istog retka ili stupca. Dakle, svako polje ima točno četiri susjedna polja.

Viktor u svakom koraku bira jedno polje ploče i na ploču postavlja pet žetona: po jedan na odabrano polje i na svako polje susjedno odabranom. Nakon konačnog broja takvih koraka, na svakom polju nalazi se točno $d$ žetona.

Odredi najmanji mogući $d$.

Neka je $(x_n)$ niz takav da je $x_0 = 1$, $x_1 = 2$, sa svojstvom da je niz $(y_n)$ zadan relacijom $$y_n = \binom{n}{0}x_0 + \binom{n}{1}x_1 + \ldots + \binom{n}{n}x_n, \quad \text{za } n \in \mathbb{N}_0$$ geometrijski niz. Odredi $x_{2020}$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodan broj te neka je $(p_1, \ldots, p_n)$ neka permutacija skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$. Pokaži da vrijedi $$\frac{1}{p_1 + p_2} + \frac{1}{p_2 + p_3} + \ldots + \frac{1}{p_k + p_{k+1}} + \ldots + \frac{1}{p_{n-1} + p_n} > \frac{n - 1}{n + 2}.$$

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$2^a + 2021 = 3^b \cdot 25^c.$$

Dana je ploča dimenzija $n \times n$ i po jedna pločica dimenzija $1 \times 1$, $1 \times 2$, \ldots, $1 \times n$.

Na koliko načina je moguće odabrati $\frac{1}{2}n(n + 1)$ polja ploče tako da odabrani dio bude moguće prekriti horizontalno postavljenim pločicama, ali također i vertikalno postavljenim pločicama?

Dan je trokut $ABC$ čije je središte upisane kružnice točka $I$. Odabrane su dvije točke, točka $D$ na luku $\widehat{AB}$ opisane kružnice trokuta $ABC$ koji ne sadrži točku $C$, te točka $E$ na dužini $\overline{BC}$, tako da vrijedi $\measuredangle ADI = \measuredangle IEC$. Dokaži da postoji točka, neovisna o odabiru točaka $D$ i $E$, kojom pravac $DE$ prolazi.

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$(1 - z + z^2)(1 - z^2 + z^4)(1 - z^4 + z^8) \cdots (1 - z^{2^{n-1}} + z^{2^n}) = \frac{3z^{2^n}}{1 + z + z^2}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ vrijedi $$f(x) + xf(2 - x) = 3x - x^2.$$

Na stranici $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ zadana je točka $D$. Simetrala kuta $\measuredangle CAD$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$. Kružnica opisana trokutu $ABD$ siječe dužinu $\overline{AE}$ u točkama $A$ i $F$, a pravac $BF$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $G$. Pravac kroz točku $G$ paralelan s $\overline{DF}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $H$.

Dokaži da je pravac $GE$ tangenta kružnice opisane trokutu $BHG$.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0,0)$, $(A,0)$, $(A,B)$ i $(0,B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)(x - a^4)$$

realni.

Rudi i Miljen igraju igru na školskoj ploči naizmjence odigravajući poteze. Igrač koji je na potezu bira dva relativno prosta broja napisana na ploči, briše ih te zapisuje na ploču njihov zbroj. Gubi igrač koji to ne može napraviti. Igru započinje Rudi. Dokaži da Miljen ima pobjedničku strategiju ako je na početku na ploči bilo napisano

(a) 2019 jedinica;

(b) 2020 jedinica.

Neka je $C$ realni broj, $(a_n)$ niz realnih brojeva i neka je, za svaki prirodni broj $n$,

$$M_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.$$

Ako za svaka tri međusobno različita prirodna broja $i$, $j$, $k$ vrijedi

$$(i - j)M_k + (j - k)M_i + (k - i)M_j = C,$$

dokaži da je niz $(a_n)$ aritmetički.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta visina trokuta $ABC$ iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Pravci $EF$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. Paralela s $EF$ kroz točku $D$ siječe pravac $AC$ u točki $Q$ i pravac $AB$ u točki $R$. Ako je $N$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle NQP + \measuredangle NRP < 180°$, dokaži da je $|BN| > |CN|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ koje zadovoljavaju sljedeća dva uvjeta.

• Za sve $a, b \in \mathbb{N}$ vrijedi

$$f(a, b) + a + b = f(a, 1) + f(1, b) + ab.$$

• Ako su $a, b \in \mathbb{N}$ takvi da je neki od brojeva $a + b$ i $a + b - 1$ djeljiv prostim brojem $p > 2$, onda je i $f(a, b)$ djeljiv s $p$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da za svaki izbor brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [0,1]$ vrijedi $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n + 1)^2 \geqslant 4(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2).$$

Gaussov cijeli broj je kompleksni broj čiji su realni i imaginarni dijelovi cijeli brojevi. Odredi najveći prirodni broj $n$ za koji postoji skup od $n$ Gaussovih cijelih brojeva tako da su kvadrati njihovih apsolutnih vrijednosti uzastopni prirodni brojevi.

Neka je $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ funkcija takva da je $$f(ab) = f(a + b)$$ za sve prirodne brojeve $a \geqslant 4$ i $b \geqslant 4$.

Dokaži da je $f(n) = f(8)$ za sve prirodne brojeve $n \geqslant 8$.

Neka su $\overline{BD}$ i $\overline{CE}$ visine šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ siječe dužinu $\overline{BD}$ u točki $F$. Kružnica promjera $\overline{AB}$ siječe pravac $CE$ u točkama $G$ i $H$, pri čemu je $G$ između $C$ i $E$. Ako je $\measuredangle CHF = 12^\circ$, odredi $\measuredangle AGF$.

Na natjecanju sudjeluje 300 natjecatelja. Svaka dva natjecatelja se međusobno ili poznaju ili ne poznaju, a ne postoje tri natjecatelja koji se svi međusobno poznaju. Odredi najveću moguću vrijednost broja $n$ tako da vrijede sljedeći uvjeti:

• Svaki natjecatelj poznaje najviše $n$ ostalih natjecatelja.

• Za svaki prirodni broj $m$ takav da je $1 \leqslant m \leqslant n$ postoji barem jedan natjecatelj koji poznaje točno $m$ ostalih natjecatelja.

Neka su $c$ i $d$ pozitivni djelitelji prirodnog broja $n$. Ako je $c > d$, dokaži da je $c > d + \dfrac{d^2}{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x + f(y)) = f(f(y)) + 2x f(y) + x^2.$$

Za točku $P$ unutar trokuta $ABC$ kažemo da je sjajna ako se iz nje može povući točno 27 polupravaca koji sijeku stranice trokuta $ABC$ tako da je njima trokut podijeljen na 27 manjih trokuta jednakih površina. Odredi broj svih sjajnih točaka trokuta $ABC$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AB| > |AC|$. Neka je $O$ središte kružnice opisane tom trokutu, a $\overline{OQ}$ promjer kružnice opisane trokutu $BOC$. Pravac paralelan s pravcem $BC$ kroz $A$ siječe pravac $CQ$ u točki $M$, a pravac paralelan s pravcem $CQ$ kroz $A$ siječe pravac $BC$ u točki $N$. Neka je $T$ presjek pravaca $AQ$ i $MN$.

Dokaži da točka $T$ leži na kružnici opisanoj trokutu $BOC$.

Na nekim poljima ploče dimenzija $2017 \times 2017$ nalazi se po jedna bubamara; ostala polja su prazna. Bubamara se pomiču po ploči, nikad ju ne napuštajući, prema sljedećim pravilima. Svaka bubamara se svake sekunde pomakne na susjedno polje. Pomaci su horizontalni (na polje lijevo ili desno od onog na kojem se bubamara nalazi) ili vertikalni (na polje iznad ili ispod onog na kojem se bubamara nalazi). Bubamara koja napravi horizontalni pomak u sljedećoj sekundi mora napraviti vertikalni pomak, a bubamara koja napravi vertikalni pomak u sljedećoj sekundi mora napraviti horizontalni pomak.

Odredi najmanji broj bubamara tako da, neovisno o njihovom početnom rasporedu i neovisno o njihovim pomacima možemo biti sigurni da će se u nekom trenutku dvije bubamare naći na istom polju.