Croatian County-Level Competitions

Ante i Matea treniraju plivanje. Na jednom od zajedničkih treninga istovremeno su krenuli sa suprotnih strana bazena. Do trenutka kad su se prvi puta istovremeno našli na istom rubu bazena, zajedno su preplivali devet duljina bazena. Od tada do sljedećeg trenutka kad su se ponovno našli istovremeno na istom rubu bazena zajedno su preplivali dodatnih $855$ metara. Ako oboje plivaju stalnim brzinama, kolika je duljina bazena u kojem treniraju?

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $a^2 = bc + 1$ i $b^2 = ac + 1$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AC| > |BC|$. Neka je $M$ nožište okomice iz vrha $B$ na simetralu kuta $\measuredangle BCA$. Dokaži da je površina trokuta $AMC$ dvostruko manja od površine trokuta $ABC$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\frac{2x^2}{1 + x^2} = y, \quad \frac{2y^2}{1 + y^2} = z, \quad \frac{2z^2}{1 + z^2} = x.$$

Može li se ploča dimenzija $2027 \times 2027$ prekriti koristeći dvije vrste pločica:

• pločice dimenzija $1 \times 2$ koje prekrivaju po dva susjedna polja u istom retku i

• pločice dimenzija $3 \times 1$ koje prekrivaju po tri uzastopna polja u istom stupcu?

Pločice se ne smiju preklapati niti prelaziti preko ruba dane ploče.

Marija i Eva vozile su se istim putom iz grada $A$ u grad $C$. Mariji je trebalo 96 minuta, a Evi 4 minute više. Točno na pola puta između gradova $A$ i $C$ nalazi se grad $B$. Marija je cijelim putom od $A$ do $C$ vozila istom brzinom, dok je Eva od grada $A$ do grada $B$ vozila $13\,\mathrm{km/h}$ sporije od Marije, a od grada $B$ do grada $C$ $13\,\mathrm{km/h}$ brže od Marije. Koliko su udaljeni gradovi $A$ i $C$?

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $A$ u šiljastokutnome trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na $AB$ i $AC$, a točke $G$ i $H$ redom su nožišta okomica iz $E$ i $F$ na $AD$. Ako je $|AH| = |HG| = |GD| = 2$, odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$, $m < n$, takve da je razlika umnoška prvih $n$ prirodnih brojeva i umnoška prvih $m$ prirodnih brojeva broj oblika $600^k$ pri čemu je $k$ prirodan broj.

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\frac{a^2 + b^2 + ab - 4a - 2b + 7}{a^2 + b^2 - 4a + 6},$$

pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi.

Na ploču dimenzija $4 \times 4$ treba rasporediti određeni broj žetona tako da se na nekim poljima nalazi po jedan žeton, a neka su polja prazna. Za raspored žetona kažemo da je siguran ako se svaki žeton nalazi na polju kojemu su sva susjedna polja prazna (dva polja smatraju se susjednima ako imaju zajedničku stranicu). Za koji najmanji prirodan broj $k$ postoji siguran raspored $k$ žetona takav da se na ploču ne može dodati nijedan žeton, a da raspored i dalje bude siguran?

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB| = 2\,\mathrm{m}$ i $|BC| = 1\,\mathrm{m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Ako za realne brojeve $a, b, c$ vrijedi $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3$, dokaži da je $$(a + b)^2 ab + (b + c)^2 bc + (c + a)^2 ca + 4abc(a + b + c) = 0.$$

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.

Dokaži da jednadžba $$(n - 20)^3 + 2n^3 = (n + 20)^3$$ nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi $$\frac{xy}{4y - 3x} = 20,$$ $$\frac{xz}{2x - 3z} = 15,$$ $$\frac{zy}{4y - 5z} = 12.$$

Marijan je na ploču napisao niz od $n$ prostih brojeva tako da je svaki sljedeći broj za $6$ veći od prethodnog.

Dokaži da postoji najveći prirodan broj $n$ za koji je to moguće. Koji je to najveći $n$ i koje je sve nizove Marijan mogao napisati na ploču za taj najveći $n$?

Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja dira stranice $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DE$ siječe pravac $DF$ u točki $M$, a pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DF$ siječe pravac $DE$ u točki $N$. Dokaži da pravac $MN$ sadrži srednjicu trokuta $ABC$.

U krugu sjede $2023$ osobe. Među njima je $N$ osoba koje uvijek govore istinu, dok svi ostali uvijek lažu. Svi su dali izjavu: „Obje osobe koje sjede do mene lažu." Odredi sve vrijednosti broja $N$ za koje je to moguće.

Tri traktora oru njivu. Ako prva dva traktora rade zajedno, treba im 15 dana da preoru cijelu njivu. Prvi i treći traktor preoru njivu radeći zajedno 8 dana, a sva tri traktora zajedno preoru njivu za 6 dana. Koliko dana svakom od traktora treba da samostalno preore cijelu njivu?

Odredi sve cijele brojeve $x, y, z$ za koje vrijede jednakosti $$x - yz = 1 \quad \text{i} \quad xz + y = 2.$$

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ paralelograma $ABCD$. Ako je $E$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AM$, dokaži da vrijedi $|CD| = |CE|$.

Realni brojevi $a$, $b$ i $c$ različiti su od nule i zadovoljavaju jednakosti $$a^2 + a = b^2,$$ $$b^2 + b = c^2,$$ $$c^2 + c = a^2.$$ Dokaži da vrijedi $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.

U nekom je razredu trideset i troje učenika. Svaki učenik je na ploču napisao dva broja: koliko još učenika osim njega u razredu ima isto ime kao on, te koliko još učenika osim njega u razredu ima isto prezime kao on.

Ako se svaki od brojeva $0, 1, 2, \ldots, 10$ pojavljuje na ploči barem jednom, dokaži da u razredu postoji barem jedan par učenika istog imena i prezimena.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$m(m - n)^2(m + n) = m^4 + mn^3 - 99n.$$

Izabela je sedam dana zaredom rješavala po jedan matematički test. Na svakom je testu ostvarila različit broj bodova – najmanje 91, a najviše 100. Nakon svakog testa prosjek njenih dotadašnjih rezultata bio je prirodan broj, a na sedmom testu je ostvarila 95 bodova.

Koliko je ukupno bodova Izabela ostvarila na svih sedam testova? Koliko je bodova ostvarila na šestom testu?

Za realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{30}$ vrijedi

$$20^3 x_1 + 21^3 x_2 + \cdots + 49^3 x_{30} = 13,$$

$$21^3 x_1 + 22^3 x_2 + \cdots + 50^3 x_{30} = 1,$$

$$22^3 x_1 + 23^3 x_2 + \cdots + 51^3 x_{30} = 19.$$

Koliko iznosi $21x_1 + 22x_2 + \cdots + 50x_{30}$?

Točka $M$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $N$ na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ odabrane su tako da vrijedi $\measuredangle BAM = \measuredangle MAC = \measuredangle NCB$. Dokaži da je

$$|AM|^2 = |AC| \cdot |AN| + |MC|^2.$$

Svakom od $12$ bridova kocke Martin pridružuje po jedan od brojeva $1$ ili $-1$. Zatim svakoj od šest strana te kocke pridružuje umnožak $4$ broja na bridovima te strane. Na kraju Martin zbraja svih $18$ brojeva pridruženih bridovima i stranama kocke.

Koliki je najmanji zbroj koji Martin može postići?

U ovisnosti o realnom parametru $m$ odredi za koje realne brojeve $x$ vrijedi

$$\frac{x - m}{x^2} + x \geqslant 2 \left(1 - \frac{m}{x}\right) + m.$$

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a \leqslant b \leqslant c$ i

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{abc}.$$

Neka su $x$, $y$ i $z$ različiti realni brojevi od kojih nijedan nije jednak nuli, takvi da vrijedi

$$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}.$$

Odredi vrijednost izraza $x^2 y^2 z^2$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Koliko najmanje brojeva treba ukloniti iz skupa $\{1,2,3,\ldots,2020\}$ tako da nastali skup ne sadrži umnožak svojih dvaju različitih elemenata?

Na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $P_1$, $P_2$ i $P_3$ tako da vrijedi

$$|AP_1| = |P_1P_2| = |P_2P_3| = |P_3B| = \frac{1}{4}|AB|.$$

Tim točkama povučene su paralele sa stranicom $\overline{BC}$, koje dijele trokut na četiri dijela. Površina dijela koji se nalazi između paralela kroz $P_2$ i $P_3$ iznosi $5$.

Kolika je površina trokuta $ABC$?

Dokaži da ne postoje pozitivni realni brojevi $x$ i $y$ za koje vrijedi

$$(x^3 + y^3)(x^2 + y^2) = 2(x + y) = 2.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n > 2$ za koje postoji djelitelj $d$ broja $n$ takav da je

$$n = a^3 + d^3,$$

pri čemu je $a$ najmanji djelitelj broja $n$ veći od $1$.

Osnovica $\overline{BC}$ je najdulja stranica jednakokračnog trokuta $ABC$. Neka je $M$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $|BM| = |AB|$. Nožište okomice iz točke $M$ na $\overline{AB}$ je točka $N$. Dokaži da trokut $BMN$ i četverokut $ACMN$ imaju jednake površine i jednake opsege.

Na stolu su $42$ kamenčića. Dva igrača naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu igrač treba uzeti najmanje jedan kamenčić, ali ne više od polovine preostalih kamenčića. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza na stolu ostane samo jedan kamenčić.

Koji igrač sigurno može pobijediti?

Marko je nacrtao pravokutnik s dvije plave stranice duljine $24$ i dvije crvene stranice duljine $36$. Svaku točku unutar pravokutnika je obojio bojom stranice koja je najbliža toj točki. Točke koje su jednako udaljene od plave i crvene stranice je obojio crno. Odredi površinu crvenog dijela pravokutnika.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je

$$n^2 - 6n = m^2 + m - 10.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti pozitivni realni brojevi takvi da je $(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \neq 0$. Dokaži da barem jedan od brojeva

$$\frac{a + b}{a + b - c}, \quad \frac{b + c}{b + c - a}, \quad \frac{c + a}{c + a - b}$$

pripada intervalu $\langle 1,2\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{CD}$. Pravci $BM$ i $AC$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|CE|: |AC|$.

Dano je $599$ žutih i $301$ plava kuglica. Može li se te kuglice poredati u niz tako da je broj kuglica između bilo koje dvije plave kuglice različit od $2$ i od $5$?

Izračunaj zbroj $$\frac{1}{2\sqrt{1} + 1\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}.$$

Gargamel je uhvatio $N$ Štrumpfova i raspodijelio ih u tri vreće. Kad je Papu Štrumpfa iz prve vreće premjestio u drugu, Mrguda iz druge u treću, a Štrumpfetu iz treće u prvu, prosječna visina Štrumpfova u prvoj vreći se smanjila za $8$ milimetara, a prosječne visine Štrumpfova u drugoj i trećoj vreći su se povećale redom za $5$ milimetara i $8$ milimetara. Ako je u prvoj vreći bilo devet Štrumpfova, odredi $N$.

Odredi sve troznamenkaste prirodne brojeve $n$ za koje brojevi $n$ i $n^2$ imaju jednake zadnje tri znamenke.

Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $\measuredangle BMA = \measuredangle NMC = 60°$. Odredi kut $\measuredangle MAN$.

Karlo i Lovro igraju sljedeću igru. Karlo će razrezati papir dimenzija $9 \times 9$ na pravokutnike cjelobrojnih dimenzija kojima je barem jedna dimenzija $1$. Nakon toga će Lovro odabrati prirodni broj $k \in \{1, \ldots, 9\}$ i Karlo će mu dati onoliko novčića koliko iznosi ukupna površina svih pravokutnika dimenzija $1 \times k$ i $k \times 1$. Lovro će odabrati $k$ tako da od Karla dobije što više novčića, a Karlo bi želio uštedjeti i pritom dati Lovri što manje novčića.

Odredi najmanji mogući broj novčića koje će Karlo dati Lovri.