Croatian County-Level Competitions

Odredi sve vrijednosti realnog parametra $m$ za koje jednadžba $x^{2} + (1 - m)x + m + 1 = 0$ ima dva različita realna rješenja pri čemu je veće rješenje manje od dvostrukog manjeg rješenja.

Odredi najmanji prirodni broj koji ima tri različita pozitivna djelitelja čiji je umnožak $14^{600}$.

U kvadrat $ABCD$ upisan je jednakostranični trokut $CEF$ tako da se točka $E$ nalazi na stranici $\overline{AD}$, a točka $F$ na stranici $\overline{AB}$. Neka je $G$ polovište dužine $\overline{CE}$. Dokaži da je trokut $ABG$ jednakostraničan.

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$ab \left(\frac {a + b}{2} - c\right) + bc \left(\frac {b + c}{2} - a\right) + ca \left(\frac {c + a}{2} - b\right) = 0.$$

Ana i Borna igraju igru na $3 \times 3$ ploči. Na početku Ana u polja ploče upiše sve prirodne brojeve od $1$ do $9$. Zatim Borna odabire jedan put od gornjeg lijevog do donjeg desnog polja koji sadrži točno pet polja. Na kraju određuju zbroj brojeva upisanih u polja odabranog puta. Ana želi da taj zbroj bude što veći, a Borna da bude što manji. Ako oboje igraju optimalno, koliki će biti taj zbroj?

(Put je niz polja od kojih svaka dva uzastopna imaju zajedničku stranicu.)

Nad jednom stranicom pravokutnika kao promjerom nacrtan je polukrug. Uniju toga pravokutnika i polukruga nazivamo prozorom. Poznato je da je opseg prozora 4 m. Odredi promjer polukruga tako da površina prozora bude najveća moguća.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - y} = z - 1 \\ \sqrt{y^{2} - z} = x - 1 \\ \sqrt{z^{2} - x} = y - 1. \end{array} \right.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^{2} - ax + b = 0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^{2} - bx + (5a - 5) = 0$ dva različita složena prirodna broja.

Dan je raznostraničan trokut $ABC$. Neka je $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Okomica na pravac $CP$ u točki $P$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $X$ i $Y$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$ te $Y$ između $B$ i $C$. Pretpostavimo da vrijedi $|AX| \cdot |AC| = |BY| \cdot |BC|$. Dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Dana je ploča dimenzija $10 \times 10$. U gornjem lijevom polju ploče nalazi se muha. Muha se može kretati na dva načina – korakom i letom. Korak je pomak na polje neposredno ispod ili desno od polja na kojem se trenutno nalazi. Letom muha prelazi sa zadnjeg (krajnjeg desnog) polja na prvo (krajnje lijevo) polje u istom retku ili sa zadnjeg (donjeg) polja na prvo (gornje) polje u istom stupcu.

Koji je najmanji broj letova koje muha mora napraviti da bi posjetila svako polje ploče točno jednom?

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{x^2 + x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 1.$$

Neka je $a$ realan broj. Ako jednadžba $x^2 - ax + a = 0$ ima dva (ne nužno različita) realna rješenja $x_1$ i $x_2$, dokaži da vrijedi $x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2(x_1 + x_2)$.

Odredi sve uređene trojke $(m, n, p)$, pri čemu su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost broj, za koje vrijedi $$(2m + 3)(4n + 1) = pmn.$$

Polukrug promjera $\overline{PQ}$ upisan je u pravokutnik $ABCD$ i dira njegove stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$. Pritom se točka $P$ nalazi na stranici $\overline{BC}$, a točka $Q$ na stranici $\overline{CD}$. Ako je $|BP| = 2$ i $|DQ| = 1$, odredi $|PQ|$.

Koliko ima prirodnih brojeva čiji zapis u dekadskome sustavu sadržava svaku od deset znamenaka $0, 1, 2, ..., 9$ točno jednom, a svaka je znamenka, osim znamenke $9$, manja od barem jedne njoj susjedne znamenke?

U ovisnosti o parametru $a \in \mathbb{R}$, odredi sliku funkcije $f(x) = \dfrac{2023}{x^2 - a^2 - x - a}$.

Jednadžba $$(x^2 + ax + b)(x^2 + ax + c) = 0$$ ima četiri različita realna rješenja i to su $a$, $b$, $c$ i $-1$. Odredi brojeve $a$, $b$ i $c$.

Odredi sve uređene trojke $(m,n,p)$ gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost za koje vrijedi $$25^n + 2 \cdot 5^n = p^m + 8.$$

Unutar paralelograma $ABCD$ odabrana je točka $T$ tako da vrijedi $|TC| = |BC|$. Neka su $P$ i $M$ redom polovišta dužina $\overline{CD}$ i $\overline{AT}$. Dokaži da je pravac $BT$ okomit na pravac $PM$.

Žaba Žana nalazi se ishodištu brojevnog pravca, te u svakom koraku skače za jedan ulijevo, za jedan udesno ili ostaje na mjestu. Lina i Dina izabrale su relativno proste brojeve $m$ i $n$, gdje je $m > n$. Nakon svakih $n$ koraka Lina zapovijeda: „Lijevo!", a nakon svakih $m$ koraka Dina zapovijeda: „Desno!" Žana miruje dok ne čuje prvu zapovijed, a nakon toga počinje (ili nastavlja) skakati u smjeru prema zapovijedi. Zaustavlja se u prvom koraku u kojem čuje obje zapovijedi. U ovisnosti o brojevima $m$ i $n$ odredi na kojoj se udaljenosti od ishodišta Žana zaustavila.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\sqrt{|x - 1| + |x + 4|} = |x|.$$

Neka su $a, b \in \mathbb{R}$. Rješenja kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + 1 = 0$ su realna. Ako svako od tih rješenja umanjimo za 1, dobit ćemo rješenja kvadratne jednadžbe $bx^2 + x + a = 0$. Odredi sve takve realne brojeve $a, b$.

Prirodni broj zovemo ljepuškastim ako zbrojen s nekim svojim djeliteljem daje rezultat 360. Odredi zbroj svih ljepuškastih brojeva.

Svi vrhovi šesterokuta $ABCDEF$ leže na kružnici promjera $\overline{AD}$. Pravac $BF$ siječe pravce $AD$ i $CE$ redom u točkama $G$ i $H$. Ako je $\measuredangle FEH = 56°$, $\measuredangle DGB = 124°$ i $\measuredangle DEC = 34°$, odredi $\measuredangle CEB$.

Prirodni broj $\overline{a_1a_2\ldots a_m}$ (uz $a_1 \neq 0$) je koncizan ako je broj $\overline{a_ia_{i+1}\ldots a_{i+k-1}}$ djeljiv s $k$ za sve prirodne brojeve $i$, $k$ takve da je $1 \leqslant k \leqslant m$ i $1 \leqslant i \leqslant m - k + 1$.

Na primjer, broj $102$ je koncizan jer su brojevi $1$, $0$ i $2$ djeljivi s $1$, brojevi $10$ i $2 (= \overline{02})$ djeljivi s $2$ te broj $102$ djeljiv s $3$.

Dokaži da postoji najveći koncizni prirodni broj i odredi ga.

Odredi sve parove realnih brojeva $(a, b)$ koji zadovoljavaju sustav:

$$a^2 + b^2 = 25,$$

$$3(a + b) - ab = 15.$$

Odredi sve trojke prostih brojeva čiji je zbroj kvadrata umanjen za $1$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Dane su dvije kvadratne funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$.

Funkcija $f_1(x)$ postiže najmanju vrijednost za $x = -1$, a jedna nultočka joj je $x = 3$. Funkcija $f_2(x)$ postiže najveću vrijednost za $x = 3$, a jedna nultočka joj je $x = -1$.

Odredi sve vrijednosti $x$ za koje umnožak $f_1(x)f_2(x)$ postiže najveću vrijednost.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $D$ točka na luku $\widehat{CA}$ tom trokutu opisane kružnice koji ne sadrži točku $B$. Neka je $E$ točka takva da je $D$ polovište dužine $\overline{AE}$. Ako je $\measuredangle ECA = 90°$ i $\measuredangle IEC = 40°$, odredi $\measuredangle BAC$.

Neka je $n$ prirodni broj. Ako pravilan $n$-terokut podijelimo na $n-2$ trokuta povlačenjem $n-3$ dijagonala koje nemaju zajedničkih unutarnjih točaka kažemo da smo dobili triangulaciju. Triangulacija $n$-terokuta kojem su neki od vrhova crveni je dobra ako svaki od tih $n-2$ trokuta ima barem dva crvena vrha.

Odredi najmanji prirodni broj $k$, u ovisnosti o $n$, takav da možemo obojiti $k$ vrhova pravilnog $n$-terokuta crveno tako da postoji barem jedna dobra triangulacija.

Odredi sve uređene trojke $(x,y,z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$x ^ {2} + y ^ {2} = 5, \qquad x z + y = 7, \qquad y z - x = 1.$$

Odredi sve uređene parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takve da je $V(a,b) - D(a,b) = \dfrac{ab}{5}$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$3 \sqrt [ 3 ]{(14 - x) ^ {2}} - 2 \sqrt [ 3 ]{(14 + x) ^ {2}} = 5 \sqrt [ 3 ]{x ^ {2} - 196}.$$

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$, a $P$ polovište stranice $\overline{AC}$. Pravac kroz točku $T$ paralelan s pravcem $BC$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $E$.

Dokaži da jednakost $\measuredangle AEC = \measuredangle PTC$ vrijedi ako i samo ako vrijedi $\measuredangle ACB = 90^{\circ}$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Na koliko se načina u polja ploče dimenzija $2 \times n$ mogu upisati brojevi $1,2,\ldots,2n$ tako da uzastopni brojevi budu u poljima sa zajedničkom stranicom?

Odredi vrijednost realnog parametra $p$ tako da rješenja jednadžbe

$$(p - 3)x^2 + (p^2 + 1)x - 11p + 18 = 0$$

budu duljine kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine $\sqrt{17}$.

Odredi sve parove $(a, n)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi

$$3a^2 + 2^n = a^4.$$

Dokaži da za nenegativne realne brojeve $a$ i $b$ takve da je $a + b \leq 2$ vrijedi

$$\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \leq \frac{2}{1 + ab}.$$

Kada se postiže jednakost?

Točka $P$ je polovište dužine $\overline{AB}$ duljine $2$. Neka je $T$ diralište tangente iz točke $A$ na kružnicu promjera $\overline{PB}$. Odredi duljinu $|PT|$.

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljeni su kraljevi i topovi, tako da nijedna figura nije napadnuta. Kralj napada susjedna polja (njih osam, osim kada je na rubu ploče), a top napada sva polja u retku i stupcu u kojem se nalazi. Koliko je najviše figura na ploči ako je broj topova jednak broju kraljeva?

Opseg pravokutnog trokuta iznosi $18$, a površina $9$. Kolika je duljina hipotenuze tog trokuta?

a) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka $987654$;

b) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka $987654$.

Odredi najmanju moguću vrijednost izraza $$a^2 + 5b^2 + 8c^2 - 4ab - 4bc - 8c + 24,$$ pri čemu su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, te odredi $a$, $b$ i $c$ za koje se ta vrijednost postiže.

U trokutu $ABC$ kut kod vrha $A$ je dvostruko veći od kuta kod vrha $B$. Neka simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Dokaži da vrijedi $$|BC| = |AD| + |AC|.$$

Na koliko načina možemo obojati polja ploče $2 \times 2016$ u dvije boje tako da ne postoje tri polja iste boje koja se mogu istovremeno pokriti pločicom oblika kao na slici? Pločicu je dozvoljeno rotirati.

Neka su $x$ i $y$ različiti realni brojevi takvi da je $2xy + 1 \neq 0$ i neka su $$A = \frac{6x^2y^2 + xy - 1}{2xy + 1} \quad \text{i} \quad B = \frac{x(x^2 - 1) - y(y^2 - 1)}{x - y}.$$

Odredi koji je broj veći, $A$ ili $B$.

Za prirodne brojeve $a$, $b$ i prost broj $p$ vrijedi $a^2 + p^2 = b^2$.

Dokaži da je $2(b + p)$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi koliko ima šesteroznamenkastih prirodnih brojeva takvih da uklanjanjem prve dvije, odnosno zadnje dvije znamenke dobivamo dva četveroznamenkasta broja koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $99$.

Neka je $\overline{AC}$ promjer kružnice $k_1$ kojoj je središte u točki $B$. Kružnica $k_2$ dira pravac $AC$ u točki $B$ i kružnicu $k_1$ u točki $D$. Tangenta iz $A$ (različita od $AC$) na kružnicu $k_2$ dira tu kružnicu u točki $E$ i siječe pravac $BD$ u točki $F$. Odredi omjer $|AF| : |AB|$.

Za prirodni broj $n$ kažemo da je tablica s tri retka i $n$ stupaca čarobna ako postoji prirodni broj $k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, takav da se

• u prvom retku nalaze redom brojevi $1, 2, \ldots, n$,

• u drugom retku nalaze redom brojevi $k, k+1, \ldots, n, 1, 2, \ldots, k-1$,

• u trećem retku nalaze brojevi od $1$ do $n$ u takvom poretku da su zbrojevi triju brojeva u svakom stupcu međusobno jednaki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji čarobna tablica i za svaki takav $n$ odredi koliko ima čarobnih tablica.