Croatian National Competitions 2009

Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom broju kojem su sve znamenke jednake.

Zadan je konveksan četverokut $ABCD$ koji nije paralelogram. Neka pravac koji prolazi kroz polovišta dijagonala četverokuta siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da trokuti $ABN$ i $CDM$ imaju jednake površine.

Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi, takvi da je $xyz = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3 + z^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3 + x^3}{z^2 + zx + x^2} \geq 2.$$

Dan je pravilni deveterokut sa stranicom duljine $a$. Kolika je razlika duljina njegove najdulje i najkraće dijagonale?

Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom s lijeva na desno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi takvi da je $a^2 + 2b$ kvadrat cijelog broja. Dokaži da se broj $a^2 + b$ može prikazati kao zbroj kvadrata dvaju cijelih brojeva.

Dan je četverokut $ABCD$. Opisana kružnica trokuta $ABC$ siječe stranice $\overline{CD}$ i $\overline{DA}$ redom u točkama $P$ i $Q$, a opisana kružnica trokuta $CDA$ stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom u točkama $R$ i $S$. Pravci $BP$ i $BQ$ sijeku pravac $RS$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da točke $M$, $N$, $P$ i $Q$ leže na istoj kružnici.

Nađi sve parove kompleksnih brojeva $(w, z)$, $w \neq z$, koji zadovoljavaju sustav jednadžbi $$w^5 + w = z^5 + z,$$ $$w^5 + w^2 = z^5 + z^2.$$

Odredi najveću vrijednost realne konstante $\lambda$ takve da za sve pozitivne realne brojeve $u$, $v$, $w$ za koje je $u\sqrt{vw} + v\sqrt{wu} + w\sqrt{uv} \geq 1$ vrijedi nejednakost $u + v + w \geq \lambda$.

U svako polje tablice $m \times n$ ($m, n \in \mathbb{N}$) upisano je slovo $A$ ili $B$. Pritom nikoja dva susjedna polja (sa zajedničkom stranicom) ne sadrže isto slovo. U jednom koraku biraju se dva susjedna polja, i oba slova na tim poljima zamijene se novim slovima po sljedećem pravilu:

• umjesto slova $A$ upisuje se slovo $B$,
• umjesto slova $B$ upisuje se slovo $C$,
• umjesto slova $C$ upisuje se slovo $A$.

Za koje $m$ i $n$ nakon konačno mnogo koraka možemo postići da u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $A$ sada piše slovo $B$, a u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $B$ sada piše slovo $A$?

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $6^m + 2^n + 2$ potpun kvadrat.

Neka je $ABC$ trokut u kojem vrijedi $|AC| > |BC|$. Izrazi površinu trokuta određenog stranicom $\overline{AB}$, simetralom stranice $\overline{AB}$ i simetralom kuta $\measuredangle ACB$ pomoću duljina stranica trokuta $ABC$.

Neka je $ABC$ trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ i neka je $P$ točka u njegovoj unutrašnjosti. Neka pravac $AP$ ponovno siječe kružnicu opisanu trokutu $BCP$ u točki $A'$ i neka su $B'$ i $C'$ točke definirane analogno. Dokaži da za opseg $O$ šesterokuta $AB'CA'BC'$ vrijedi $$O \geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}).$$

Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2}.$$

Dokaži da za svaki $m \in \{1, 2, \ldots, n\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ čiji je zbroj barem $m$.

U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.

Neka je $\overline{CH}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$, a točka $O$ središte njemu opisane kružnice. Ako je $T$ nožište okomice iz točke $C$ na pravac $AO$, dokaži da pravac $TH$ prolazi polovištem dužine $\overline{BC}$.

Dani su realni brojevi $x_0 > x_1 > x_2 > \cdots > x_n$. Dokaži da je $$x_0 - x_n + \frac{1}{x_0 - x_1} + \frac{1}{x_1 - x_2} + \cdots + \frac{1}{x_{n-1} - x_n} \geq 2n.$$

Kada vrijedi jednakost?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $$f(x) = \max_{y \in \mathbb{R}} \left(2xy - f(y)\right)$$ za svaki $x \in \mathbb{R}$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$, $m,n > 1$, za koje je $n^3 - 1$ djeljivo s $mn - 1$.

Unutar kvadrata stranice duljine $38$ smješteno je $100$ konveksnih mnogokuta, pri čemu je površina svakog od njih najviše $\pi$, a opseg najviše $2\pi$. Dokaži da unutar tog kvadrata postoji krug polumjera $1$ koji ne siječe niti jedan od danih $100$ mnogokuta.