Croatian National Competitions 2025

Odredi sve trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$|a + 3| + b^2 + 4c^2 - 14b - 12c + 56 = 0.$$

Odredi sve trojke realnih brojeva $(a, b, c)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$a^3 + b^2c = ac$$ $$b^3 + c^2a = ba$$ $$c^3 + a^2b = cb.$$

Odredi sve četvorke prirodnih brojeva $(a, b, k, n)$ za koje vrijedi $$k \cdot 2^{2n} - (2k - 1) \cdot 2^n + k - 1 = k \cdot 2^{a + b} - 2^b.$$

Iz ploče dimenzija $2025 \times 2025$ uklonjen je kvadrat dimenzija $7 \times 7$, a preostali dio ploče prekriva se pločicama dimenzija $1 \times 4$ (tako da svaka pločica prekriva točno četiri polja).

(a) Ako uklonimo središnji $7 \times 7$ kvadrat, dokaži da je preostali dio ploče moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

(b) Ako uklonimo $7 \times 7$ kvadrat koji sadrži jedan ugao ploče, dokaži da preostali dio ploče nije moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

Neka su $K$ i $L$ redom polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{AD}$ paralelograma $ABCD$. Za točku $T$ unutar paralelograma vrijedi $|KT| = |AK|$ i $|LT| = |CL|$. Neka je $M$ polovište dužine $\overline{BT}$. Dokaži da je $\measuredangle MAT = \measuredangle TCM$.

Odredi sve uređene trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$\begin{aligned} xy + 1 &= 2z \\ yz + 1 &= 2x \\ zx + 1 &= 2y. \end{aligned}$$

U stožac osnovke polumjera 1 i visine duljine $2\sqrt{2}$ upisan je kvadar takav da jedna strana kvadra pripada osnovki stošca, a vrhovi suprotne strane pripadaju plaštu stošca.

Ako je strana kvadra koja pripada osnovki stošca kvadrat, koliko je najveće oplošje koje takav kvadar može imati?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(k,n)$ takve da vrijedi $$7 \cdot n^n - n^3 = (n + 8)^k.$$

Neka je $M$ točka unutar trokuta $ABC$ na simetrali kuta $\measuredangle BAC$. Pravci $AM$, $BM$ i $CM$ ponovo sijeku opisanu kružnicu trokuta $ABC$ redom u točkama $A_1$, $B_1$ i $C_1$. Neka je $P$ sjecište dužina $\overline{A_1C_1}$ i $\overline{AB}$ te $Q$ sjecište dužina $\overline{A_1B_1}$ i $\overline{AC}$.

Dokaži da su pravci $PQ$ i $BC$ paralelni.

U svako polje pravokutne ploče s 3 stupca i 14 redaka upisan je simbol $X$ ili $O$. Za ploču kažemo da je balansirana ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• svaki $3 \times 3$ kvadrat sadržava najviše 5 simbola $X$ i najviše 5 simbola $O$
• u svakom $3 \times 3$ kvadrati nijedna dijagonala ni redak ni stupac ne sadržavaju tri ista simbola.

Za balansiranu ploču $P$, centar od $P$ je ploča s 3 stupca i 12 redaka dobivena uklanjanjem prvoga i posljednjega retka iz $P$.

Među svim balansiranim pločama koliko postoji različitih centara?

Odredi sve parove pozitivnih realnih brojeva $(x,y)$ koji su rješenja sustava jednadžba $$x^{x+y} = y^{180}$$ $$y^{x+y} = x^{45}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Svakom je vrhu kvadrata pridružen cijeli broj. Broj pridružen vrhu može se zamijeniti zbrojem brojeva pridruženih dvama od ostalih vrhova.

Dokaži da je uvijek (neovisno o odabiru početnih brojeva pridruženih vrhovima) nizom opisanih zamjena moguće postići da brojevi pridruženi svim četirima vrhovima budu djeljivi s $n$.

Tablica dimenzija $2025 \times 2025$ popunjena je tako da se u polju u $i$-tome retku i $j$-tome stupcu nalazi broj $i + j - 1$, za sve $i, j \in \{1, 2, \ldots, 2025\}$. Odabrano je 2025 polja koja se nalaze u različitim retcima i različitim stupcima.

Koja je najmanja moguća vrijednost umnoška brojeva na odabranim poljima?

Neka je $D$ točka unutar trokuta $ABC$ i neka je $E$ točka na dužini $\overline{AD}$ različita od $A$ i $D$. Opisane kružnice trokuta $BDE$ i $CDE$ sijeku stranicu $\overline{BC}$ redom u točkama $F$ i $G$. Neka je $X$ sjecište pravaca $DG$ i $AB$, a $Y$ sjecište pravaca $DF$ i $AC$.

Dokaži da su pravci $XY$ i $BC$ paralelni.

Za različite prirodne brojeve $m$ i $n$ kažemo da su prijatelji ako postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji nisu djeljivi sa 101 takvi da je $$\frac{(m!)^n}{(n!)^m} = \frac{a}{b}.$$

Postoji li prosti broj koji ima točno 12 prijatelja?

Dokaži da je broj $$102^{102} - 100^{100}$$ djeljiv sa $101^2$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x)) + f(y) = 2y + f(x - y).$$

Neka je $n$ prirodan broj. Za prirodni broj $m$, neka $f_{m}(n)$ označava broj djelitelja broja $n^{m+1}$ koji su veći od $n^m$. Dokaži da postoji prirodni broj $K$ takav da za svaki $m \geqslant K$ vrijedi $f_{m}(n) = f_{m+1}(n)$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ sa stranicama duljina $|AB| = |AC| = 5$ te $|BC| = 6$. Točka $D$ odabrana je na stranici $\overline{AC}$, a točka $P$ na dužini $\overline{BD}$ tako da je $\measuredangle CPA = 90^\circ$. Ako je $\measuredangle PBA = \measuredangle PCB$, odredi omjer $$\frac{|AD|}{|DC|}.$$

Dana je ploča dimenzija $9 \times 9$ čija su sva polja bijela. Odredi najveći broj polja koja je moguće obojiti u crveno tako da svaki dio ploče dimenzija $2 \times 2$ sadržava najviše dva crvena polja.