Croatian National Competitions 2020

Odredi najmanju vrijednost izraza $$|x + 1| + |x - 2| + |x - 3|,$$ pri čemu je $x$ realni broj.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle BAC = 60°$ i $|AB| > |AC|$. Ako je $I$ središte upisane kružnice, a $H$ ortocentar tog trokuta, dokaži da je $2\measuredangle AHI = 3\measuredangle ABC$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše su dvije u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su oba rješenja kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b + 1 = 0$ prirodni brojevi. Dokaži da je $a^2 + b^2$ složen prirodni broj.

Na stranici $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ zadana je točka $D$. Simetrala kuta $\measuredangle CAD$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$. Kružnica opisana trokutu $ABD$ siječe dužinu $\overline{AE}$ u točkama $A$ i $F$, a pravac $BF$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $G$. Pravac kroz točku $G$ paralelan s $\overline{DF}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $H$.

Dokaži da je pravac $GE$ tangenta kružnice opisane trokutu $BHG$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše je jedna u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a + b = cd, \quad ab = c + d.$$

Dana su četiri različita realna broja iz intervala $\langle 0, 1\rangle$. Dokaži da među njima postoje dva broja, $x$ i $y$, takva da vrijedi $$0 < x\sqrt{1 - y^2} - y\sqrt{1 - x^2} < \frac{1}{2}.$$

Za točku $L$ koja se nalazi unutar trokuta $ABC$ vrijedi $$\measuredangle LBC = \measuredangle LCA = \measuredangle LAB = \measuredangle CAL.$$

Dokaži da je umnožak duljina dviju stranica tog trokuta jednak kvadratu duljine treće stranice.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0, 0)$, $(A, 0)$, $(A, B)$ i $(0, B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n, k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$(1 - z + z^2)(1 - z^2 + z^4)(1 - z^4 + z^8) \cdots (1 - z^{2^{n-1}} + z^{2^n}) = \frac{3z^{2^n}}{1 + z + z^2}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ vrijedi $$f(x) + xf(2 - x) = 3x - x^2.$$

Na stranici $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ zadana je točka $D$. Simetrala kuta $\measuredangle CAD$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$. Kružnica opisana trokutu $ABD$ siječe dužinu $\overline{AE}$ u točkama $A$ i $F$, a pravac $BF$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $G$. Pravac kroz točku $G$ paralelan s $\overline{DF}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $H$.

Dokaži da je pravac $GE$ tangenta kružnice opisane trokutu $BHG$.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0,0)$, $(A,0)$, $(A,B)$ i $(0,B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$