Croatian National Competitions 2016

Izračunaj zbroj $$\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1}.$$

Dana je dužina $\overline{AD}$ duljine 3. Neka su $B$ i $C$ ($C \neq A$) točke na kružnici s promjerom $\overline{AD}$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$. Izračunaj $|CD|$.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ takve da vrijedi $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y + z} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{y} + \frac{1}{z + x} = \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{z} + \frac{1}{x + y} = \frac{1}{7}.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $$c = a + \frac{b}{a} - \frac{1}{b}.$$ Dokaži da je $c$ kvadrat nekog prirodnog broja.

U ravnini je označeno 15 točaka. Neke su obojane crveno, neke plavo, a ostale zeleno. Poznato je da je broj crvenih točaka veći i od broja plavih i od broja zelenih točaka. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka crvena, a druga zelena iznosi 31. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka zelena, a druga plava iznosi 25. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka plava, a druga crvena iznosi 5. Odredi broj točaka svake boje.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi takvi da je $a + 2b + c > 0$ i $a - 2b + c < 0$. Dokaži da vrijedi $b^2 > ac$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m, n)$ za koje postoje cijeli brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad a^2 + b^2 + c^2 = 2^m \cdot 3^n.$$

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka je $t$ tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $A$. Kružnica sa središtem u točki $A$ koja prolazi točkom $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$, a pravac $t$ u točkama $E$ i $F$ tako da su $C$ i $E$ s iste strane pravca $AB$. Dokaži da središte upisane kružnice trokuta $ABC$ leži na pravcu $DE$.

Odredi sve trojke pozitivnih realnih brojeva $(x, y, z)$ takve da vrijedi $$x^3 + 2y^2 + \frac{1}{4z} = 1, \quad y^3 + 2z^2 + \frac{1}{4x} = 1, \quad z^3 + 2x^2 + \frac{1}{4y} = 1.$$

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $|AD| = |CD|$ i $\measuredangle ADC = 90°$. Ako je $|AB| = a$, $|BC| = b$, $|BD| = d$, $\measuredangle ABC = \beta$, dokaži da vrijedi $$2d^2 = a^2 + b^2 + 2ab \sin \beta.$$

Dokaži da ne postoji prirodni broj $k$ takav da su $$k + 4 \quad \text{i} \quad k^2 + 5k + 2$$ kubovi nekih prirodnih brojeva.

Neka su $x$, $y$ i $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $xyz = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x^6 + 2}{x^3} + \frac{y^6 + 2}{y^3} + \frac{z^6 + 2}{z^3} \geqslant 3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right).$$

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $ABH$ ima središte $S$ i siječe dužinu $\overline{BC}$ u točkama $B$ i $D$. Neka je $P$ presjek pravca $DH$ i dužine $\overline{AC}$, te neka je $Q$ središte opisane kružnice trokuta $ADP$. Dokaži da je četverokut $BDQS$ tetivan.

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(xy + 1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2.$$

U jednom retku redom su napisani brojevi $1, 2, \dots, 2016$. U svakom idućem retku napisani su redom zbrojevi dvaju susjednih brojeva. Npr. u drugom retku su napisani brojevi $3, 5, \dots, 4031$. U zadnjem retku je samo jedan broj. Koji je to broj?

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $$\measuredangle BAC = 48°, \quad \measuredangle CAD = 66°, \quad \measuredangle CBD = \measuredangle DBA.$$ Odredi kut $\measuredangle BDC$.

Nađi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ takve da vrijedi $3^m + 7^n = k^2$.

U utrci sudjeluje 200 biciklista. Na početku utrke biciklisti su poredani jedan iza drugoga. Kažemo da neki biciklist pretječe ako mijenja mjesto s biciklistom neposredno ispred sebe. Tijekom utrke poredak se mijenja samo kad neki biciklist pretječe.

Neka je $A$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao točno jednom, te neka je $B$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao najviše jednom. Dokaži da vrijedi $$2A = B.$$