Croatian National Competitions 2023

Odredi sve trojke $(p,q,r)$ prostih brojeva za koje vrijedi $pq + r = 1 + rp + qr$.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$a^2 + b^2 + |ab - 1| + |ab - 4|$$

za neke realne brojeve $a$ i $b$.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $\measuredangle BAC = 45°$, $|AB| = 4$, $|AC| = 3\sqrt{2}$. Neka su $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ visine tog trokuta. Okomica na $\overline{AB}$ kroz točku $E$ siječe dužinu $\overline{AD}$ u točki $P$.

Odredi $|EP|$.

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$abc = -1, \quad a + b + c = 4 \quad \text{i}$$

$$\frac{a}{a^2 - 3a - 1} + \frac{b}{b^2 - 3b - 1} + \frac{c}{c^2 - 3c - 1} = \frac{4}{9}.$$

Dokaži da je $a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{33}{2}$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dana su dva jednaka kompleta od po $n$ kartica s oznakama od 1 do $n$. Na stol su nekim redom slijeva nadesno posložene sve kartice prvog kompleta, a u nastavku istim redom sve kartice drugog kompleta. Kažemo da je takav poredak kartica dobar ako je moguće odabrati i ukloniti nekih $n$ kartica tako da preostane $n$ kartica s brojevima od 1 do $n$ poredanih u rastućem poretku slijeva nadesno. Koliko ima dobrih rasporeda kartica?

Odredi polumjer osnovke stošca čija je izvodnica duljine 1, tako da razlika površina njegovog plašta i njegove osnovke bude maksimalna.

Odredi, ako postoje, racionalne brojeve $a$ i $b$ tako da jedno rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b = 0$ bude $\sqrt{3 + \sqrt{8}}$.

Manda je, za odabrani prirodni broj $n > 3$, izradila sve stranice i sve dijagonale pravilnog $n$-terokuta od tankog pruća. Zatim je Ivan tih $\frac{1}{2}n(n - 1)$ štapova podijelio u grupe po tri štapa tako da se od svake grupe može napraviti trokut.

Za koje je brojeve $n$ to moguće?

Simetrala kuta $\measuredangle ACB$ siječe stranicu $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u točki $K$, a opisanu kružnicu u točki $L$ ($L$ je različito od $C$). Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $S$ središte opisane kružnice trokuta $IKB$. Neka je $P$ sjecište pravca $SL$ i stranice $\overline{AB}$. Dokaži da je pravac $SK$ tangenta kružnice opisane trokutu $KLP$.

Postoji li skup od 100 prirodnih brojeva takav da za svaka četiri elementa tog skupa njihov umnožak dijeli zbroj njihovih četvrtih potencija?

Koliko ima prirodnih brojeva $n$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina

$$3, \quad \log_2 n \quad \text{i} \quad \log_4 n \quad ?$$

Označimo s $\tau(n)$ broj prirodnih djelitelja broja $n$. Prirodni brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju jednakost

$$a + \tau(a) = b^2 + 2.$$

Dokaži da je broj $a + b$ paran.

Dan je trokut $ABC$. Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ sjecište simetrale kuta $\measuredangle CBA$ s nasuprotnom stranicom. Ako je $\measuredangle BEA = 45°$, odredi $\measuredangle EDC$.

Odredi najmanji prirodan broj $n$ za koji postoje realni brojevi $x_1, \ldots, x_n \in [1, 4]$ koji zadovoljavaju nejednakosti:

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + \ldots + x_n &\geq \frac{7}{3} n, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} &\geq \frac{2}{3} n. \end{aligned}$$

Na ploči dimenzija $3 \times 2023$ koja je na početku prazna igra se igra za dva igrača koji naizmjence vuku poteze. U pojedinom potezu igrač odabire dva prazna polja koja se nalaze u istom retku ili istom stupcu te stavlja po jedan žeton na ta polja. Gubi igrač koji ne može odigrati dopušteni potez.

Ako Kristina igra prva, a Ana druga, koja od njih može osigurati svoju pobjedu?

Za realni broj $c \neq 0$ i prirodni broj $n$, neka je $a_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + cx)^n$, a $b_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + 2cx)^n$. Poznato je da su $a_1$, $a_3$ i $a_4$ uzastopni članovi geometrijskog niza, te da su $b_1$, $2b_2$ i $2b_3$ uzastopni članovi aritmetičkog niza. Odredi brojeve $c$ i $n$.

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Postoje li medusobno različiti pozitivni realni brojevi $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2023}$ takvi da se od

jednog kvadrata stranice duljine $a_1$,

tri kvadrata stranica duljine $a_3, \ldots,$

$k$ kvadrata stranice duljine $a_k, \ldots,$

2023 kvadrata stranica duljine $a_{2023}$

može sastaviti kvadrat?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem je $|AC| < |BC|$. Njegove visine $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ sijeku se u ortocentru $H$. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CH}$ sijeku u točki $I$, a pravci $DE$ i $AB$ u točki $X$. Neka je $H_1$ ortocentar trokuta $XAC$, a $H_2$ ortocentar trokuta $XIC$.

Ako je $|AH_1| = |IH_2|$, dokaži da je $|AI| = |DH_2|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $f(a) \neq b$ vrijedi

$$f(a) - b \mid f(a)^2 + 2b + 1 - f(b)^2.$$