Croatian National Competitions 1992

Nači najmanju vrijednost zbroja $$S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$$ pri čemu su $x, y, z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Za koje brojeve se ona dostiže?

Površina pravokutnog trokuta jednaka je umnošku udaljenosti krajeva hipotenuze od njezinog dirališta s upisanom kružnicom. Dokaži!

Da li jednadžba $y^2 = x^2 + 1990$ ima cjelobrojno rješenje?

Riješi sustav jednadžbi $$|x - 3| + |y + 2| = 1$$ $$|x + 1| - |y - 1| = 2, \quad x, y \in \mathbb{R}$$ i skiciraj skup rješenja u koordinatnoj ravnini.

Kolike su duljine kateta pravokutnog trokuta kojemu je $c$ duljina hipotenuze, a $\rho$ polumjer upisane kružnice.

Neka su $z_1, z_2, z_3, z_4$ kompleksni brojevi redom u $I, II, III, IV$ kvadrantu kompleksne ravnine i $\alpha_i = |z_i - z_{i+1}| - |z_i + z_{i+1}|$, $z_5 = z_1$, $i = 1, 2, 3, 4$. Dokaži da je bar jedan od brojeva $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ nenegativan.

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

U ravnini su dane $1992$ točke od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Dokaži da postoji $498$ četverokuta kojima su te točke vrhovi takvi da se nikoja dva na sijeku.

Brojevi $1, 2, 7$ imaju svojstvo $1 \cdot 2 + 2 = 2^2$, $1 \cdot 7 + 2 = 3^2$, $2 \cdot 7 + 2 = 4^2$. Dokažite da ne postoje četiri različita prirodna broja sa svojstvom da je produkt svaka dva među njima uvećan za $2$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Neka su $z$ i $w$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z| = |w| = |z - w|$. Izračunajte $\left(\dfrac{z}{w}\right)^{1992}$.

Dva sukladna pravokutnika postavljena su tako da se njihovi rubovi sijeku u $8$ točaka. Dokažite da je površina njihovog presjeka veća od polovine površine svakog od njih.

Defektna $d \times d$ šahovska ploča je $d \times d$ šahovska ploča s uklonjenim jednim kvadratićem (bilo kojim). Dokažite da se svaka defektna $2^n \times 2^n$, $n \in \mathbb{N}$ šahovska ploča može pokriti trionimima, figurama od tri polja u obliku slova L.

Osnovka trostrane piramide je trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$. Nasuprotni bridovi su duljina $m$, $n$ i $p$. Dokažite da udaljenost vrha piramide od težišta osnovke iznosi $$\frac{1}{3}\sqrt{3(m^2 + n^2 + p^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}.$$

Nadite sve prirodne brojeve $n$ za koje polinom $P(x) = x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n$ posjeduje barem jednu cjelobrojnu nul-točku.

Neka je $A = \{z_1, \ldots, z_n\}$ skup od $n$ kompleksnih brojeva, $n \geq 2$ i neka je za svaki $i$ $\{z_i z_1, z_i z_2, \ldots, z_i z_n\} = A$. a) Dokažite da je za svaki $i$ ispunjeno $|z_i| = 1$. b) Dokažite da iz $z \in A$ slijedi i $\overline{z} \in A$.

Odredite geometrijski niz realnih brojeva ako je poznato da je zbroj prva četiri člana jednak $15$, a zbroj njihovih kvadrata je $85$.