Croatian National Competitions 1996

Dokažite da je izraz $$a^4 - 10a^2 + 9$$ djeljiv s $1920$ za svaki prosti broj $a > 5$.

Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a + b + c + d = 0$. Neka je $S_1 = ab + bc + cd$ i $S_2 = ac + ad + bd$. Pokažite da je $$5S_1 + 8S_2 \leq 0 \quad \text{i} \quad 8S_1 + 5S_2 \leq 0.$$

Zadan je konveksan peterokut $ABCDE$. Neka su $M$, $N$, $P$, $Q$ redom polovišta stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$ te neka su $R$ i $S$ polovišta dužina $\overline{MP}$ i $\overline{QN}$. Pokažite da je $$|SR| = \frac{1}{4} |AE|.$$

Četiri kružnice polumjera $a$ sa središtima u vrhovima kvadrata stranice duljine $a$, dijele taj kvadrat na devet područja. Odredite površinu svakog od pojedinih područja ako je dana površina $Q$ kvadrata, površina $K$ kruga polumjera $a$ i površina $T$ jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$.

Ako funkcija $f$ zadovoljava uvjete

(a) $f(1) = 1$,

(b) $f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbf{R}$,

(c) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^2}, \quad \forall x \in \mathbf{R}, \quad x \neq 0$,

koliko je $f(\sqrt{1996})$?

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?

Neka je $A_1A_2A_3A_4$ konveksan četverokut, $S$ sjecište njegovih dijagonala. Označimo sa $s_k$ površinu trokuta $A_kSA_{k+1}$, ($A_5 = A_1$), $k = 1, 2, 3, 4$. Dokažite da je $$s_2^2 = s_1 s_3 \quad \text{i} \quad 2 s_4 = s_1 + s_3$$ ako i samo ako je $A_1A_2A_3A_4$ paralelogram.

Neka je $\overline{OA}$ polumjer i $\overline{OB}$ tetiva kružnice $k$ polumjera $R$, $C$ sjecište pravca $OB$ i tangente na $k$ u točki $A$, $T$ točka na dužini $\overline{OB}$ takva da je $|OT| = |BC|$ i $T'$ projekcija od $T$ na $\overline{OA}$. Izrazite $y = |T'T|$ kao funkciju od $x = |OT'|$.

Dokažite da za svaki $x \in \mathbf{R}$ vrijedi nejednakost $$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq 2.$$ Kada vrijedi jednakost?

Neka su $h_1$, $h_2$, $h_3$ duljine visina trokuta $ABC$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, redom, a $u$, $v$, $w$ udaljenosti točke $M$ iz unutrašnjosti trokuta od stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Dokažite: $$\frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$$ $$h_1 h_2 h_3 \geq 27 uvw,$$ $$(h_1 - u)(h_2 - v)(h_3 - w) \geq 8 uvw.$$

Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi jednim vrhom baze i okomita je na nasuprotni pobočni brid. Površina presjeka dvaput je manja od površine baze. Odredite prikloni kut pobočnog brida i baze.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha] | n \in \mathbf{N}\}$ i $B = \{[n\beta] | n \in \mathbf{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbf{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbf{N}$.

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Postoji li rješenje jednadžbe $$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345?$$

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Za koje vrijednosti $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$$ realna? Odredite ta rješenja.

Odredite funkcije $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, neprekidne u nuli, koje zadovoljavaju ovu relaciju $$f(x) - 2f(tx) + f(t^2x) = x^2, \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R},$$ gdje je $t \in (0,1)$ dani fiksan broj.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.