Croatian National Competitions 2012

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi $$\frac{1}{3}(a + b + c)^2 \leqslant a^2 + b^2 + c^2 + 2(a - b + 1).$$

Svaka znamenka prirodnog broja $n$ (osim prve) strogo je veća od znamenke koja se nalazi neposredno lijevo od nje. Odredi zbroj svih znamenaka broja $9n$.

Neka je trokut $ABC$ s tupim kutom kod vrha $B$, neka su $D$ i $E$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom, $F$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle BFE$ pravi, te $G$ točka na dužini $\overline{DE}$ takva da je kut $\measuredangle BGE$ pravi.

Dokaži da točke $A$, $F$ i $G$ leže na istom pravcu ako i samo ako je $2|BF| = |CF|$.

Azra je zamislila četiri realna broja i na ploču zapisala zbrojeve svih mogućih parova zamišljenih brojeva, a zatim obrisala jedan od tih zbrojeva. Na ploči su ostali brojevi $-2$, $1$, $2$, $3$ i $6$. Koje je brojeve Azra zamislila?

Neka je $x$ realan broj takav da su $x^2 - x$ i $x^4 - x$ cijeli brojevi. Dokaži da je $x$ cijeli broj.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$4x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 9 = 0,$$ gdje je s $\lfloor x \rfloor$ označen najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Jednakokračnom trokutu $ABC$ ($|AB| = |AC|$) opisana je kružnica. Tangente te kružnice s diralištima u točkama $A$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Ako je $\measuredangle DBC = 30°$, dokaži da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c \leqslant 3$ vrijedi $$\frac{a + 1}{a(a + 2)} + \frac{b + 1}{b(b + 2)} + \frac{c + 1}{c(c + 2)} \geqslant 2.$$

Može li skakač običi ploču dimenzija $4 \times 2012$ i vratiti se na polazno polje tako da pritom stane na svako polje točno jednom?

Skakač je figura koja se kreće kao u šahu: s polja označenog kružićem može se pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči).

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n \geqslant 2$ takav da je funkcija $$f(x) = \cos(x\sqrt{1}) + \cos(x\sqrt{2}) + \cdots + \cos(x\sqrt{n})$$ periodična.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ i $E$ točka na dužini $\overline{BD}$ tako da vrijedi $\measuredangle ABC = \measuredangle DAE = \measuredangle AED$. Dokaži da je $|BE| = 2|CD|$.

Za dani prosti broj $p$ odredi sve cijele brojeve $n$ takve da je $\sqrt{n^2 + pn}$ cijeli broj.

Duljine stranica četverokuta su cjelobrojne, a svaka od njih je djelitelj zbroja preostalih triju duljina. Dokaži da su bar dvije stranice tog četverokuta sukladne.

Na ploči su zapisani neki cijeli brojevi. U svakom koraku odabiremo brojeve $a$ i $b$ koji se nalaze na ploči, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve $3a - b$ i $13a - 3b$.

Ako su na početku na ploči brojevi $1, 2, 3, 4, \ldots, 2011, 2012$, mogu li se nakon konačnog broja koraka na ploči nalaziti brojevi $2, 4, 6, 8, \ldots, 4022, 4024$?

a) Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi. Dokaži da je broj $x^n + y^n$ cijeli za svaki prirodni broj $n$.

b) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi.

c) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^3 + y^3$ cijeli, ali $x^4 + y^4$ nije cijeli broj.

Neka su $p_1$ i $q_1$ cijeli brojevi takvi da jednadžba $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ definiramo brojeve $p_{n+1}$ i $q_{n+1}$ formulama $$p_{n+1} = p_n + 1, \quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2} p_n.$$

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2 + p_nx + q_n = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja.

Dan je trokut s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$. Ako je mjera jednog kuta trokuta $60^\circ$, dokaži da je simetrala tog kuta okomita na pravac $OH$.

Neka su $n$ i $d$ prirodni brojevi takvi da $d$ dijeli $2n^2$. Dokaži da broj $n^2 + d$ nije potpun kvadrat.

Za dva polja tablice $10 \times 10$ kažemo da su prijateljska ako imaju barem jedan zajednički vrh. U svako polje tablice upisan je po jedan prirodni broj manji ili jednak $10$, tako da su brojevi u prijateljskim poljima relativno prosti. Dokaži da postoji broj koji se pojavljuje u toj tablici barem $17$ puta.