Croatian National Competitions 2013

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi

$$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2} \\ y^{2} - z &= x^{2} \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $k$ i $n$ takvi da vrijedi

$$k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1).$$

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.

Dokaži da vrijedi

$$\left(1 + \frac{c}{a}\right) \left(1 + \frac{c}{b}\right) \geqslant 3 + 2\sqrt{2}.$$

Dan je šesterokut $ABCDEF$ čije se dijagonale $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ sijeku u jednoj točki koja je ujedno polovište svake od tih dijagonala.

Dokaži da je površina danog šesterokuta dvostruko veća od površine trokuta $ACE$.

Brojevi $1, 2, \ldots, 10$ raspoređeni su u kružiće na slici, a zatim je u svaki od devet malih trokuta upisan zbroj brojeva upisanih u njegove vrhove.

Dokaži da među brojevima upisanim u trokute postoje tri čiji je zbroj barem $48$.

Neka je $a$ kompleksni broj takav da vrijedi

$$a^5 + a + 1 = 0.$$

Koje vrijednosti može poprimiti izraz $a^2 (a - 1)$?

Ako za realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right) = 1,$$

dokaži da je $x + y = 0$.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednakost

$$y^2 = x^3 + 3x^2 + 2x.$$

Dan je trapez $ABCD$ kojem su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti, a dijagonale su mu međusobno okomite i sijeku se u točki $O$. Polupravac $OA$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{BD}$ u točki $M$, a polupravac $OB$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{AC}$ u točki $N$.

Dokaži da točke $M$, $N$, $C$ i $D$ leže na jednoj kružnici.

Dana je tablica $6 \times 6$.

a) Ako je označeno bilo kojih $9$ polja tablice, dokaži da je moguće odabrati tri retka i tri stupca koji sadrže sva označena polja.

b) Označi $10$ polja tablice tako da koja god tri retka i tri stupca odaberemo, uvijek postoji bar jedno označeno polje koje nije u odabranim stupcima niti recima.

Odredi nenegativni realni broj $a$ tako da vrijednost izraza

$$a^3 - a^2 - 2\sqrt{a}$$

bude najmanja moguća.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoje prirodni brojevi $x$ i $y$ takvi da vrijedi

$$\left\{ \begin{aligned} p + 1 &= 2x^2 \\ p^2 + 1 &= 2y^2. \end{aligned} \right.$$

Dokaži da je među bilo koja četiri broja iz intervala $\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ moguće odabrati dva broja, nazovimo ih $x$ i $y$, tako da vrijedi

$$8 \cos x \cos y \cos (x - y) + 1 > 4 \left(\cos^2 x + \cos^2 y\right).$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i $H$ njegov ortocentar. Pravac kroz točku $A$ okomit na $\overline{AC}$ i pravac kroz točku $B$ okomit na $\overline{BC}$ sijeku se u točki $D$. Kružnica sa središtem u točki $C$ koja prolazi točkom $H$ sijeće kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $E$ i $F$.

Dokaži da vrijedi $|DE| = |DF| = |AB|$.

Na natjecanju je sudjelovalo $n$ učenika i svaki učenik je riješio točno tri zadatka. Za svaka dva učenika postoji točno jedan zadatak koji su obojica riješila, a svaki zadatak je riješilo točno $k$ učenika. Za koje vrijednosti prirodnih brojeva $n$ i $k$ je to moguće?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak svih pozitivnih djelitelja broja $n$ jednak $n^3$. Prikaži ih u kanonskom obliku, tj. pomoću rastava na proste faktore.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_1 = 2$, $a_n = 2(n + a_{n-1})$ za $n \geqslant 2$.

Dokaži da je $a_n < 2^{n+2}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi. Poznato je da parabola $y = ax^2 + b$ siječe krivulju $y = x + \dfrac{1}{x}$ u točno tri točke. Dokaži da vrijedi $3ab < 1$.

Neka su $k_1$ i $k_2$ kružnice s promjerima $\overline{AP}$ i $\overline{AQ}$. Neka je $T$ drugo sjecište kružnica $k_1$ i $k_2$. Neka je $Q'$ drugo sjecište kružnice $k_1$ i pravca $AQ$, a $P'$ drugo sjecište kružnice $k_2$ i pravca $AP$. Kružnica $k_3$ prolazi točkama $T$, $P$ i $P'$, a kružnica $k_4$ točkama $T$, $Q$ i $Q'$.

Dokaži da pravac na kojem leži zajednička tetiva kružnica $k_3$ i $k_4$ prolazi točkom $A$.

Dokaži da bilo koji $2001$-člani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,3000\}$ sadrži tri elementa od kojih su svaka dva međusobno relativno prosta.